gappy时间序列中连通性测度的估计

对于后者，首先通过GC、LI、CI、SPI、NNI和STI中的每种技术来填补或消除间隙，然后计算连通性度量，而对于MAGR，则在删除包含缺失值的联合数据矩阵行后计算连通性度量。因此，通过无缺口和缺口两种估计值的差异来评估缺口治疗的效果。对于每个模拟，我们为X和Y生成两个长度为N的时间序列，称为原始时间序列。从每个时间序列中，我们随机移除g个样本（g=gX=Gy，每个时间序列的间隔分别被选择），范围为N的5%到50%。使用每个间隔填充算法，我们填充间隔并获得长度为N的新时间序列，而使用间隔闭合，获得的时间序列长度为N-g、 相关性和因果关系度量是根据间隙填充或间隙闭合时间序列以及各自长度的原始时间序列进行估计的，即间隙填充算法的N和N- g用于间隙闭合。匹配长度的原因是为了抑制时间序列长度在测量估计中的影响，以便直接比较测量结果并评估间隙处理的性能。为了实现MAGR的直接比较，对于每个相关性或因果关系度量，我们首先在删除包含空条目的行后获得相应的数据矩阵（见表1）。根据这些行的数量Nr，原始时间序列的匹配长度为N- n.请注意，每个测量值和参数值的长度可能会发生变化。为了评估每种方法的有效性，我们采用原始时间序列上的相关性或因果关系度量与匹配长度的差距处理时间序列（表示为dr、di和dTE）的差异（此处未显示相应的可变指数）。

最后，重复上述计算50次，得出统计上安全的结论，并报告平均值。4.2. 线性互相关和互信息估计首先，我们注意到填补或消除缺口的方法给出了非常不同的相关性估计。例如，如图1a所示，而对于来自MVAR系统的N=500的原始非应用时间序列，我们有rXY（0）=-0.325，间隙填充方法无法匹配该值，但随着GIN增加（STI的失败率超过CI），rXY（0）向零偏移。间隙闭合（GC）表现最差，给出rXY（0）10 20 50-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（a）%gapsrXY（0）origmagroriggcorigcsti10 20 30 40 5000.10.20.30.40.50.60.70.8（b）%GAPSXY（0）origmagroriggcorigcstifigure 1（a）中MVAR系统的零滞后互相关和（b）中耦合的Henon映射的零滞后互信息，作为长度N=500的时间序列中的间隙百分比的函数，使用MAGR，间隙闭合（GC），三次插值（CI）和随机插值（STI）。叠加的时间序列也显示了每个间隙创建方法（图例中用“orig”表示）的适当匹配长度的时间序列估计值。在任何g的零水平，因为即使时间序列中存在单个间隙，在间隙闭合后，后续样本对也不匹配。GC的这种故障在所有的模拟中都经常被观察到。另一方面，对于任何g，MAGR保持在原始rXY（0）的水平，高达我们测试的N的50%。这同样适用于交叉相互信息。图1b显示了IXY（0）和耦合的Henon系统的示例。与无花果唯一显著不同的是。

1a，是指CI和STIfollow的IXY（0）向零水平下降的模式与g相同。gap治疗技术的有效性可以通过dr或dI的性能更好地表达，而dr或dI的性能最好应处于零水平。在图2中，dr和dI展示了与图1相同的实验装置，还添加了其他三种间隙填充方法的结果。最差性能的界限由GC设定，给出10-20-40-50-0.0500.050.10.150.20.250.3（a）%间隙Drxy（0）磁斜向羽状体-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1（b）%gapsdIXY（0）MagrgclicispinisticFigure 2:MVAR系统的零滞后互相关drXY（0）与（b）中耦合的Henon映射的零滞后互信息dIXY（0）的差异，作为长度N=500的时间序列中的间隙百分比的函数，对于图例中所示的间隙处理技术。最大差异dr或di（间隙闭合时间序列的相关估计值处于零水平），而MAGR实际上处于最佳性能的界限，使dror di处于零水平（应用MAGR后，相关估计值不会改变）。在这两个界限之间是间隙填充技术的性能，其顺序为A，但遵循与g相同的dr或dI偏离零的模式。对于图2a中的线性系统，除STI间隙填充技术外，其他所有间隙填充技术对小g的性能都相当充分，而对大g的性能则逐渐恶化。STI性能更差，可能是因为它基本上用随机数填充间隙，而其他间隙填充技术则假设间隙边缘点之间存在某种简单的关系，这似乎比随机的好。当时间序列中存在fewgaps时，这似乎能令人满意地工作，比如线性系统的N高达25%。

然而，当时间序列的结构是非线性的时，所有间隙填充技术都以相同的方式失败，如图2b所示。4.3. 传递熵估计当使用传递熵（TE）时，时间序列中增加间隙数的间隙处理技术的性能与秒的相关度量类似。4.2. TE是一个比相关度量更复杂的度量，因为它涉及高维重构点的概率分布，因此需要更多的数据。为了获得合理的估计值，我们在长度为N=1500的模拟时间序列中使用。在图3中，结果为ondTEX→图中所示为MVAR和耦合的Henon系统，以及两个较小的嵌入尺寸m=1和m=2。MAGR再次给出了零级的dTE 10 20 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（a）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（b）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（c）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（d）%间隙dtex→图3：转移熵dTEX的差异→Yas是长度为N=1500的时间序列中的间隙百分比的函数，如图例所示。（a） MVAR系统和m=1，（b）耦合Henon映射和m=1，（c）MVAR系统和m=2，（d）耦合Henon映射和m=2。对于高达50%N的任何g，填隙技术只能在非常小的g上实现这一点，并且随着g的增加，dTE接近GC获得的最大dTE（对于任何g）。这种模式适用于线性和非线性系统以及m=1和m=2。对于耦合的Henon映射，m=2（图。

3d），间隙填充技术证明了小g的TE估计值，除SPI外，其他所有技术都给出了零水平的dTE。对此的一种可能解释是，对于Henon系统，一个缺失样本的信息部分由下一个现有样本补偿，因为个体动力学是二维的。我们在此强调，报告的结果是针对超过50次实现的平均dTE。尽管MAGR给出了零水平的平均dTE，但dTE的方差随着间隙数的增加而增加，因为数据点的有效数量减少了（见图4）。例如，对于m=2、N=1500和g=750，联合数据矩阵为10 20 30 40 5000.050.10.150.20.250.30.350.40.45（a）%gapss（TEx→ y） Magrgclicispinististi10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10.120.14（b）%gapss（德克萨斯州）→ y） 图4：转移熵TEX的标准偏差→Y、 s（德克萨斯州）→Y） 对于图例中所示的间隙处理技术，作为长度N=1500的时间序列中间隙百分比的函数。（a） MVAR系统和m=2，（b）耦合Henon映射和m=2。（yt+1，xt，xt）-1，yt，yt-1） 从1498点大幅减少到不到150点，以计算（6）中的相关和。对于MVAR系统，除MAGR方法外，所有方法的估计方差均不受差距百分比的影响，而对于MAGR，估计方差随差距百分比稳步增加（图4a）。对于耦合的Henon映射，TE与MAGR的标准偏差增量小于MVAR系统的标准偏差增量（图4b）。此外，对于耦合的Henon图，TEI的标准偏差随着间隙百分比的增加而增加，其他方法的间隙百分比高达35%，并且以与MAGR相似的速率增加，然后趋于稳定，而对于MAGR，TEI的标准偏差继续增加。TE估计方差随缺口百分比的增加似乎随基础系统和方法参数而变化。

稳定TE估计的一种可能的补救方法是对较小的时间序列使用较大的r（在模拟中，r固定为0.2）。我们不认为这是MAGR的一个缺点，而仅仅是在时间序列中存在太多差距时，特别是当m变大时，TE估计的不足。事实上，使用任何间隙填充技术，TE估计与原始时间序列的方差相同，与g无关，但始终无法匹配预期的TE，就好像没有间隙一样，dTE的偏差随着g.4.4的增加而增加。时间序列长度的影响在上述模拟中，我们确定了生成的时间序列的长度N，并改变了其中的间隙数量，以评估间隙处理技术的性能对间隙密度的依赖性。在这里，我们想检查对N的依赖性，因此我们将差距的百分比乘以20%和40%，并将N从500到2500不等。我们将重点放在TE上，因为它是三个研究指标中最需要数据的，并且还将m=2。耦合Henon图的结果如图5所示。MVAR系统的结果类似（未显示）。它是clear500 1000 1500 2000 2500-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（a）NdTEX→Y Magrgclicispinististi500 1000 1500 2000 2500-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（b）NdTEX→图5：dTEX的依赖性→Y（m=2）表示间隙处理方法，如图例所示，由耦合的Henon映射生成的时间序列的长度N。在（a）和（b）中，差距的百分比分别为20%和40%。所有方法对于N都是稳定的，在整个测试N范围内给出相同的dTE。同样，GC获得的dTE给出了最差性能的界限，而Lemagr在零水平下始终达到dTE时表现最好。

另一方面，对于较低的间隙百分比（图5a），间隙填充方法使dTE接近零（但幅度大于MAGR中的dTE），但对于较大的间隙百分比，dTE偏离零（图5b）。4.5。在块间隙实时序列的影响下，可能存在称为块间隙的连续缺失值。在这里，我们将研究间隙处理技术如何应对时间序列中存在的区块间隙。我们考虑固定大小的块和不同大小的块。为了生成具有块间距的时间序列，我们从时间序列中删除给定大小的元素块，以便缺失值的最终数量为g。此外，我们还应用了不具有连接或重叠块间距的限制。4.5.1. 固定大小的块间隙我们获得的固定大小的块间隙的结果与单个间隙的结果基本相同。同样，GC设置了性能的两个界限，给出了连通性度量与非gappy时间序列上的度量的最大偏差，MAGR给出了gappy和非gappy时间序列上的连通性度量的良好匹配。间隙填充技术再次显示出偏差随着块间隙数量的增加而增加。与单一间隙相比，唯一的区别在于STI得到了显著改善，与其他间隙填充方法相比，偏差要小得多。在图中。

6.模拟结果显示了N=1500的耦合Henon映射，以及使用大小为5和10的块间距对m=1和m=2的TE估计。结果证实了GC和MAGR的性能，如上文所述，如图10所示-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（a）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（b）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（c）%间隙dtex→Y Magrgclicispinististi10 20 30 40 50-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05（d）%间隙dtex→图6：转移熵dTEX的差异→Yas是长度为N=1500的时间序列中间隙百分比的函数，如图例所示，该时间序列来自间隙创建技术的耦合Henon图。（a） m=1和尺寸为5的砌块间隙，（b）m=1和尺寸为10的砌块间隙，（c）m=2和尺寸为5的砌块间隙，（d）m=2和尺寸为10的砌块间隙。该STI与其他四种填隙方法不同。特别是对于m=1，在所有间隙填充方法中，STI获得的dTE与零级的偏差最小，也随g增加，但当块间隙的大小变大时，速度较慢，而其他间隙填充方法似乎不受块间隙大小的影响。

对于m=2，STI进一步改善，dTE与MAGR一样保持在零水平。对此的一种可能解释是，由于STI没有对基础动力学做出任何假设，并且以随机方式填补缺口，因此当许多连续值缺失时，它比其他填补缺口的方法假设确定性动力学更合适。关于使用MAGR时TE估计的方差，我们注意到，在固定大小块间隙的情况下，方差随g的增加要慢得多，因为与间隙为单一类型时相比，完整联合数据矩阵的下降点更少。例如，对于图6d的设置，对于g=750，在应用MAGR后，关节数据矩阵中的点的数量从1498个下降到大约350个，与单个间隙的150个点进行比较。这对在50个实现中使用MAGR获得的TE估计的标准偏差有直接影响，例如，对于g=750，对于块尺寸10，这是0.05，比单个间隙小得多。4.5.2. 不同大小的块间距我们放宽了块间距固定大小的限制，并允许随机抽取1到15的不同块间距大小，即从1到15的离散均匀分布。与之前一样，在生成间隙时间序列时，应用了不具有连续或重叠块间隙的限制，并添加块，直到达到预定间隙百分比。在m=1和m=2的相同实验设置下，结果与固定大小的块间隙的情况类似，如图7所示。

最佳10 20 30 40 50-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1%间隙dtex→ Y（a）Magrgclicispinististi10 20 40 50-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1%间隙dtex→ Y（b）图7：转移熵dTEX的差异→对于图例所示的间隙处理技术，Yas是耦合Henon图中长度N=1500的时间序列中不同大小间隙百分比的函数。（a） m=1和（b）m=2。执行方法是具有次优STI的MAGR，其缓慢偏离dTE的零水平，m=1的差距百分比，但在MAGR或m=2时保持在零水平。其他方法的性能较差，所有间隙百分比的GC都具有相同的大偏差，其他方法的性能则随着间隙百分比的增加而下降。有趣的是，对于m=1，CI方法接近甚至超过了GC的下限。5.应用在这里，我们结合金融时间序列的相关性和因果关系度量来评估MAGR。我们使用了2008年10月13日至2011年9月8日五个欧洲股市指数的每日数据。选定的时期包括大约从2008年9月开始的金融危机以及2010-2011年的主权债务危机，包括动荡和不那么动荡的时期。此外，我们观察到，在这段时间内，缺口发生率最低，为数据的2.6%至3.7%，远低于过去其他时间段。此外，当我们特别插入间隙时，所选周期的长度对于连通性度量的估计来说相当大。选择的股票市场包括大中型经济体、经历过不同程度金融动荡的国家、使用共同货币的国家以及其他拥有自己货币的国家。