比例风险下货币模型中的期权定价与套期保值博弈

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英文标题：
《Pricing and hedging game options in currency models with proportional
  transaction costs》
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作者：
Alet Roux
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The pricing, hedging, optimal exercise and optimal cancellation of game or Israeli options are considered in a multi-currency model with proportional transaction costs. Efficient constructions for optimal hedging, cancellation and exercise strategies are presented, together with numerical examples, as well as probabilistic dual representations for the bid and ask price of a game option.
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中文摘要：
在具有比例交易成本的多货币模型中，考虑了博弈或以色列期权的定价、套期保值、最优行使和最优取消。给出了最优套期保值、取消和行使策略的有效构造，并给出了数值例子，以及博弈期权的买入和卖出价格的概率对偶表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

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PDF下载：
--> Pricing_and_hedging_game_options_in_currency_models_with_proportional_transactio.pdf (306.8 KB)

2022-5-8 04:20:12 上传

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关键词：期权定价 套期保值 Mathematical Quantitative cancellation

按比例交易成本的Currency模型中的期权定价和套期保值博弈*2018年9月5日摘要在具有比例交易成本的多货币模型中，考虑了期权或以色列期权的定价、套期保值、最优行使和最优取消。给出了最优套期保值、取消和行使策略的有效构造，以及博弈期权的出价和出价的数字样本和概率对偶表示。关键词：博弈期权、博弈未定权益、以色列期权、比例交易成本、货币模型、超边际、最优行使。理学硕士2000年：小学：91B28，中学：60G40，91B30。1引言博弈期权（也称为Israe li期权）的研究可以追溯到基弗（2000）的最早工作；Kifer（2013a）最近的调查论文提供了完整的年表和文献综述。除了作为衍生证券本身的利益外，博弈期权在其他衍生工具的研究中也发挥了重要作用，例如可赎回期权（例如K–uhn&Kyprianou 2007）和可转换债券（例如K allsen&K–uhn 2005、Bielecki、Cr’epey、Jea nblanc&Rutkowski 2008、Wang&Jin 2009）。博弈期权是作者（卖方）和持有者（买方）之间的合同，卖方在行使时间（由买方选择）和终止时间（由卖方选择）中最早的时间向买方交付预先指定的支付。如果游戏选项在行使之前或同时被取消，那么卖方也向买方支付取消通知。因此，博弈期权本质上是一种美式期权，附加条款是卖方可以在到期前的任何时间取消期权，从而以一定的价格（罚金）提前行使。

在实践中，这一特点往往会降低卖方和买方的成本，这使得游戏期权成为美式期权的一种有吸引力的替代品。人们已经很好地观察到，在不完全无摩擦模型和具有比例交易成本的模型ls中，欧洲和美国期权的套利定价会导致一系列无套利价格，从下到下为*约克大学数学系，Heslington，YO10 5DD，英国。电子邮件：alet。roux@york.ac.ukthe投标价格和从上到下的要价（参见F–ollmer&Schied 2002、Bensaid、Lesne、Pag`es&Scheinkman 1992、Chalasani&Jha 2001、Roux&Zastawniak2015）。游戏选项也是如此（Kallsen&K–uhn 2005，Kifer2013b）。在存在比例交易成本的情况下，博弈期权的定价和套期保值也与欧美同行共享许多其他重要属性。（下文列出的欧洲和美国期权的属性均由Roux&Zastawniak（2015）在与本文类似的技术背景下建立。）首先，与欧式期权类似，博弈期权的套期保值是对称的，即买方的套期保值问题与卖方的套期保值问题（具有相关支付的不同博弈期权）完全相同。Kifer（2013b）在一个双资产模型中观察到了这一特性。Kifer（2013b）还表明，博弈期权的买入和卖出价格的概率双重表示包含所谓的随机停止时间，这一特征与美式期权的卖出价格（Chalasani&J ha 2001首次提供了这一特征）。

Baxter&Cha con（1977）和其他许多人研究了随机（或混合）停车时间，主要是为了证明最佳普通停车时间的存在性和性质。随机停车时间可以被认为是明确意义上普通停车时间的凸组合。在买卖价格的概率对偶表示中出现随机停止时间的原因是，在存在交易成本的情况下，卖方（买方）要对冲的博弈期权的最昂贵的执行（取消）策略不一定与对买方（卖方）最具吸引力的执行（取消）策略相同。因此，与买方（卖方）的最佳行使（取消）策略相比，卖方（买方）对冲所有行使（取消）策略的成本更高。事实证明，卖方（买方）必须有效地受到保护，不受某个随机性（取消）时间的影响。此外，与长美式期权（即买方的情况）类似，博弈期权的买方和卖方的定价和套期保值问题本质上是非凸的。研究这些问题需要超越凸对偶的思想。然而，博弈选项和短美式选项（即卖方的情况，凸问题m）之间的联系意味着凸对偶方法在建立概率对偶表示中仍起着重要作用。在本文中，我们考虑了卡巴诺夫（1999）提出的外汇市场无风险离散时间模型中博弈期权的定价和hedg，其中按比例的交易成本被建模为货币之间的报价和报价。

Kabanov&Stricker（2001）、Kabanov、R\'asonyi&Stricker（2002）、Schachermayer（2004）和其他人（参见Ka banov&Safarian 2009）对该模型进行了深入研究。我们工作的主要目标有两个。首先，我们提出了计算最优执行时间和取消时间的构造性算法，以及该模型中博弈期权买卖双方的最优套期保值策略。本文中的算法构造与之前开发的用于按比例交易成本对欧洲和美国期权进行定价和套期保值的算法密切相关（参见L–ohne&Rudlo offf 2014，Roux&Zastawniak 2009，2015）。这些现有结构产生了高效的数值算法；尤其是在重组模型（通常具有指数大小的状态空间）中，它们是多项式时间内已知的路径独立期权。文中给出了数值算例来说明这些结构。其次，我们建立了博弈期权的买入价和卖出价的概率对偶表示。在这两个贡献中，我们将Kifer（2013b）关于博弈期权的最新结果从两资产模型扩展到多资产模型。我们的证明是严格的，因此在Kifer（2013年b）的论点中关闭了两个g AP；更多详细信息，请参见备注3.9、建议3.1和示例5.2下面的注释。本文中使用的方法来自凸分析和动态规划，特别是我们将使用fr om Roux&Zastawniak（2015）的最新结果，对一个具有随机出口日期的美式期权进行分析。对有限状态空间的限制是出于产生定价和套期保值计算高效算法的愿望。

Dolinsky（201 3）最近的一个负面结果证明了对离散时间的限制，即在比例交易成本下，连续时间内博弈期权的超复制价格是一个微不足道的买入并持有超复制策略的初始值。本文的结构如下。第2节详细介绍了带有部分交易成本的currencymodel，并回顾了关于随机停止时间和近似鞅的各种概念。第3节介绍了定价和套期保值的主要算法以及卖方和买方头寸的理论结果，所有结果的证明推迟到第4节。第5节用三个数值例子来结束本文。2.准备工作2。1比例交易成本卡巴诺夫（1999）的无息货币模型具有离散交易日期ST=0，基于有限概率空间(Ohm, F、 P）过滤（Ft）Tt=0。该模型包含d种货币（或资产），在任何时间t，货币j=1的一个单位，d可以通过交换πijt>0单位的货币i=1，d、 我们假设πiit=1表示i=1，d、 也就是说，每种货币都可以自由兑换。假设过滤（Ft）Tt=0由（πijt）Tt=0生成，对于i，j=1，d、 为了简单起见，假设F={, Ohm}, FT=F=2Ohm对于llω，p（ω）>0∈ Ohm. Fτ族的Wr ite Lτ-可测Rd值e非常停止时间τ的随机变量，并将非负随机变量族的L+τ写入Lτ中。允许Ohmt对于t=0，T元素Ohmt在时间t时调用模型的节点。A节点ν∈ Ohmt+1被称为节点的继承者∈ Ohmtifν u. u的成功者的集合表示为成功u。

Weshall隐式且唯一地识别LTF中带有u7函数的随机变量→ fu∈ 阿尔登Ohmt、 同样地，每一套都是∈ 我们将考虑的Lt将通过集值映射u7简单且唯一地定义→ Au 阿尔登Ohmtsuch thatA={f∈ Lt:fu∈ 一个u代表所有u∈ Ohmt} 。投资组合x=（x，…，xd）∈ 如果Lτ可以在无需任何额外投资的情况下转换为L+τ中的投资组合，即如果存在非负Fτ-可测随机变量βiji，j=1，…，则Lτ在停止时间τ称为溶剂，dsuch thatxi+dXj=1βji-dXj=1βijπijτ≥ 0表示所有i=1，d、 在时间τ处为有偿付能力的投资组合族写出Kτ；那么偿付能力coneKτ是由正则基e，…，生成的凸锥，edof Rd和向量πijτei-对于i，j=1，d、 观察Kτ是一个多面体圆锥体，henceclosed。自我融资交易策略y=（yt）Tt=0是一个具有初始资金y的Rd值可预测过程∈ 满足yt- yt+1∈ 对于所有t=0，T- 1.用Φ表示自我融资交易策略家族。自我融资交易策略y=（yt）∈ 如果y=0且存在某个x，则Φ称为套利机会∈ L+T\\{0}使yT- 十、∈ KT。套利的这种定义与Chachermayer（2004）和Ka banov&Stricker（2001）（他们称之为弱套利）的定义一致（尽管形式上有所不同）。对于任何非空凸锥A 写一封信*对于正极化子A，即A*:= {x∈ Rd:x·y≥ 0代表一切∈ A} 。定理2.1（卡巴诺夫和斯特里克（2001））。当且仅当存在一个概率测度P等价于P且Rd值DP鞅S=（St）Tt=0且St∈ K*t\\{0}对于t=0，T.任何满足定理2.1条件的对（P，S）都可以是等价鞅对。

用P表示等价鞅对族；那么P6= 在没有套利的情况下。备注2.2。定理2.1和本文中的其他结果可以等价地用一致定价过程（Zt）Tt=0表示，其中Zt=StEPdPdP英尺对于所有t=0，T.Schachermayer（20 04，第24-25页）提供了关于这种等价性的更多细节。在本文剩余部分，假设模型不包含套利。2.2随机停车时间定义2.3（随机停车时间）。随机（或混合）停止时间χ=（χt）Tt=0是一个ada接受的非负过程，满足TXT=0χt=1。用X表示随机停止时间集，以及值为0，一点一点。每次停车时间τ∈ t与简化的停止时间χτ=（χτt）Tt=0相关，定义为χτt:=1{τ=t}对于t=0，T、 其中1表示指示灯功能开启Ohm. 集合X是{χτ：τ的凸包∈ 在这个意义上，T}和so X可以被认为是s e到普通停止时间的线性松弛。修正任何过程A=（At）Tt=0和随机停止时间χ∈ 十、流程的定义*= (χ*t） Tt=0和Aχ*= （Aχ*t） Tt=0byχ*t:=TXs=tχs，Aχ*t:=TXs=tχsass对于t=0，T为方便起见，还定义了χ*T+1:=0和Aχ*T+1:=0。观察χ*是一个可预测的趋势，因为χ*t=1-T-1Xs=0χsfor t=1，T.A atχ的值定义为asAχ：=Aχ*=TXt=0χtAt。观察如果对于某些τ，χ=χτ∈ T，然后是χτ*t=1{τ≥t} ，Aχτ*t=TXs=t{τ=s}As=Aτ{τ≥t} 对于t=0，T，尤其是Aχτ=Aτ。定义2.4（近似鞅对）。修正任何χ∈ 一对（P，S）由一个概率测度P和一个ada pted Rd值过程S组成，称为χ-近似鞅对ifSt∈ K*t\\{0}，EP（Sχ*t+1 |英尺）∈ K*t对于所有t=0，T

如果P与P是加法等价的，那么（P，S）称为χ-近似等价鞅对。用P（χ）表示χ-近似等价对（P，S）族，用P（χ）表示χ-近似对组。不管怎样∈ X和i=1，d fi nePi（χ）：={（P，S）∈ P（χ）：t=0时，Sit=1，T}，π（χ）：={（P，S）∈\'P（χ）：t=0时，Sit=1，T}。自从P P（χ）P（χ）和K*这是一个圆锥体，适用于所有t=0，T，无套利假设意味着π（χ）和π（χ）是非空的。定义2.5（缩短停车时间）。修正任何χ∈ 十、 σ∈ T随机停药时间χ∧ σ = ((χ ∧ σ）t）Tt=0定义为（χ∧ σ） t:=χt{t<σ}+χ*t{t=σ}对于t=0，T.过程χ∧ σ明显适应且非负，MoreOverText=0（χ∧ σ） t=σ-1Xt=0χt+χ*σ=1，因此这确实是一个随机停止时间。如果对于某些τ，χ=χτ∈ T，然后（χ∧ σ） t=1{σ∧τ=t}对于所有t=0，T和soχτ∧ σ = χτ ∧σ. 表示在σ处截断的随机停止时间集∈ T byX∧ σ := {χ ∧σ : χ ∈ 十} .3主要结果和讨论在本节中，我们正式定义了博弈选项的含义，并给出了结构和主要结果。定义3.1（游戏选项）。博弈期权是在停止时间τ行使的衍生证券∈ T由买方选择，并在截止时间取消∈ 卖方没有选择。时间σ∧ τ买方收到卖方的付款，其中≡ QY，X，X′st:=Yt{s>t}+Xs{s<t}+X′s{s=t}（3.1）对于所有的s，t=0，T和Y=（Yt）Tt=0，X=（Xt）Tt=0和X′=（X′T）Tt=0是与Rd值过程相适应的- X\'t∈ Kt，X′t- Yt∈ Kt（3.2）对于所有t=0，T如果买方在期权取消前行权，即{τ<σ}，买方在行权时间τ收到卖方的付款τ。如果卖方在行使期权前取消期权，即。

在{σ<τ}日，卖方需在取消时间σ向买方交付付款Xσ，该时间σ由Yσ和罚金Xσ组成- Yσ=（Xσ）- X′σ）+（X′σ- Yσ）∈ Kσ。如果期权同时行使和取消，即{σ=τ}，卖方向买方支付X′σ，包括Yσ和罚金X′σ- Yσ∈ Kσ。假设（3.2）意味着，在任何时间t，取消时的portfolioXtpayable对买方的吸引力至少与同时取消和执行时portfolioXtpayable对买方的吸引力相同，反过来，这至少与执行时应付的portfolioXtpayable一样具有吸引力。因此，从定义3.1中可以看出，游戏期权本质上是一种美式期权，具有支付过程Y，附加功能是卖方可随时取消（在支付取消罚金后）。备注3.2。定义3.1比文献中通常采用的方法（参见Kifer 20002013b）更一般，其中标准d假设是，如果取消和执行同时发生（即所有t的X′t=YT），则不支付罚金，到期时也不支付罚金（即XT=X′t=YT）。本文推广的动机是，它能使卖方和买方套期保值问题之间的对称性得到充分利用；见提案3.13。然而，从实用的角度来看，定价和套期保值问题依赖于X仅通过（Xt）t<和X′仅通过X′t；参见关键结构3.5和3.14以及引理4.1。备注3.3。该房产（3.2）规定了卖方和买方在各种情况下的付款顺序，但在定义3.1中没有要求任何付款Xt、YT和X’皮重的溶剂油。