算子分裂法在金融中的应用

6.Merton模型下美式期权的时间离散化误差，IMEX–CNAB方案，LCP的算子分裂法，以及Crank–Nicolson方法，均采用平滑。26 Karel in\'t Hout和Jari Toivanen，其中df=e-在欧洲案例中为RTI，在美国案例中为df=1。在退化边界v=0时，Heston PDE在欧洲案件中成立，并假设Heston LCP在美国案件中成立。ats=Smax和v=Vmax这两种情况都会产生建模误差，因为它们并不完全符合实际期权价格函数，但在我们的实验中，（s，v）-域中感兴趣区域的误差很小。对于Heston PDE和Heston LCP的空间离散化，我们在笛卡尔网格上应用FDE公式。在这里，s和v方向都使用了非均匀网格，因此大部分网格点分别位于s=K和v=0的邻域中。这是（s，v）域中希望获得期权价格的区域。其次，与使用统一网格相比，这种非均匀网格的应用可以极大地提高FD离散化的精度。这与以下事实有关：初始函数（4）在s=K和v的一阶导数中具有不连续性≈ 0赫斯顿偏微分方程是对流占优的。s方向上的网格与第7.1节中的网格相同。要在v方向构造网格，请使用整数m≥常数d>0，设等距离点ψj=j·ψ对于j=0，1。，姆威思ψ=msinh-1.Vmaxd.然后是一个平滑、不均匀的网格0=v<v<…<vm=Vj定义的vm轴=d·sinh（ψj）（0≤ J≤ m） 。（49）参数d控制位于v=0附近的网格点Vj的分数。

我们试探性地选择=Vmax。Heston Pdean和Heston LCP初始边值问题的半离散化如下所示。考虑到狄里克莱条件（46），[0，Smax]×[0，Vmax]中的网格由{（si，vj）：1给出≤ 我≤ m、 0≤ J≤ m} 。在该网格中，每个空间导数被第4节中描述的相应二阶中心函数公式替换，并对边界v=0、s=Smax和v=Vmax进行了修改。在边界v=0时，导数u/v用二阶前向公式近似。v方向上的所有其他导数项在v=0时消失，因此不需要进一步处理。在边界s=Smax处，s方向上的空间导数如第7.1节所述。请注意，s=s时的Neumann条件（47）最大化混合导数u/sv消失在那里。在边界v=Vmax处，需要考虑v方向上的空间导数。这完全类似于s=s时s方向的情况，现在使用Neumann条件（48）。通过应用金融中的算子分裂方法确定时间离散化误差27be（m，m，N）=max|嗯，我-Ul（T）|：K<si<K，0<vj<1, （50）其中索引l对应于网格点（si，vj）。使用（m，m，N）=（160,80,5000）计算参考向量u（T）。我们研究了（m，m，N）=（160,80,2k），k=0,1，10和三种方法：带θ=和平滑的Do方案，带θ=和不带平滑的MCS方案，以及带平滑的Crank–Nicolson方案。图7显示了欧洲看跌期权获得的结果。第一个观察结果是，对于所有三种方法，时间误差都是由一个适度值从上方限定的，并且随着N的增加而单调减小。Themmcs和Crank–Nicolson格式的误差图几乎相同，并且揭示了二阶收敛行为。

Do方案仅显示一阶收敛。显然，这三种方法的收敛顺序与它们各自的经典一致性顺序一致。通过大幅度改变（m，m）的附加实验表明，对于所有三种方法，时间误差几乎不受影响，这是一个理想的特性，并表明在所谓的刚性范围内收敛。虽然没有显示他们的结果，但我们提到了带θ=和平滑的CS方案和带θ的HV方案=+√3不平滑的情况下，其行为与本实验中的MCS方案类似，误差稍大。图9显示了美式看跌期权获得的结果。我们的观察结果与上述欧洲期权的情况类似。然而，值得注意的是，Do方案通常具有与MCS和Crank–Nicolson方案几乎相同的时间误差。但如果N足够大，那么这种方法确实会出现一阶收敛行为。对于Crank-Nicolson格式，当NN较大时，可以看到与二阶的小偏差。然而，当考虑到其他值（m，m）时，这种情况就会消失。通过大幅度改变（m，m）的附加实验表明，对于所有三种方法，时间误差的影响最轻微。接下来，我们考虑在欧式看跌期权的情况下，总离散化误差定义为bye（m，m，N）=max|嗯，我-u（si，vj，T）|：K<si<K，0<vj<1, （51）指数l对应于网格点（si，vj）。这里，精确的解值是通过适当的Heston半封闭形式分析公式计算出来的[38]。请注意，由于将Heston PDE的域截断为有界集而导致的建模误差也包含在e（m，m，N）中。在我们的实验中，这一贡献微不足道。无花果

8显示（m，m，N）=2k（10,5,2），k=0,1，6以及本节中考虑的三个方案。对于Themmcs和Crank–Nicolson格式，总误差基本相同，并且观察到了二阶收敛行为。对于Do方案，总误差几乎与这两种方案相同，直到k=4，但随后收敛到预期的一阶。28 Karel in’t Hout和Jari Toivannou对（二维）Heston模型中的ADI方案进行了更广泛的数值研究，我们参考了[39]中的欧式方案和[37]中的美式方案。对于三维偏微分方程，如HHW偏微分方程，ADI格式的数值收敛性已在[35,36]和[34]中进行了研究。在这些参考文献中，考虑了各种参数集，包括长到期时间和严重违反Feller条件的情况，以及各种障碍选项和边缘量的近似值。10-310-210-110010-710-510-310-11011/时间误差平滑后的Dosmoothed CNMCSFig。7赫斯顿模型下欧式看跌期权的时间离散化错误。时间离散方法有：带θ=和平滑的Do格式，不带平滑的带θ=的MCSscheme格式，以及带平滑的Crank–Nicolson格式。7.4贝茨模型我们根据贝茨模型对欧洲和美国看跌期权进行定价。边界条件由（46）-（48）给出。对于模型的随机波动性部分，参数的取值与赫斯顿模型相同，由（45）给出。对于跳跃部分，参数与默顿模型相同，由（43）给出。离散化基于相同的网格，空间导数的离散方式与第7节中的赫斯顿模型相同。3.

对于跳跃积分，使用与第7.2节中默顿模型相同的离散化。我们在这里考虑IMEX–CNAB方案和Crank–Nicolsonmethod，这两种方法都适用于Merton模型的平滑。算子分裂法在金融中的应用2910-310-210-110010-710-510-310-11011/N总误差平滑后的Dosmoothed CNMCSFig。8 Heston模型下欧式看跌期权的总离散化误差。时间离散方法有：带θ=和平滑的Do格式，不带平滑的带θ=的MCS格式，以及带平滑的Crank–Nicolson格式。10-310-210-110010-710-510-310-11011/使用splittingsmoothed CN使用splittingMCS使用splittingFig对时间误差进行平滑处理。9赫斯顿模型下美国看跌期权的时间离散化错误。时间离散方法有：带θ=和平滑的Do格式，不带平滑的带θ=的MCSscheme格式，以及带平滑的Crank–Nicolson格式。30 Karel in’t Hout和Jari ToivanenAs在Heston模型中，我们考虑了网格上的时间离散误差（m，m，N）=（160,80,2k），k=0,1，10.参考价格向量U（T）使用时空网格（160805000）计算。图10中的欧式期权和图12中的美式期权显示了时间离散误差be（m，m，N）。图中显示了IMEX–CNAB方案和Crank–Nicolson方法的误差。对于美式选项，LCP的操作员拆分方法与IMEX–CNAB方案一起使用。与其他模型一样，两种方法的欧式期权的时间误差非常相似，它们都抑制了二阶收敛。

对于美式选择，两种方法之间的差异不如Black-Scholes和Merton模型明显。尽管如此，对于大时间步长，Crank–Nicolson方法比算子分裂方法更精确，而对于小时间步长，情况正好相反。在这个例子中，收敛速度似乎在1.5和2.0之间。我们计算了网格（m，m，N）=2k（10,5,2），k=0,1，…，上欧式选项的总离散化误差e（m，m，N）。。，6.参考价格根据时空网格（25601280512）计算。图11显示了MEX–CNAB方案和Crank–Nicolson方法的总误差。与其他模型一样，两种方法的总误差几乎相同，并且都具有总误差的二阶收敛性。10-310-210-110010-710-510-310-11011/时间误差平滑IMEX-CNABsmoothed CNFig。10贝茨模型下欧式期权的时间离散化误差，采用theIMEX–CNAB方案和Crank–Nicolson方法，均采用平滑。算子分裂法在金融中的应用3110-310-210-110010-710-510-310-11011/NTotal错误平滑IMEX-CNABsmoothed CNFig。11贝茨模型下欧式期权的总离散化误差，采用theIMEX–CNAB方案和Crank–Nicolson方法，均采用平滑。10-310-210-110010-710-510-310-11011/时间误差平滑IMEX-带有拆分平滑CNFig的CNAB。12贝茨模型下美式期权的时间离散化误差，采用IMEX–CNAB方案以及LCP的算子分裂法，以及Crank–Nicolson方法，均采用平滑。32 Karel in’t Hout和Jari Toivanen8结论我们讨论了当代偏积分微分方程框架下金融期权估值问题的数值解法。

这些问题通常是多维的，由于基础资产价格模型中包含跳跃，可能涉及非局部积分算子。美式期权的早期特征导致了非线性的线性互补问题。所有这些性质都增加了经典隐式数值方法得到的离散问题的复杂性，并使其有效解成为一项具有挑战性的任务。然而，期权价值的有效计算在许多应用中至关重要。本章概述了用于时间离散化的各种类型的算子分裂方法，这些方法在每个时间步中产生一系列离散子问题，这些子问题可以更容易、更有效地处理，基本上不影响基本离散化的精度。以下重点介绍本章中介绍的不同运算符拆分方法。对于多维模型，ADI类型的定向分裂方法为数值时间步进提供了一种快速、准确且易于实现的方法。它们适用于有效处理金融中普遍存在的混合空间导数项。ADI格式产生一系列稀疏线性子问题，这些子问题可以通过LU分解以最佳计算成本解决，也就是说，所需操作的数量与未知数的数量成正比。推荐MCS和HV格式，并适当选择其参数θ，因为它们具有稳定性和二阶收敛性，并且显示出比二阶CS更好的相干平滑。基础资产价格收益率矩阵跳跃模型的空间离散化。所有经典的隐式时间离散格式都需要用这些稠密矩阵来求解系统。

通过采用IMEX-CNAB方案倡导的IMEX方法，明确处理（有限活动）跳跃和隐式处理算子的剩余部分，每个时间步都涉及到与这些密集矩阵的乘法。这在计算上是一项简单得多的任务，通常可以使用FFT快速执行。当跳跃活动不是很高时，例如每年少于几次跳跃时，IMEX–CNAB方案的准确性和稳定性良好。迭代方法，如PSOR方法，用于解决美式期权定价产生的LCP，往往收敛缓慢。我们讨论了一种基于拉格朗日乘子公式的算子分裂方法，在每个时间步中处理单独子问题中的早期练习约束和互补条件，其中主要子问题基本上与欧式对应子问题相同。通过这种方法，很容易将欧洲期权价格调整为美国期权价格。我们对ADI和IMEX方法进行了这样的调整。此外，它适用于基础资产价格的大多数模型。这种算子分裂方法的数值经验表明，精度基本上与原始LCP的情况相同，但可以大大减少不计算时间。算子分裂法在金融领域的应用33参考文献1。《期权定价的计算方法》，应用数学前沿，第30卷。工业和应用数学学会（暹罗），宾夕法尼亚州费城（2005）2。Almendral，A.，Oosterlee，C.W.：期权的数值估值，其基础价格出现跳跃。阿普尔。数字。数学53(1), 1–18 (2005)3. Andersen，L.，Andreasen，J.：跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。牧师。德里夫。第4（3）号决议，第231-262（2000）4号决议。

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