线性动态系统的噪声鲁棒在线推理

似然函数的估计似然函数是观测值y，···，yT的联合密度，可分解为asp（y，···，yT）=TYk=1p（yk··，y1:k）-1） ，（46）自相关函数被限制为正（即ρ∈ （0，1））用于此类构造。LDSSet HGM的DRAFTAlgorithm 1 RBPF用于过程和/或测量噪声-p（λk）是根据每个粒子i=1，N.初始化：o为每个迭代设置p（x（i））：对于k=1，2。do1）PF预测步骤o根据第IV-B节，样本λ（i）k–如果k=1，λ（i）k~ p（λk）–else，λ（i）k~ p（λk |λ（i）k-1） o设置λ（i）1:k，（λ（i）1:k-1，λ（i）k）2）KF预测步骤o设置uwk（i），uek（i），Qk（i），Rk（i）（等式（25））o计算bxk | k-1（i）和Pk | k-1（i）（等式（33）-（34））3）KF更新步骤o计算bxk（i）和Pk（i）（等式（36）-（39））o计算p（yk |λ（i）1:k，y1:k-1） （等式（40）-（41））4）PF更新步骤o重量更新–w（i）k∝ p（yk |λ（i）1:k，y1:k-1） –标准化权重o对粒子重新采样–让重新采样的粒子指数∈ {1，···，N}–设置bxk（i）=bxk（ji）和Pk（i）=Pk（ji）-设置λ（i）1:k=λ（ji）1:k–移动到下一步Draft，其中k=1，p（yk | y1:k）-1） 被解释为p（y）|) ≡ p（y）。密度p（yk | y1:k）-1） 可以通过使用（42）asp（yk | y1:k）边缘化λ1:kin（40）来获得-1) ≈NXi=1ew（i）kNuLk（i）∑Lk（i）. （47）E.p-步进预测在时间步k时，我们有观测值{y，··，yk}和相应的过滤密度（xk | y1:k）。该状态的p步超前预测现在可以如下获得：p（xk+p | y1:k）=Zp（xk+p | y1:k，λ1:k）p（λ1:k | y1:k）dλ1:k≈NXi=1w（i）kp（xk+p | y1:k，λ（i）1:k）。

（48）现在，现在，我们可以通过一步一步的前进式KF预测来获得。现在，我们可以通过一步一步的前进式KF预测来获得。现在，现在，我们可以通过一步一步一步一步的预测来获得。现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，我们可以获得。现在，现在，现在，现在，现在，我们可以获得。现在，现在，现在，可以可以可以获得。1.1.1.1.1.1.1。现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，现在，可以可以可以可以通过使用。1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.T+pXj=1Φk+1+p，k+1+jBk+jQk+j（i）（Bk+j）T（Φk+1+p，k+1+j）T，（51）其中我们使用符号Φk，l=Ak-1Ak-2··Al（k>l）和Φk，k=I[3]。V.针对LDS的鲁棒噪声自适应滤波虽然在前一节中假设噪声的分布是平稳的和已知的，但重要的是要注意，所提出的算法已经在进行噪声自适应滤波。要了解这一点，请首先注意（28），我们也在按时间顺序估计λk。现在从时间开始（k）- 1） 对于k，当我们生成N个新样本{λ（i）k}Ni=1时，与p（λ1:k）相关的经验分布由粒子云给出λ（i）1:k（1/N）Ni=1。由于时间k时（25）中的噪声被假定为分层高斯噪声，我们现在可以表示噪声的密度（比如vk）asp（vk）≈NNXi=1Nvk |u（λ（i）1:k），∑（λ（i）1:k）, （52）Draft是一种等权有限（随机）高斯混合（成分重量=1/N）。这是我们对（未知）噪音的先验知识。当新的测量值到达时，我们使用贝叶斯规则更新到NoisePosteror。后验概率现在由相同的随机混合成分组成，但成分权重根据观察可能性（即p（yk |λ（i）1:k，y1:k）进行调整-1)).这种结构确保我们有一个非高斯噪声自适应滤波器。然而，该滤波器的稳定性仍然对所选先验噪声无法解释的任何潜在大噪声敏感。在实际应用中，这种噪声自适应滤波器的鲁棒性是通过预先选择来实现的。

这确保了生成的滤波器对异常值具有鲁棒性，但同时由于其噪声自适应行为，当没有异常值时，性能不会降低。六、 数值研究我们从测量噪声倾斜但其分布已知时的推断问题开始。这是一个随机波动性问题（金融）的例子。接下来我们考虑噪声参数未知且随时间变化的情况。在这里，我们在以下情况下对时间序列问题上提出的鲁棒噪声自适应滤波器进行测试：（a）未知测量噪声和（b）过程噪声和测量噪声都未知。最后，我们考虑了一个机动目标跟踪的例子，并将该方法与交互式多模型（IMM）算法进行了比较。A.已知平稳非高斯噪声的LDS我们考虑（3a）-（3b）定义的波动性示例的在线过滤问题。这个例子说明了所提出的框架在处理倾斜噪声方面的优势（尽管我们注意到，在考虑计算成本时，PF更适合于这个标量问题）。如图（1）所示，观测噪声高度倾斜。在文献中，这是近似的。g、 ，通过将前四个矩相等，将七个高斯分量混合在一起[50]。这里，我们使用GH-skew Student t分布来近似该噪声密度，其中u=1.75，β=-2.3，∑=1和ν=5.8。在[21]之后，我们选择γ=0、γ=0.9和σn=0.1，并使用（2）生成1000个时间步的（模拟）返回数据。接下来，使用模拟数据，我们通过算法1估计滤波器分布。我们观察到，该算法能够很好地处理顺序估计任务。

图（2）绘制了模拟数据、（近似）观测噪声密度和滤波平均估计的典型实现。吃水100 200 300 500 600 700 800 900 1000-10010观察到的回报-15-10-5 0 5 1000.10.2观测噪声密度TrueAsym St100 200 300 500 700 900 1000-505log-波动率真实估计图2：随机波动率示例：（顶部）模拟回报数据yk，（中间）观测噪声密度及其GH-skew Student t近似值，（底部）真实对数波动率和一个滤波平均估计值的实现。B.时变和未知噪声参数我们从未知测量噪声的情况开始，然后是过程噪声和测量噪声都未知的情况。1） 测量噪声未知：我们考虑以下给定bysk=1.51sk的时间序列问题-1.- 0.55sk-2+wk，（53a）yk=sk+ek，（53b）其中，信号ski演变为二阶自回归过程，wk~ N（0，1）。假设测量噪声的分布未知。模拟（合成）测量是使用混合分布ek生成的~ 0.95N（0,10）+0.05N（0,100）。对于绝对噪声自适应滤波器，未知EK的先验值被视为零均值Student\'s t，∑=10，ν=5。图（3）显示了滤波平均估计的典型实现。我们可以观察到测量值包含偶尔出现的异常值（统计上彼此独立），但过滤器在估计隐藏信号方面做得非常好。但在某些情况下，异常值可能是持久性的（与时间相关的）。

例如，noiseDRAFT0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-15-10-50510152025时间图3：当测量噪声包含临时异常值时；真信号（\'-’), 测量（\'-o\'）和信号的平均估计值（\'-.’).0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-40-30-20-10010203040时间图4：当测量噪声包含持续异常值时；真信号（\'-’), 测量（\'-o\'）和信号的平均估计值（\'-.’).由于传感器故障，可能会暂时切换到不同的状态（具有更高的协方差）。这种噪声变化通常不能通过名义上指定的噪声模型来计算。我们接下来考虑这种情况。对于模拟观测，我们假设前100个时间步长的测量噪声分布为ek~ N（0,10）。然后，由于传感器故障，接下来100个时间步的测量噪声分布为ek~ N（01100）。然而，过滤器无法获得这些知识。同样，未知Ek的先验值被视为∑=10且ν=5的零均值Student\'s t，图（4）中显示了滤波均值估计的典型实现。在这种情况下，所提出的滤波器在估计信号方面也做得很好。2） 过程噪声和测量噪声都是未知的：对于这个问题，虽然框架相对简单（即，如（25）所示，对两种噪声使用HGM先验），但我们注意到，由于可识别性问题，推断问题可能很困难，至少对某些问题而言是如此。例如，如果对任何运行KF（由i索引）的公司而言，其创新价值（定义为yk-Ckbxk | k-1（i）-uek（i）在（36）中，KF无法立即区分这是由于过程模型中的任何观察或结构破坏造成的。

尽管如此，在[9]、[16]、[27]等文中已经考虑了未知重尾过程和测量噪声的滤波，因此我们还包括一些数值研究。我们认为LDS如（53）所示，其中真实（但未知）的噪声以wk的形式分布~ 0.8N（0,10）+0.2N（0,100）和ek~ 0.9N（01100）+0.1N（011000）。对于滤波，使用50个粒子估计状态，噪声先验分别为p（wk）=T（0,10,5）和p（ek）=T（0,10,5）。真实（产生的）噪声实现如图（5a）所示，而真实和典型估计（平均）状态以及测量值如图（5b）所示。接下来，我们考虑具有相同滤波器设置的持续噪声异常值的情况。这里，前40步的过程噪声由N（0，100）产生，其余的由N（0，10）产生。同样，前20步的测量噪声由N（0，1000）产生，其余的由N（0，100）产生。图（5c）显示了这种情况下的真实（生成）噪声实现。图（5d）显示了相应的真实和典型估计（平均）状态以及测量值。对于这两种情况，我们观察到过滤器的性能相当好。C.跟踪机动目标我们考虑在二维平面上跟踪机动目标的（简化）问题，其中状态向量（xk）由笛卡尔位置和速度组成。位置（yk）的噪声损坏快照可用作测量值。目标从（0,0）开始，最初以线性运动进行。然后是（顺时针）协调旋转，然后再次是直线运动。真实目标轨迹和噪声测量如图（6）所示。

我们建议首先使用XK+1给出的所谓恒速（CV）模型[51]跟踪目标=是我xk+奶头vk（54）yk=[I0]xk+ek，（55）其中T是以秒为单位的采样时间（我们使用T=1），Iis是二维单位矩阵，vkandek分别是过程和测量噪声。我们假设ek是根据ek给出的已知分布生成的~ N（0，diag[80，80]），也用于生成此处的真实测量值。然而，由于轨迹行为的多模态性，很难指定合适的过程噪声。这一点可以通过使用两种不同的过程噪声标准偏差来估计轨迹来说明，即σv=1和σv=50（假设vkto为高斯）。结果分别如图（7a）和图（7b）所示。我们发现，对于轨道的（初始）线性部分，σv=1是更好的选择，而在机动部分，σv=50更合适。因此，固定形式的过程噪声不适用于该问题。此外，合适的噪声参数（即σvhere）的规格通常不明显。随后，我们尝试使用鲁棒噪声自适应（RBPF）滤波器。这里，过程噪声的先验是对称拉普拉斯p（vk）~ L（0,10）我们使用50个粒子，ρ=0.05。

一个典型的估算地址为20 40 60 80 100 120 160 180 200-20-1001020真实（模拟）过程噪音20 40 60 100 120 140 160 180 200-50050真实（模拟）测量噪声20 40 60 80 100 120 160 180 200-100-50050100真信号观测信号20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-100-50050100真实状态估计状态20 40 60 80 100 120 160 180 200-20020真实（模拟）过程噪声20 40 60 80 100 120 160 180 200-50050真实（模拟）测量噪声20 40 60 80 100 120 160 180 200-100-50050100真信号观测信号20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-100-50050100真实状态估计状态草稿-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000-1000010000200003000050006000700TARGETX（m）y（m）图6：真实位置（\'-’) 以及目标的测量位置（“o”）（目标从（0,0）开始）。轨迹如图（7c）所示。我们还实现了（高斯过程噪声）σv=1和σv=50的IMM滤波器[52]。我们假设模式的初始概率相等，模式转换概率矩阵π=[0.9 0.1；0.1 0.9]。图（7d）显示了轨道的典型估计值。我们观察到，我们的RBPF和IMM在这个问题上都表现良好。我们还比较了20次蒙特卡罗测试。最大绝对误差（max abs err）和平均均方根误差（avg.RMSE）的统计数据如表一所示。从表一可以看出，IMM的RBPFmax abs误差为164.95 191.87avg。RMSE 65.33 69.71表一：超过20个蒙特卡罗运行时间的误差统计，尽管需要适当指定的模式转换矩阵π。在实践中，π通常是未知的，在线估计π是一项艰巨的任务。

在我们的方法中没有出现这个问题。最后，测量噪声中可能存在异常值，例如，由于偶尔的传感器故障。通过调整KF设置中的噪声参数，无法简单地解决这个问题。任何过滤器都很难立即区分任何异常值是由过程还是测量噪声引起的。为了测试我们的方法，我们保持相同的轨迹，但现在测量是从aDRAFT生成的-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000-1000010000200003004000500060007000σv=1m/s2x（m）y（m）-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000-1000010000200003004000500060007000σv=50m/s2x（m）y（m）-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000-1000010000200003000050006000700RBPF-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000-1000010000200003000050006000700immx（m）y（m）通风混合料分布由ek给出~ 0.8N（0，diag[80,80]）+0.2N（0，diag[300300]）。我们实现了我们的算法，过程和测量噪声的先验分别为拉普拉斯噪声和学生噪声，由p（vk）给出~ L（0,10）和p（ek）~ T（0,10；4）。我们再次使用50个粒子，ρ=0.05。在大多数情况下，过滤器的性能相当好。轨迹的典型估计如图（8）所示。0 5000 100002000040006000x（m）y（m）0 5000 100002000040006000x（m）y（m）图8：（左）测量值被异常值破坏的真实轨迹，（右）由鲁棒噪声自适应模型VII估计的轨迹。结论性意见本文考虑了在非常真实的环境下线性动态系统的困难在线推理问题，其中（a）噪声可能具有非高斯密度（自然出现或建模以容纳异常值）和（b）噪声参数可能未知且随时间变化。

相应的非高斯密度以偏度和/或重尾为特征，这在许多感兴趣的实际应用中是常见的。我们注意到，与重尾不同，带有倾斜噪声的推断并没有引起足够的研究关注。对于推理任务，我们在这里设想了一种新的Rao黑井化粒子滤波器，它利用了所谓的噪声分层高斯模型。我们证明了该框架不仅能适应任何噪声异常值，而且能适应潜在的未知和时变噪声参数。然而，该框架需要一个有效的过渡内核，用于粒子过滤器针对的棘手状态。我们概述了如何构造这样的核函数，至少对于某些类别的噪声，这些噪声覆盖了许多常见的（非高斯）噪声，在这些噪声中，经过充分探索的学生的t只是一个特殊情况。该框架基本上运行一组（交互）卡尔曼滤波器，因此相对容易理解和/或实现。我们还解释了如何利用Rao Blackwellization的思想轻松地扩大问题的规模。这里提出的算法非常简单和灵活，尽管需要进行比特计算。我们随后进行了数值实验，包括与IMM的比较。我们根据经验观察到，即使只有50个粒子，这个框架也做得很好。与之相关的状态平滑、模型参数学习以及时空推理框架的扩展等任务将留待后续工作完成。致谢作者感谢SSF资助的COOP-LOC和瑞典研究理事会（VR）资助的CADICS提供的财政支持。参考文献[1]M.West和P.J.Harrison，贝叶斯预测和动态模型。斯普林格·维拉格，美国纽约，1997年。[2] 答。