指数OU模型下的最优多次交易时间

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英文标题：
《Optimal Multiple Trading Times Under the Exponential OU Model with
  Transaction Costs》
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作者：
Tim Leung, Xin Li, Zheng Wang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the timing of trades under mean-reverting price dynamics subject to fixed transaction costs. We solve an optimal double stopping problem to determine the optimal times to enter and subsequently exit the market, when prices are driven by an exponential Ornstein-Uhlenbeck process. In addition, we analyze a related optimal switching problem that involves an infinite sequence of trades, and identify the conditions under which the double stopping and switching problems admit the same optimal entry and/or exit timing strategies. Among our results, we find that the investor generally enters when the price is low, but may find it optimal to wait if the current price is sufficiently close to zero. In other words, the continuation (waiting) region for entry is disconnected. Numerical results are provided to illustrate the dependence of timing strategies on model parameters and transaction costs.
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中文摘要：
本文研究了固定交易成本下均值回复价格动态下的交易时机。当价格受指数Ornstein-Uhlenbeck过程驱动时，我们求解一个最优双停问题来确定进入和随后退出市场的最佳时间。此外，我们还分析了一个涉及无限交易序列的相关最优切换问题，并确定了双停和切换问题允许相同的最优进入和/或退出时机策略的条件。在我们的结果中，我们发现投资者通常在价格较低时进入，但如果当前价格足够接近于零，投资者可能会发现等待是最优的。换句话说，输入的继续（等待）区域断开。数值结果说明了定时策略对模型参数和交易成本的依赖性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Multiple_Trading_Times_Under_the_Exponential_OU_Model_with_Transaction_Costs.pdf (323.6 KB)

2022-5-8 03:26:54 上传

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关键词：交易时间 Mathematical Quantitative Continuation Transaction

具有交易费用的指数OU模型下的最优多次交易时间*Tim Leung+Xin LiZheng Wang§2018年7月9日摘要本文研究了均值回复价格动态下受实际交易成本影响的交易时机。当价格受指数OrnsteinUhlenbeck过程驱动时，我们解决了一个最优双停问题，以确定进入和随后退出市场的最佳时间。此外，我们还分析了一个涉及交易顺序的相关最优切换问题，并确定了双停止和切换问题允许相同最优进入和/或退出时机策略的条件。在我们的结果中，我们发现投资者通常在价格较低时进入，但如果当前价格足够接近于零，则可能会发现等待是最理想的。换句话说，进入的持续（等待）区域断开。数值结果说明了定时策略对模型参数和交易成本的依赖性。关键词：最优双停、最优切换、指数OU过程、交易成本EL分类：C41、G11、G12数学主题分类（2010）：60G40、91G10、62L151简介个人和机构投资者通常面临的一个重要问题是确定何时购买和出售资产。当潜在投资者观察资产的价格过程时，她可以决定立即进入市场或等待未来的机会。完成首次交易后，投资者需要选择结束头寸的时间。这促使我们研究交易的最佳顺序时机。当然，最佳交易时间顺序应该取决于风险集合的价格动态。

例如，如果价格过程是一个超/次鞅，那么寻求最大化预期清算价值的投资者要么立即卖出，要么永远等待。当基本价格遵循几何布朗运动时，就会出现这样一个小的时间点。Shiryaev等人（2008年）也有类似的观察结果。另一方面，人们广泛观察到，许多资产价格表现出均值回归，从股票和商品到货币和波动性指数（见Metcalf和Hassett（1995年）、Bessembinder等人（1995年）、Casassus和Collin Dufresne（2005年），以及其中的参考文献）。为了结合正价格过程的均值回归，定价和投资应用的一个流行选择是指数回归*我们感谢两位匿名推荐人对我们的论文进行了透彻的审查，并发表了有益的评论。+IEOR系，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；电子邮件：tl2497@columbia.edu.纽约哥伦比亚大学IEOR系，纽约10027；电子邮件：xl2206@columbia.edu.§IEOR系，哥伦比亚大学，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：zw2192@columbia.edu.Ornstein-根据Schwartz（1997）提出的商品价格的Uhlenbeck（XOU）m模型，由于其分析的可处理性。它也是更复杂的均值回复模型的基础。本文研究了考虑交易成本的XOU模型下的最优交易时机。我们考虑两种不同但相关的配方。首先，我们考虑单进单出的交易问题，每笔交易产生固定成本。这使我们分析了一个最优双停问题。在第二个公式中，假设投资者以交易成本多次进出市场。

这就产生了一个最优切换问题。我们解析地导出了非平凡的进入和退出时机策略。在这两种方法下，当资产价格足够高时出售是最佳选择，尽管价格水平不同。作为进入时机，我们发现，在某些情况下，当投资者面临最优切换问题时，完全不进入市场是最优的。在这种情况下，对于具有顺位的投资者，最优切换问题转化为最优停止问题，其中最优清算水平与最优双停止问题相同。否则，双重停车和切换问题的最佳进入时机策略由基础的第一次通过时间描述为零级以上的时间间隔。换言之，输入的连续区域与形式（0，A）断开∪ （B）+∞), 临界价格水平为A和B（见下面的定理3.2和3.4）。这意味着投资者通常在价格较低时进入，但如果当前价格太接近于零，投资者可能会发现等待是最佳选择。我们发现，由于XOU模型下的固定交易成本，这种现象是一个明显的后果。事实上，当没有固定成本时，即使存在比例交易成本（见Zhang和Zhang（2008）），进入时间也只是以单一价格水平为特征。由扩散驱动的最优停止问题的典型解决方法包括相关自由边界p问题或变分不等式（VIs）的分析和数值研究；参见Bensoussan and Lions（1982）、Oksendal（2003）和Sun（1992）。当最优买入/卖出策略的结构已知时，这种方法非常有用。

与VI方法相反，我们通过将值函数（入口和出口）描述为相应奖励函数的最小凹主函数（见Dayanik和Karatzas（2003）以及其中的参考文献）来解决双重停止问题。这使我们能够直接构造值函数，而无需预先找到候选值函数，也无需对停止和继续区域施加条件，例如它们是否连接。换句话说，我们的方法将导出停止和继续区域的结构作为输出。此外，当奖赏函数的形式不具备一些可修正的性质时，VI方法变得更具挑战性，例如凸性、耳鸣性m和正性。这为我们的概率方法提供了另一个原因，因为进入问题的奖励函数既不是凸/凹的，也不是单调的，也不总是正的。在解决了最优双s-Toping p问题后，我们确定了买入/卖出/等待区域的最优结构。然后，我们应用这一点来推导最优切换问题的近似解结构，并用变分不等式进行验证。在文献中，Zhang和Zhang（2008）研究了XOU价格动态下的最优切换问题，考虑了滑动（比例交易成本）。作为扩展，Kong和Zhang（2010）允许卖空，以便投资者可以通过多头或空头仓位进入市场，并在下一次交易中收盘。作为一种数值方法，Song等人（2009）讨论了一种随机近似方案，该方案通过先验假设XOU模型下的低买高卖策略来计算最优买入和卖出价格水平。与这些研究不同的是，我们研究了在固定交易成本条件下的最优双停止和切换问题。

特别是，固定交易成本下的最佳进入时机与滑动时的最佳进入时机截然不同。Zervos等人（2013年）考虑了一类时间同质差异下具有固定交易成本的最优转换问题，包括GBM、基础均值回复C EV和其他模型。然而，他们的结果不适用于指数OU模型，因为它违反了他们论文的假设4（另见下面的备注4.5）。事实上，他们的模型假设限制了最优进入区域由一个临界值表示，而我们表明，在XOU模型中，最优进入区域的特征是两个正价格水平。关于最优违约止损的相关应用，Leun g和Li（2015）研究了在止损约束下交易违约价差的最佳时机。Karpowicz和S zajowski（2007）从保险公司的角度分析了风险过程的双重停止时间。Leung和Ludkovski（2011）（欧洲和美国期权）以及Leung和Liu（2012）（信用衍生品）也研究了买入/卖出衍生品的时机问题。Menaldi等人（1996）研究了一般马尔可夫过程的最优启停问题，并给出了值函数的数学特征。论文的其余部分结构如下。在第二节中，我们讨论了最优双停止和最优切换问题。然后，我们给出了第3节的分析和数值结果。第4节详细介绍了我们主要结果的证明。

最后，附录包含了一些引理的证明。2问题概述在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是历史概率度量。在这一节中，我们将概述我们的最优双停止和切换问题，它将涉及一个指数Ornstein-Uhlenbeck（XOU）过程。XOU过程（ξt）t≥0由ξt=eXt，dXt=u（θ）定义- Xt）dt+σdBt。（2.1）这里，X是一个由标准布朗运动B驱动的OU过程，具有常数参数u，σ>0，θ∈ R.换句话说，X是正XOU过程的对数价格ξ。2.1最优双停止问题对于具有XOU价格过程的风险资产，我们首先考虑最佳出售时机。如果在某个时间τ出售资产股份，则投资者将获得价值ξτ=eXτ，并支付恒定交易成本cs>0。用F表示B生成的过滤，T表示所有F停止时间的集合。为了最大化预期贴现值，投资者解决了最优停止问题v（x）=supτ∈特克斯E-rτ（eXτ）- （政务司司长）, （2.2）其中r>0是恒定贴现率，且≡ E{·| X=X}。价值函数V（x）表示与ξ相关的预期清算价值。另一方面，当前价格加上交易成本构成了进入交易的总成本。在持有风险资产之前，投资者总是可以选择开始交易的最佳时机，或者根本不进入。这导致我们分析了交易问题中的进入时机。精确地说，我们解j（x）=supν∈特克斯E-rν（V（Xν）- eXν- （cb）, （2.3）当交易成本cb>0时，在购买时产生红色。换言之，交易方寻求最大化价值函数V（Xν）与当前交易成本cb之间的预期差异。

价值函数J（x）表示价格过程ξ中投资机会的最大预期价值，在进入和退出时，交易成本分别为CbC和csincurred。根据我们的分析，CBC和CSC的交易成本可能有所不同。为了便于演示，我们将函数shs（x）=ex表示为- Cs和hb（x）=ex+cb。（2.4）如果结果是J（X）≤ 对于某个初始值X，则投资者不会开始交易X。在任何给定的动力学中，识别琐碎的情况都很重要。在XOU模型下，自从supx∈R（V（x）- 血红蛋白（x））≤ 0表示J（x）≤ 0代表x∈ R、 因此，我们将重点讨论CaseWithUpx∈R（V（x）- hb（x））>0，并求解非平凡最优定时策略。2.2最优转换问题在最优转换方法下，投资者有义务承诺一定数量的交易。顺序交易时间由停止时间ν、τ、ν、τ、·来建模∈ 不是这样的≤ ν≤ τ≤ ν≤ τ≤ . . . .风险资产的一部分分别在νi和τi，i时买卖∈ 投资者交易的最佳时机取决于初始头寸。准确地说，在XOU模型下，如果投资者从零位开始，那么第一个交易决定是何时买入，相应的最优切换问题是)J（x）=sup∧Ex(∞Xn=1[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]，（2.5）和一组容许停止时间∧=（ν，τ，ν，τ，…），以及（2.1）中定义的奖励。另一方面，如果投资者最初持有该资产的一部分，那么投资者首先决定何时出售并解决V（x）=sup∧Ex（e）-rτhs（Xτ）+∞Xn=2[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]，（2.6）与∧=（τ，ν，τ，ν。

)总之，最佳双停和切换问题在交易数量上有所不同。注意，双停止问题（2.1）和（2.1）的任何策略也分别是切换问题（2.2）和（2.2）的候选策略。因此，V（x）≤~V（x）和J（x）≤~J（x）。我们的目标是推导和比较这两种方法下相应的最优时间策略。3分析结果摘要我们首先总结分析结果并说明最佳交易策略。解的方法及其证明将在第4节中讨论。我们从XOU模型下的最优停止问题（2.1）和（2.1）开始。表示输出过程X在（2）中的最小生成器byL=σddx+u（θ- x） ddx。（3.1）回想一下微分方程lu（x）=ru（x）的经典解∈ R、 是（参见Borodin and Salminen（2002）第542页）和Prop。Alili等人（2005）的2.1:F（x）≡ F（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（x）-θ） u-udu（3.2）G（x）≡ G（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（θ）-x） u-乌杜。（3.3）直接分化产生F′（x）>0，F′（x）>0，G′（x）<0和G′（x）>0。因此，我们观察到F（x）和G（x）都是严格正的和凸的，它们分别严格递增和递减。通过τκ=inf{t，确定X到某一水平κ的首次通过时间≥ 0:Xt=κ}。众所周知，F和G都承认了概率表达式（见o和McKean（1965）和Rogers和Williams（2000））：Ex{e-rτκ}=（F（x）F（κ）如果x≤ κ、 G（x）G（κ）if x≥ κ、 3.1最佳双停车问题我们现在给出最佳退出时机问题的结果。定理3.1最优清算问题（2.1）允许解v（x）=（eb*-脑脊液（b*)F（x）如果x<b*,前任- csif x≥ B*,（3.4）最优原木价格水平为b*对于清算，只能从方程ebf（b）=（eb）中找到- cs）F′（b）。

（3.5）最佳清算时间由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*} = inf{t≥ 0:ξt≥ 电子束*}.定理3.2在XOU模型下，最优进入时机问题（2.1）允许解j（x）=pf（x）如果x∈ (-∞, A.*),V（x）- （ex+cb）如果x∈ [a]*, D*],QG（x）如果x∈ （d）*, +∞),（3.6）康斯坦斯=V（a*) - （ea）*+ cb）F（a）*), Q=V（d）*) - （埃德*+ cb）G（d）*),以及关键级别a*和d*分别满足F（a）（V′（a）- ea）=F′（a）（V（a）- （ea+cb）），（3.7）G（d）（V′（d）- ed）=G′（d）（V（d）- （ed+cb））。（3.8）最佳进入时间由νa给出*,D*:= inf{t≥ 0:Xt∈ [a]*, D*]}.总之，一旦价格达到上限B，投资者就应该退出市场*. 相比之下，最佳进入时机是XOU价格ξ首次进入区间[ea]的时间*, 预计起飞时间*]. 换句话说，如果当前价格ξ太接近于零，即如果ξt<ea，则等待是最佳的*. 此外，间隔[ea]*, 预计起飞时间*] 包含在（0，eb）中*), 因此，市场进入的延续区域是断开的。3.2最优切换问题我们现在转向XOU模型下（2.2）和（2.2）中定义的最优切换问题。为了便于演示，我们表示fs（x）：=（μθ+σ）- r）- ux+rcse-x、 fb（x）：=（μθ+σ- r）- ux- rcbe-x、 将运算符L（见（3））应用于Hs和hb（见（2.1）），其结果如下（L-r） hs（x）=exfs（x）和（L）- r） hb（x）=exfb（x）。因此，fs（resp.fb）保留了（L）的符号- r） 房协（负责）- r） 血红蛋白）。可以看出，fs（x）=0有一个唯一的根，用xs表示。然而，fb（x）=0（3.9）可能没有根、一个根或两个不同的根，如果它们存在的话，由xb1和xb2表示。