交易对手风险估值调整的理性多曲线模型

首先需要校准的参数是ν、θ、σ和b=b（9,9.25）=b（9.25,9.5）=b（9.5,9.75）=b（9.75,10）。校准后，我们得到b=0.0431，ν=0.2498，θ=-0.0242, σ = 0.1584.b≤ L（0；9.75，10）=0.0328为了得到正的比率，我们得到相反的b=0.0291，ν=0.1354，θ=-0.0802, σ = 0.3048.图4中绘制了这两个图。在这里，与单因素高斯情况相比，施加积极性的代价要小得多。NIG过程具有更丰富的结构（更多的参数自由度），因此能够补偿施加的较小水平的参数b。通过设置u=0，α=σsθiσi+νi，β=θiσi和δ=σν，可以恢复Barndor ff-Nielsen（1997）的参数化。罢工。02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065隐含挥发性0。160.170.180.190.20.210.220.230.24 Swoption 9Y1Y 3m TenorMarket volexp NIGexp NIG-正性约束图4：指数NIG校准我们继续进行第二部分校准，其结果如图5所示。在这里，我们看到，加强积极性可能会对微笑产生小的影响，但这意味着波动性结构无法与7年内到期的掉期期权相匹配。因此，在这个模型中加强积极性会产生我们希望避免的局限性。在图6中，我们绘制了与单因子对数正态模型相同的利率和利差的较低分位数。虽然即期价差保持正值，但水平并非如此，如图所示，模型将不现实的高概率质量分配给负值。

事实上，该模型为两年内低于-12%的利率分配了1%的概率！因此，单因素间接NIG模型失去了很大吸引力，因为它无法以现实的方式适应长期微笑和短期ATM波动。4.3双因素对数正态模型的校准为了在保持正利率和利差的同时，产生比单因素高斯模型更好的微笑效果，我们提出了第3.3节所述的双因素规范。该模型参数化程度很高，现有参数并非全部由所考虑的数据确定。因此，我们提取以下参数：a=1，a=1.6，（4.39）b（T，T+0.25）=0.15L（0；T；T+0.25），T∈ [9,9.75]，（4.40）b（T，T+0.25）=0.55L（0，T；T+0.25），T∈ [0, 8.75]. （4.41）我们假设bis是常数，即T的b=b（T）∈ [0,10]，并且b，在上述定义的区域之外，是分段常数，使得b（T，T+0.25）=b（T+0.25，T+0.5）=b（T+0.5，T+0.75）=b（T+0.75，T+1）对于每个T=0,1，8和b（T，T+0.5）=b（T+0.5，T+1）对每一个T=0，1，9.我们进一步假设b（T，T+0.5）=b（T，T+0.25），T∈ [0, 9.5]. 这些有点特别的选择是为了让时间变得相当平滑。

在此，如果与单因素模型使用的模式相比，我们将应用稍微改变的程序来校准剩余参数。到期年份12 3 4 5 6 7 8 9 TM掉期期权隐含波动性0。120.140.160.180.20.220.240.260.28校准到3m ATM交换选项-隐含挥发性市场容量校准容量校准容量-b200的正性约束值。020.040.060.080.10.120.140.160.180.2对3m ATM交换选项的校准-b2参数校准b2（T，T+0.25）校准b2（T，T+0.25）-阳性率约束12年的试验1 3 4 6 7 8 9 TM交换选项隐含波动性0。120.140.160.180.20.220.240.26校准到6m ATM交换选项-隐含挥发性市场容量校准容量校准容量-b200的正性约束值。020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 6m ATM交换的校准-b2参数校准b2（T，T+0.5）校准b2（T，T+0.5）-正性约束图5：指数NIG校准。（左）适合ATM掉期期权隐含波动率结构。（右）B参数的校准值。（顶部）δ=3m。（底部）δ=6m。T02 4 6 8 10-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.021%低分位数L（T；T；T+0.5）-L（T；T；T+0.25）L（T；T；T+0.25）L（T；T；T+0.5）图6：指数NIG校准。分位数降低1%。1.我们首先校准了9×1年选择的微笑，这给了我们参数a，ρ，b的假设常量值，以及b（9，9.25）到b（9.75，10），假设b等于常量b。与指数NIG模型类似，我们总共使用了四个参数来拟合微笑。2.剩余的b参数是预先确定的，所以剩下的是校准b的值。T的三个月期限值b（T，T+0.25）∈ [0,8.75]被校准为ATM，共终端交换选项从8×2年开始，然后继续向后到1×9年仪器。

对于六个月期限的产品，我们将b（T，T+0.5）校准为T∈ [0,9.5]从9×1年开始，然后向后推进。这些是我们从第一个校准阶段获得的值：b=0.2434，b=0.02，a=0.1888，ρ=0.9530。相应的fit绘制在图7的左上象限。为了检查校准fit随时间变化的稳健性，weStrike0。02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065隐含挥发性0。160.170.180.190.20.210.220.230.24 Swaption 9Y1Y 3m期限20110104市场波动率2db1=0.24343b=0.020017a2=0.18883=0.95299e0。02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065隐含挥发性0。140.150.160.170.180.190.2 Swaption 9Y1Y 3m期限20090104市场波动率2db1=0.27702b=0.021719a2=0.17603=0.41176b1=0.27702b=0.021719a2=0.17603=0.41176b1=0.27702b=0.021719a2=0.17603=0.411760。02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055隐含挥发性0。130.1350.140.1450.150.1550.160.165 Swoption 9Y1Y 3m期限20100104市场波动率2db1=0.37898b=0.028665a2=0.10937=0.39637删除0。01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055隐含挥发性0。220.230.240.250.260.270.280.29 Swaption 9Y1Y 3m期限20120104市场波动率2db1=0.58972b=0.023156a2=0.11842=0.24615图7：对数正态双因素校准。同时校准到三个备选日期。该模型的质量似乎相当令人满意，与指数NIG模型相当。对于所有四个日期，校准都是强制执行阳性条件b（T，T+0.25）+b（T，T+0.25）≤ L（0；T，T+0.25）。然而，即使约束放松，该过程也会产生完全相同的参数。因此，我们得出结论，对于这些数据集，通过允许负速率，似乎不可能进行更好的校准。请注意，只有在我们的第一组数据中，校准相关性ρ才高达0.9530。

在其他三种情况下，我们得到ρ=0.4118、ρ=0.3964和ρ=0.2461。图8显示了根据2011年1月4日的数据进行第二阶段校准时获得的参数带。与之前的模型一样（参见图2和图5的左图），波动率与市场数据匹配，没有任何错误。年份b20的值。0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.0223m ATM交换选项校准参数值b2（T，T+0.25）b3（T，T+0.25）年份024.68100.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.0226m ATM交换选项校准参数值b2（T，T+0.5）b3（T，T+0.5）图8：双因素对数正态校准。（左）三个月掉期期权隐含波动率期限结构的参数值。（右）六个月ATM掉期期权隐含波动率期限结构的参数值。我们在此补充说，尽管从图表上看不到，但校准参数满足备注2.1中讨论的伦敦银行同业拆借利率利差正性。综上所述，我们发现双因素对数正态分布能够很好地拟合互换期权里程，它可以被控制以产生正利率和正利差，并且可以通过互换期权价格的有效闭式表达式进行数值分割。鉴于这些理想的性质，我们放弃了单因素模型，保留了双因素对数正态模型用于本文剩余部分的所有分析。5基础掉期在本节中，我们为交易对手风险分析做好准备，我们将在第6节中详细讨论。一种典型的多曲线金融产品，即显著体现单曲线和多曲线贴现差异的产品，就是所谓的基础掉期。这种工具包括根据名义现金金额N或更一般地说，一个流动支腿与另一个流动支腿加固定支腿交换两个流动支付流。

在经典的单曲线设置中，基差互换（无固定支腿）的价值在其整个生命周期内为零。自2007年金融危机爆发以来，市场报出的正基差掉期息差必须加到较小的期限段中，这清楚地表明，LIBOR不再被接受为无债权人流动性风险的利率。我们考虑一种为期十年的基差掉期，其中基于六个月期伦敦银行同业拆借利率的付款与基于三个月期伦敦银行同业拆借利率加固定息差的付款进行交换。两个支付流在相同时间T=T=T，T=Tn=Tn开始和结束。BST=N给出的基差互换在时间T的值nXi=1δ6miL（t；Ti-1，Ti）-nXj=1δ3mj（L（t；Tj-1，Tj）+KPtTj对于t≤ 交换开始后，即交换T≤ t<t，该值由bst=Nδ6mitL（Tit）给出-1.山雀-1，Tit）+nXi=it+1δ6miL（t；Ti）-1，Ti）-δ3mjtL（Tjt-1.Tjt-1，Tjt）+KPtTjt-nXj=jt+1δ3mjL（t；Tj）-1，Tj）+KPtTj!,其中，Tit（分别为Tjt）表示严格大于t的最小Ti（分别为Ti）。利差K被选择为Tso的公平基础掉期利差，即basisswap在开始时的值为零。我们有k=Pni=1δ6miL（T；Ti-1，Ti）-Pnj=1δ3mjL（T；Tj-1，Tj）Pnj=1δ3mjPTTj。通过应用第4节中开发的经校准的双因素对数正态模型，模拟了图9中数值说明的价格过程。3.假设基础掉期的名义现金金额N=100，到期时间t=10年。在双因素对数正态分布设置中，t=0时的基差掉期利差为K=12个基点，该利差被添加到三个月期中，因此基差掉期在面值时被取消。两条腿的t=0值等于27.96欧元。

由此产生的风险敞口，在每个时间点对应价格过程的预期和分位数的意义上，如图9的左图所示，其中右图对应于第5.1节中讨论的P敞口。由于息票支付的离散性，存在两种不同的价格过程风险模式，在第一次支付六个月期息票之前的时间和第二次支付六个月期息票之前的时间最为明显。我们在图9.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.8时间段中显示了在上下两个批次的相应日期的风险敞口，以M为基础的掉期价格基础掉期正风险敞口-测量分位数97.5%分位数2.5%平均值1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.8年时间基于互换价格基础互换正风险敞口-测量分位数97.5%分位数2.5%平均值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.4-1.2-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4年内的时间基于掉期价格基础掉期M下的负风险敞口-测量分位数97.5%分位数2.5%平均值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.4-1.2-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4年内时间基于掉期价格基础掉期负风险-测量分位数97.5%分位数2.5%平均值图9：经校准的双因素高斯模型中的基差互换风险敞口（带均值和分位数的价格过程）。（顶部）t=5m、11m等的基础掉期风险敞口（底部）t=2m、8m、14m等的基础掉期价格风险敞口（左侧）M度量下的风险敞口。（右）预测LIBORrate L（10.75y；10.75y，11y）为2%的概率P=0.7或5%的概率1的P-度量下的风险敞口- p=0.3.5.1 L’evy随机桥接图9中的基础掉期风险敞口是在辅助M-度量下计算的。

在后面的章节中计算的xVas是从这些M-暴露中推导出来的。然而，风险管理也需要风险敞口，因此需要根据实际世界衡量标准P进行评估。这意味着需要定义从M到P的衡量标准变化，这需要一些思考，即人们可能希望通过特定类型的衡量标准变化，从而通过诱导P模型，捕捉P下价格动态的哪些特征。换句话说，我们设计了一个测度变化，以诱导P下的{At}过程，特别是驱动它们的潜在马尔可夫过程{Xt}的一种特殊随机行为。我们在下文中考虑的一个特殊情况是，{Xt}在M下是一个L\'evy过程，而在P下它采用了相应的（可能是多元的，成分上的）L\'evyrandom桥（LRB）定律。在Macrina（2014）中开发了几个由LRB驱动的显式资产价格模型。LRB驱动的理性定价模型有一个固定的时间范围。除了潜在的L’evy过程类型外，LRB的特征是终端P-边际分布，它固定在固定的时间范围U。终端分布可以任意选择，但随着时间接近U，其规格会影响LRB的行为。反过来，特定LRBin的属性会影响{At}的行为，从而影响所考虑的价格过程的动态。我们认为，在未来某个固定日期，可以自由指定生产要素过程的P分布，这是一种优势。通过这种方式，我们可以将专家的意见（例如，基于一些专家分析的个人信念）落实到价格过程的P-动力学中，比如利率水平（例如。

OIS（伦敦银行同业拆借利率）很可能集中在未来某个固定日期。可在Hoyle、Hughston和Macrina（2011）的定义3.1中找到LRB的构造方法，该定义被扩展用于开发多变量LRB inMacrina（2014）。如Hoyle、Hughston和Macrina（2011）的提案3.7所示，LRB的性质是，存在对辅助措施的措施变更，LRB具有构成L’evy过程的法律。也就是说，我们假设辅助测度是M，我们有一个LRB{Xt}0≤T≤定义在有限时间间隔[0，U]上，其中U是固定的。在M和[0，U]下，{Xt}具有基础L\'evy过程的规律。为了进一步说明，让我们假设一个单变量LRB；在Macrina（2014）中给出了多变量LRB的类似度量变化。在P下，它通过度量变化ηt=dPdM与M相关Ft=ZRfU-t（z）-Xt）fU（z）ν（dz），t<U，（5.42），其中ft（x）是所有t∈ （0，U]和ν是LRB的P-边际定律，在结束日期U，过程{Xt}是LRB（注意度量的变化在U是单数的）。现在，回到第4.3节校准的双因素对数正态模型，但与第4节中的其他模型类似，我们可以通过P下的两个依赖布朗随机桥对驱动因素{X（1）t}={X（3）t}和{X（2）t}进行建模。因此，图9中计算的M暴露需要通过相应的量ηt重新加权，以获得基差互换的P暴露。由于我们在这里使用LRB，我们有机会通过LRB marginalsν纳入专家意见，以确定一个人认为利率在U时会趋于什么水平。图9右侧的图表中绘制了基准swapare的重新加权P风险敞口。

图中显示的上分位数曲线的最大值称为97.5%水平的潜在未来暴露（PFE）。因此，我们现在有办法提出一个风险中性模型，该模型可以被校准为期权数据，并且在明确的度量变化后，可以用于风险管理目的，同时提供一种将经济观点纳入资产价格动态的方法。在实践中，人们宁愿在PFE计算中考虑预期的正风险敞口（预期价格的正部分，而不是价格），但方法是相同的。回顾（2.19）和（5.42），Q-to-P测量值的变化由DPDQ获得Ft=ηtνt，（5.43）和金融资产的定价公式（2.1）可在以下各种度量下使用：StT=DtEQ[DTST t|Ft]=DtνtEM[DtνTST|Ft]=htEM[hTST t|Ft]=ηtDtνtEPDTνTηTST英尺=πtEP[πTST T | Ft]，（5.44）表示0≤ T≤ T<U（因为我们考虑LRB驱动的价格模型）。因此，定价核由πt=Dtνtη给出-1t=η-1吨。对于其他地方的类似应用，也讨论了从风险中性到真实世界概率度量的度量变化。对于这一研究领域的最新研究，我们参考了Hull、Sokol和White（2014）。6调整迄今为止，我们关注的是所谓的“干净计算”，即忽略交易对手风险，并假设以无风险OIS利率获得资金。事实上，财务协议结束时的合同特定交易对手可能会违约，为签署或履行财务协议提供资金的成本可能高于OIS利率。