带交易的多先验模型中的无差异定价与套期保值

投资者从先验集合Θ中选择最坏的情景作为她的效用：Ut=infQ∈ΘUQt。（2.4）消费率c的效用v（·，·）满足以下假设：假设2.2适用于任何t∈ [0，T]，依赖于时间的效用v:[0，T]×r7→ [-∞, ∞) 为（1）凹面、不减损和上半连续；（2） 半直线domt（v），{x∈ [ 0, +∞) : v（t，x）>-∞} 是[0]的另一个子集，∞); 和（3）xv（t，·）在domt（v）和limx的内部是连续的、正的、严格递减的→+∞监督∈[0，T]xv（t，x）=0。v（·，·）的一个典型例子是电力公司，它被惩罚为-∞ 当消费率为负时。根据Karatzas和Shreve[19]的第3.4节，存在bc（t）这样的*（t） ，v（t，bc（t））- bc（t）=supx∈R{v（t，x）- x} 。（2.5）也就是说，v*（t） 是v（t，·）在t的1级上的凸对偶∈ [0，T]。投资者评估市场中的一个或有类别，其收益是一个可测量的随机变量ξ∈ LFT（R+）：LFT（R+），ξ：FT可测量，用R+表示，和EP|ξ|< ∞.如果风险中性概率测度P没有歧义，没有跨期消费，也没有交易约束，则已知该未定权益的风险中性价格过程D和相应的对冲策略Y=（Y，···，Yn）T（由波动率矩阵σ（·）归一化）是以下线性BSDE的唯一解：Dt=ξ-ZTtr（u）都都-ZTt（Yu）TdWu=以弗所-（D，Y）的RTtr（u）duξ| Fti（2.6）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。有关更多详细信息，请参见El Karoui et a l[10]的第1部分。然而，由于模糊性、消费和贸易限制，（2.6）是无效的。我们考虑了这种或有权益的效用差异估值，其收益为ξ。

当我们想要强调效用U对遗产XXt的依赖性时，我们写效用Utas Ut（XXt；π，cT）；π、 cT。定义2.3或有债权的出价Pb（Xt；ξ）和要价Ps（Xt；ξ）与支付ξ之间的关系由以下要求隐含定义：。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt）-Pb（Xt；ξ）；π、 cT）；（2.7）ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut(-ξ+XXt+Ps（Xt；ξ）；π、 cT），（2.8），其中XXt；π、 c·遵循财富方程（2.2），从P下的时间t开始，或在Q下等效（2.3），Ut（·）是时间t的随机微分效用的最坏情况，由（2.4）定义，即Ut=Ut（XXt；π，cT）满意度=infQ∈ΘUQt=infQ∈ΘEQ“ZTtv（u，cu）- r（u）UQudu+XXt；π、 cT英尺#。因此，就效用最大化而言，我们在购买或不购买或有权索赔与支付出价Pb（Xt；ξ）之间没有区别，在出售或不出售或有权索赔与支付出价Ps（Xt；ξ）之间也没有区别，而效用则被选为先验集合Θ中最糟糕的情景。我们的模型在以下三个方面与现有文献不同：（1）效用是根据跨期消费和最终财富的随机差异效用来描述的，而大多数现有文献只考虑最终财富的预期效用；（2） 采用Chen和Epstein[4]的多优先级模型，以动态一致的方式考虑了模型的不确定性；（3） 在我们的差异评估模型中也考虑了阅读结构。我们将看到（2）和（3）导致独立性的一些新的和有趣的特征。我们描述差异价格的主要工具是BSDE理论。

根据Chen和Epstein[4]的定理2.2，效用U表示为以下BSDE的唯一解：Ut=XXt；π、 cT+ZTtv（u，cu）- r（u）Uu- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1zTZJUDWJU（2.9）表示（U，Z）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。本文中的BSDE总是在上述空间中考虑的。请注意，上述括号中的最大项实际上是路径最大值：最大ξ∈ΞnXj=1ξjtZjt（ω） =最大ξt（ω）∈对于任何t，OnXj=1ξjt（ω）Zjt（ω）∈ [0，T]和ω∈ Ohm, 因此，我们将把上述两个最大化问题同义地写下来。我们的第一个主要结果是投标价格和要价的以下表示结果。定理2.4假设假设满足假设2.1和2.2，则投标价格Pb（Xt；ξ）和要价Ps（Xt；ξ）由定义2.3唯一确定，且两者均独立于初始值Xt。它们分别表示为Pb（t；ξ）和Ps（t；ξ），其表示形式为：Pb（t；ξ）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）- R（t）≤ Dt，（2.10）Ps（t；ξ）=- 字母S。sup（π，c）∈π[t，t]Ut(-ξ+X0；π、 cT）+R（t）≥ Dt，（2.11），其中R（·）是最佳消耗的值：R（t）=ZTte-Rstr（u）duv*（s） ds。证据我们只考虑出价的情况，而要价的情况类似。注意，（2.7）左侧（LHS）的效用最大化表m是ξ=0的右侧（RHS）的特例。我们首先证明了（2.7）中效用最大化问题的解是存在的，即ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）<+∞任何报酬∈ LFT（R+）和任何初始财富∈ LFt（R）。

事实上，如果我们通过减去未定权益D和财富XXt来定义间接效用BU；π、 c从原始实用程序U asbUs=Us（ξ+XXt；π，cT）- （Ds+XXt；π，cs）；bZjs=Zjs-Yjs+nXi=1σij（s）π是！对于s∈ [t，t]，通过（2.2）、（2.6）和（2.9），很容易验证（bU，bZ）满足以下BSDE:bUt=ZTt-r（u）bUu+[v（u，cu）- [特写]- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1ZTtbZjudWju。（2.12）注意v（u，cu）- 铜≤ 五、*（u） )；- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju≤ 0.根据BSDE比较定理m（参见[10]中的定理2.2），但是≤ R（t），其中R由R（t）=ZTt[-r（u）r（u）+v*（u） ]杜-ZTt（Q（u））TdWu，（2.13）在LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）中有唯一解：（R（T），Q（T））=ZTte-Rstr（u）duv*（s） ds，0！。因此Ut（ξ+XXt；π，cT）≤ 任意（π，c）的Dt+Xt+R（t）∈ 我们已经证明了上界：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）≤ Dt+Xt+R（t）<∞. （2.14）接下来，我们展示表示（2.10）。我们首先明确地解决了（2.7）的LHS上的效用最大化问题。通过在（2.9）中取（π，c）=（0，bc），我们得到了but=ZTt-r（u）bUu+v*（u）- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-nXj=1ZTtZjudWju，wherebUs，美国（XXt；0，^cT）- XXt；0，bcsfor s∈ [t，t]。上述BSDE在LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）中有唯一的解，这与（2.13）相同：（但是，Zt）=（R（T），Q（T））。亨塞斯。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）≥ Ut（XXt；0，bcT）=但是+Xt=R（t）+Xt。上述不平等实际上就是平等。实际上，通过在（2.14）中取ξ=0，我们得到了上界：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）≤ R（t）+Xt，我们已经证明了这一点。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（XXt；π，cT）=R（t）+Xt（2.15），最优组合消费策略（π）*, C*) = （0，bc）对于（2.7）的效用最大化问题。另一方面，请注意（2.7）的RHS上的效用最大化问题与初始财富无关：ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+XXt；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）+Xt。

（2.16）通过组合（2.15）和（2.16），我们得到了表示式（2.10），这也表明投标价格Pb（t；ξ）与初始财富Xt无关。最后，通过在不等式（2.14）中取Xt=0，并使用表示式（2.10），我们得到了投标价格的上界：Pb（t；ξ）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）- R（t）≤ Dt+Rt- Rt=Dt。我们的下一个结果进一步描述了BSDE解决方案的差异价格。我们证明了不同的容许集∏会导致不同的投标价格Pb（t；ξ）和要价Ps（t；ξ），特别是，如果∏中没有约束，那么即使模型模糊，投标价格和要价都与风险中性价格一致。对于t∈ [0，T]和ω∈ Ohm, 我们定义了子集Bt（ω） RnbyBt（ω），（z）∈ Rn:zj=nXi=1σij（t）πit（ω）与πt（ω）∈ A） 。注意Bt（ω）仍然是闭合的，因为A是闭合的，σij（·）是有界的。对于任何z∈ Rn，我们进一步引入了o（z，Bt（ω））=minz∈Bt（ω）maxξt（ω）∈OnXj=1ξjt（ω）（zj+zj），其中O是rnx的一个闭凸集，包括原点0。由于Bt（ω）是闭的，因此Bt（ω）中至少有一个点使紧凸集O的支撑函数δO（·）最小：δO（z，z）=maxξt（ω）∈OnXj=1ξjt（ω）（zj+zj），我们将这样的极小点表示为argmin（z，Bt（ω））。在下文中，如果不出现混淆，我们将省略ω。定理2.5假设假设满足假设2.1和2.2，那么投标价格Pb（t；ξ）=UB和要价Ps（t；ξ）=Ust，其中UB和USE分别是以下BSDE的唯一解：Ubt=ξ+ZTth- r（u）Ubu- dO（Zbu，Bu）idu-ZTt（Zbu）TdWu；（2.17）Ust=ξ+ZTth- r（u）Usu+dO(-Zsu，Bu）idu-ZTt（Zsu）TdWu（2.18）代表（Ub，Zb）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）和（Us，Zs）∈ LF（0，T；R）×LF（0，T；Rn）。

投标价格的最优组合消费策略为（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Zb，B），bc），而要价为（π）*, C*) = （（σT）-1 argmin(-Z，B），bc）。此外，如果A=Rn，即不存在交易约束，那么投标价格Pb（t；ξ）和ASK价格Ps（t；ξ）都与风险中性价格Dt:Pb（t；ξ）=Ps（t；ξ）=Dt=EPhe一致-RTtr（u）duξ| Fti。投标价格的最优投资组合消费策略为（π）*, C*) = (-（σT）-1Y，bc），对于askprice（π*, C*) = （（σT）-1Y，bc），其中Y由（2.6）给出。证据我们再次只考虑出价的情况，因为要价的情况类似。根据表述（2.10），我们只需要解。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）。对于初始财富Xt=0，通过减去财富X0确定间接效用U；π、 cfrom原始效用U asUs=Us（ξ+X0；π，cT）- X0；π、 cs；Zjs=Zjs-nXi=1σij（s）πIs表示s∈ [t，t]。通过（2.3）和（2.9），很容易验证（U，Z）满足以下BSDE:Ut=ξ+ZTt-r（u）Uu+[v（u，cu）- [特写]- 最大ξ∈ΞnXj=1ξjuZju杜-ZTtZTudWu。（2.19）上述括号中的最大项可以用z asmaxξ重写∈ΞnXj=1ξjuZju=ma xξ∈ΞnXj=1ξjuZju+nXi=1σij（u）πiu！=δO（Zu，（σ（u））Tπu），这是Lipschitz连续的inZu，所以比较原理适用于（2.19）。对于任意（π，c）∈ π，韦哈维夫（t，ct）- 计算机断层扫描≤ 五、*（t） )；-δO（Zt，（σ（t））tπt）≤ -dO（Zt，Bt）和for（π，c）=（（σT）-argmin（Z，B），bc），我们有等式：v（t，c）*（t）- C*t=v*（t） )；-δO（Zt，argmin（Zt，Bt））=-dO（Zt，Bt）。根据BSDE比较原理，Ut≤ U*t对于任何（π，c）∈ π，whe re U*BSDE的解决方案是什么*t=ξ+ZTt- r（u）u*u+v*（u）- 做（Z）*u、 Bu）杜-ZTt（Z*u） TdWu，（2.20）和（Ut，Zt）=（u*t、 Z*t） 对于（π，c）=（（σt）-1 argmin（Z，B），^c）。因此，ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut（ξ+X0；π，cT）=ess。sup（π，c）∈π[t，t]Ut=U*t最优组合消费策略（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Z）*, B） ，^c）。

最后，很容易验证（U*T- R（t），Z*t） =（Ubt，Zbt），这是BSDE（2.17）的唯一解决方案。最后，如果A=Rn，即不存在交易约束，那么Bu（ω）也是Rn值，do（Zbu，Bu（ω））=minz∈Bu（ω）maxξu（ω）∈O（ξu（ω））T（Zbu+z）=0其中argmin（Zbu，Bu（ω））=-Zbu。在这种情况下，定价BSDE（2.17）降低为BSDE（2.6）。通过（2.6）解的唯一性，我们得到（Ub，Zb）=（D，Y）。在这种情况下，最优投资组合消费策略减少到（π）*, C*) = （（σT）-1argmin（Z）*, B） ，^c）=(-（σT）-1Y，^c）。在以下两个部分中，我们将把公用事业独立性的BSDE代表性结果应用于欧洲期权和美国期权。另一个潜在应用是考虑巴黎期权等外部期权。例如，郭等人[12]也在陈和爱泼斯坦[4]的框架下考虑了巴黎人的移民问题。然而，他们使用的是超级复制的概念，而不是效用差异估值，因此他们获得的是定价界限，而不是价格。3对欧式期权的应用在本节中，我们通过假设偶然目标的支付形式：ξ=ZTt，在马尔可夫环境中指定我们的模型（u） du+ψ（ST），（3.1）式中 是收益率，ψ是或有权a在到期日t的最终支付。

他们满足以下假设：假设3.1收益率（·）是一个连续函数，且最终的payoffψ是一致的，是连续的：|ψ（S）- ψ（S）|≤ K|S- S |代表S，S∈ Rn+，所以ψ（·）呈线性增长。在上述马尔可夫假设下，出价Pb（t；ξ）和要价Ps（t；ξ）可以写成时间t和状态St的函数：Pb（t，St；ψ）、Pb（t；ξ）和Ps（t，St；ψ）、Ps（t；ξ）。根据orem 2.5，Pb（T，St；ψ）和Ps（T，St；ψ）分别是下列BSDE的解：Pb（T，St；ψ）=ψ（St）+ZTth（u）- r（u）Pb（u，Su；ψ）- dO（Zbu，Bu）idu-ZTt（Zbu）TdWu；（3.2）Ps（t，St；ψ）=ψ（St）+ZTth（u）- r（u）Ps（u，Su；ψ）+dO(-Zsu，Bu）idu-ZTt（Zsu）TdWu，（3.3），其中状态S由（2.1）给出。此外，根据非线性Feynman Ka c公式（见[10]的定理e m 4.2），Pb（t，S；ψ）和Ps（t，S；ψ）是以下半线性偏微分方程的唯一粘度解：-tPb- LPb=（t）- NT中dO（（σ（t））TSDSPb，Bt）；-tPs- LPs=（t） +做(-NT中的（σ（t））TSDSPs，Bt）；Pb（T，S；ψ）=Ps（T，S；ψ）=ψ（S），S∈ (0, +∞)n、 （3.4）式中，NT，[0，T）×（0+∞)nand SDSP（S）SP，···，SnSnP）T，并且算子lqi由byLq，nXi，j=1aij（T）SiSj给出SiSj+nXi=1[r（t）- 齐（t）]Si硅- r（t）（3.5）与aij（t），Pnl=1σil（t）σjl（t）。算子LQI中的m q（·）=（q（·），··，qn（·））被解释为风险资产的股息率，我们将看到，在具有交易约束的不确定性模型下，通过调整标的资产的股息率，买入价格和卖出价格可以与风险中性价格相关联。为了进一步研究买卖价格的性质及其相关的混合策略，我们需要改进PBP和Ps的规律性。下面，我们给出了PDE的强解（3.4）。提案3.2要求满足假设2.1、2.2和3.1。

然后，偏微分方程（3.4）具有线性增长的唯一强解。具体来说，Pb（t，S；ψ），Ps（t，S；ψ）∈ W2、1p、loc（新界）∩ C（NT）表示任何p≥ 存在一个常数C，使得|Pb（t，S；ψ）|+|Ps（t，S；ψ）|≤ C（1+| S |）表示任何（t，S）∈NT，其中W2，1p，loc（NT）是域N上限制的所有函数的集合*t至W2，1p（N）*T） 对于任意紧致子集N*Tof NT和W2，1p（N*T） 是C语言的完成∞（N）*T） 根据标准：KPKW2，1p（N*T） ，“锌*T| P | P+|tP | p+| DSP | p+| DSP | pdSdt#p，其中DSP，DSP表示p相对于S的梯度和Hessian矩阵。我们将在附录中说明，偏微分方程（3.4）是变分不等式（4.6）的特例（见定理B.1）。因此，上述存在性和正则性结果只是命题4.5中变分不等式（4.6）相应结果的一个特例。在本节的其余部分中，我们通过指定相应核ξt（ω）的值集O来考虑先验集Θ的一个具体例子∈ O:O，{x∈ 注册护士：-κi≤ xi≤κi，i=1，··，n}，其中κi，κi≥ 0.相应的先验集表示为Θ，这是[4]第3.3节中κi=κi的推广。利用上述先验集Θ，支持函数δO（z，z）可以计算为δO（z，z），nXi=1κi（zi+zi）+κi（zi+zi）-= κT（z+z）+κT（z+z）-.根据orem 2.5，如果没有交易约束，即使模型不确定，买入价和卖出价都与ris k-中性价格一致。在下面，我们通过限制A=[0]中的值来指定容许集∏，∞)n、 这相当于卖空限制。

相应的容许集表示为∏。我们表示Black-Scholes模型下的风险中性价格，股息率q（·）和派息率ψ为P（t，S；q，ψ），而先验集Θ和容许集∏为P1m（t，S；ψ）的差异价格为m∈ {b，s}。通过假设δO（z，z）=0，我们可以将Black-Scholes框架视为差别定价模型的特例。我们在本节中的主要结果是不同股息率下的不同价格和风险中性价格之间的关系。提案3.3的前提是假设2.1、2.2和3.1满足，前提集为Θ，允许集为∏如果每种成分Si中的ψ（S）都在增加，那么投标价格由p1b（t，S；ψ）=P（t，S；σκ，ψ）和最优投资组合消费策略（π）给出*, C*) = （0，^c），最优组合消费策略（π）下的要价由p1s（t，S；ψ）=P（t，S；0，ψ）给出*, C*) = （SDSP，^c.）如果每种成分Si中的ψ（S）都在减少，那么投标价格由p1b（t，S；ψ）=P（t，S；0，ψ）和最优投资组合消费策略（π）给出*, C*) = (-SDSP，^c），并且在最优投资组合消费策略（π）下，给出了卖出价为yp1s（t，S；ψ）=P（t，S；σκ，ψ）*, C*) = （0，^c）。证据我们只证明了ψ（S）在每个分量Si中增加的情况，而减少的情况是相似的。从（2.1）中可以明显看出，site=SitexpZTtr（u）-nXj=1 |σij（u）|du+ZTtnXj=1σij（u）dWju.因此，如果ψ（ST）在每个组分SiT中增加，那么它在SiT中也会增加。根据BSDE对EOREM的比较，对于m∈ {b，s}，P1m（t，St；ψ）在每个组分中也在增加。从P1m开始∈ W2，1p，任何p的位置（NT）≥ 1.Sobolev spa ce的嵌入定理e m暗示DSP1m∈ C（NT）如果我们选择sep>n+2。因此SiP1m≥ 每i=1，2，··，n取0。