论奖金计划的失败

有时，一个简单或直观的奖金计划可能会给各方带来次优结果。下一节给出了由该示例激发的一般结果。定义2。奖金计划f是最优的，如果诱导的k人博弈GFP有一个平衡σf，如<<k"yi“1σf f f”k最大能量。（2）也就是说，如果存在一个平衡σf，则f是最优的，其中所有p层的混合作用是具有最大期望值的纯作用的加权平均值。注1.为了简化计算和符号，我们假设ErxsaErXis，（3）对于每2didn。这意味着奖金计划f是最优的当且仅当pX，Xqis是Gf中的一个平衡。备注2。对于每个奖励计划f和每个纯行动向量X，因此，游戏gf是一个固定和游戏，即所有玩家的预期收益之和为1。对于每一个奖金计划f和每一个游戏gf，我们可以确定一个辅助奖金计划fprq“f prq'`k，…，k对于每一个r P Rk。诱导博弈Gf是一个对称的零和k-玩家博弈。4主要结果在本节中，我们证明了本文的两个主要结果。第一个结果表明，对于每一个有限的随机变量集a，存在一个最优奖金计划f。第二个结果表明，对于每一个非平凡的（即，非常数）奖金计划f，存在一组f不是最优的情况。在考虑合同规划时，这些结果的结合非常重要。一方面，在任何不确定的市场中，DM都可以设计一个合同，以确保代理保留自己的利益。另一方面，如果市场是动态的，这意味着市场在可能的行动方面不断变化，那么任何不平凡的奖金计划最终都可能导致次优结果。

换句话说，唯一能确保玩家按照DM的偏好行事的奖金计划，是一个自相矛盾的、独立于玩家行为的奖金计划。4.1固定作用集我们证明的第一个定理是构造性的。对于每一组动作A，我们都指定一个op Timal奖励计划f。我们提出的最佳奖金计划f在玩家学习的差异上是线性的。我们从有界集SA的简单情况开始。确定一组纯动作a。确定包含Sa所有值的最小、有限和闭合区间，并确定IA中最大元素的绝对值（w.r.t绝对值）。也就是ωPOhm 而每个动作Xi，都是Xipωq P IAand | Xipωq | MA。通过FIPRQ“$和%k`rkj”1pri\'rjq2kpk\'1qMA，如果r P IkA，k，如果r r IkA，确定线性奖金计划f。可以验证f是否已确定，因为对于每项r P Rk，平等性定理1.对于每一组具有有限支撑SA的纯作用A，MA线性Bonuplan是最优的。证明。我们必须证明pX，…，Xq是Gf中的平衡，或等价地，对于每一个参与者i和参与者i的每一个策略q“rni”1qixio（当q‰X时），不等式E rfipX，XqsaE rfipq，X，Xqs h olds。在不丧失一般性的情况下，假设i“1，因此rfpq，X，…，Xqs”E<<f"yn"yi“1qiXi，X，…，X,ff”E“pk\'1qrni”1qiXi\'pk\'1qX2kpk\'1qMA`k“2kMAE<<n"yi”1qiXi\'X fff\'kak”E rfipX，…，Xqs，当第二个和最后一个等式从f的定义开始跟随f，不等式从q‰X和Erqs“E rrni”1qiXisaErXs这一事实开始跟随。pX，…，Xq是一个平衡的事实并不令人惊讶。它直接从ri中fiprq的线性开始。

这种线性意味着Xis是每个玩家的主导策略，因此，平衡是唯一的。以下定理给出了一般情况下（即，对于SAI无界的情况）的有界线性奖励计划f，并证明了它是最优的。定理2。对于每一组纯动作A，都存在一个最优奖金计划。证据我们通过构造一个新的最优奖励计划，将eorem 1推广到无界集。让^rq，i“pq，pXqj‰iq是一个动作向量，玩家i选择混合动作q，每个p层玩X。请注意，对于每个q‰X，对于某些cqa0，预期值rq\'Xs“\'cqa0。由于预期值为负且有限，因此存在一个真实的数字mpqqa0，使得对于每M pqqqqe“pq\'xqq1t | q\'Xmuapq，（4）和pql。（5） 伊内克。（4） （5）是严格的，在此之前存在一个包含q的开集Bpqq，这两个不等式适用于每一个qP Bpqq，其中q‰X。混合作用集q是复杂的，因为它可以用一个pn′1q simp lex表示，因此开集TBPQQ是一个开放的覆盖。众所周知，在BA上存在一个有限的亚群。修正c“minqPBAcqa0，让MěM axqpbacpqq为正数，这样对于每MěM和每q‰X，E”pq\'Xq1t | q\'X | muac，（6）和l | M | l | Prpq | Xalqac.（7）注意（7）保持q | X的弱不等式。用有界线性奖金计划f `prq 1241pk“1pri\'rjqkpk\'1qMdk，k，如果不是这样的话。我们可以验证f是一个定义良好的bonu计划。我们通过显示w.l.o.g.thatErfpq，X，…，Xqsak”ErfpX，…，Xqs，来证明pX，…，Xq是由有界线性rbnus计划诱导的博弈中的一个平衡。注意0dk\'j‰ipq\'xq2mdkqd124; X，因此。

，Xqs“E^krj‰ipq˙xqkpk˙t | q | Xd2Mu`kPrp | q | X | 2M qdkd2MkE | pq | xqt | q | X | 2Mu‰k | l | 2MPrpq | X“lq。它来自（6）和（7）thaterpq，X，…，Xqsak | c4Mk 2Mk | l | lPrpq | c4Mk |c4Mk“k，如前所述。4.2通用奖金计划通用奖金计划f是一个非恒定奖金计划，因此对于每一组行动，f都是最优的。具体而言，通用奖金计划f是一个非恒定奖金计划，例如对于每一组行动X，…，Xn，其中ErXsaErXjs对于每2djdn，行动pX，…，Xq的比例在Gf中是一个平衡。以下是：这个定理证明这样的计划是不存在的。定理3。如果有两名参与者，则不存在通用奖金计划。证据让xayaz.我们首先证明fpy，yqěfpx，yq。相反，假设fpy，yqafpx，yq。假设A“tX，Xu是两个动作X和X的集合，具有联合概率分布，XzXx yx 0 y 1 0注意erxaerx。然而，ErfpX，Xqs“fpx，yqafpy，yq”ErfpX，Xqs，这意味着pX，Xq在Gf中不是一个平衡，因为玩家1可以从偏差X中受益。因此，fpy，yqěfpx，yq。（8）出于类似的原因，fpy，yqěfpy，Xq接下来我们证明了fpx，xqěfpy，xq。设p是p0中的一个数，1q，设A“tX，xx是两个作用x和x的集合，具有联合概率分布，XzXx yx 0 pz 1\'p 0A直接计算表明ErfpX，Xqs\'ErfpX，Xqs“ppfpx，xq\'fpy，xqq\'p1\'pq pfpz，zq\'fpx，zqq。回想一下，fpz，zq\'fpx，zq是有界的。如果fpx，xqafpy，xq，那么p小于，但非常接近1，因此对于每一个z，ErfpX，Xqs\'ErfpX，Xqsa0。换句话说，ErfpX，Xqs，Xqs。（10）现在人们可以选择z非常大，因此（ErXs）不相等这意味着pX，Xq在Gf中不是一个平衡，因为玩家1可以从偏离X中受益。因此，fpx，Xqěfpy，Xq。

（11） 类似的原因暗示fpx，xqěfpx，yq。（12） 现在我们将不等式（8）、（9）、（11）和（12）相加，得到fpy，yq`fpy，yq`fpx，xq`fpx，xqěfpx，yq`fpy，xq`fpy，xq`fpx，yq。根据等式（1），我们得到了等式。Thu s，（8）、（9）、（11）和（12）实际上是相等的。因此，fpx，将定理3推广到任意数量的参和者kě3是不容易的。事实上，要求f不为常数是不够的。例如，以任何非常数的f:Rk~nRk为例“对于至少具有两个相同坐标的每个r P Rk。在这种情况下，对于每个动作Xj，策略的性能pXj，…，Xjq是非平衡的，因为单个参与者的任何偏差都不会影响支付。另一方面，要求所有平衡满足等式（2）当f为常数时不成立，因为所有的比例都是平衡。因此，当玩家数量达到三个或更多时，我们增加了一个新的要求。定义3。一个强大的通用奖金计划f是一个奖金计划，其中维持等式（2）的所有活动都是一个平衡。定理4。如果f是一个非常普遍的奖金计划，那么每一项行动都是不平衡的。证据让f成为一个强有力的通用奖金计划。清晰地定理3意味着该结果适用于k的情况“2.修正kě3.我们证明了这个定理，证明了对于每一个结果向量Rk，Bonuplan的坐标fiprq在ri中是不递减和不递增的。相反地，假设存在一个参与者i，一个结果向量Rk，一个dwiP r，使得fipwi，r\'iqafipri，r\'iq其中wiari.定义了随机变量X，比如PrpX“xqa0 i fff x”rj1djdk.使用每个j‰i的PrpX“riqaPrpX”rjq。此外，定义一组i.i.d。

随机变量Xj“X，其中1djdk.定义向量值随机变量pW，Xdiq byPrppW，X\'iq“xq”PrppXi，X\'iq“xq@X‰r，和prppw，X\'iq“pwi，r\'iqq”PrppXi，X\'iq“rq.显然，pW，X\'iq和W是很明确的。直接计算表明ErW saErXs。然而，向量pXi，X\'iq不是一个平衡点，因为我可以偏离W并增加他的报酬，因为fipwi，r\'iqafipri，r\'iq。因此fip¨，r\'iq对于每个i和每个r\'i都是不减少的。现在假设相反，fipri，r\'iq在ri中严格增加。也就是说，存在玩家i，一个结果r P Rk的向量，和yiP r，使得fipyi，r\'iqafipri，r\'iqari。设z，zpr为两个实数，使得每1djdk为zarjaz，p为p0，1q中的一个数。定义随机变量Y，使得概率p，随后，当1djdk（假设PrpY“riqaPrpY”rjq为每j‰i）时，概率为1`p，随机变量y等于z。此外，定义一组i.i.d.随机变量Yj，其中1djdk.定义向量值随机变量pZ，y\'iq byppz，y\'iq“yq”ppyi，y\'iq“yq@y‰r，yj‰z@j，PrppZ，y'iq”pyi，r'iqq“PrppYi，y'iq”rq，如果y P r中存在坐标j，那么yj“'z，然后是PrppZ，y'iq”pz，y'iqq“PrppYi，y'iq”yq。显然，pz，y'iq和z定义得很清楚。请注意，erfipz，y'iqs“E”fipYi，y'iq1tY'i‰r，yj'z@ju 305；\'fipYi，r\'iqPrppYi，Y\'iq“rq"yyPRk:Dj，yj”\'zfipz，Y\'iqPrppYi，Y\'iq“yqaE”fipYi，Y\'iq1tYjz@juiyPRk:Dj，yj\'\'zfipz，Y\'iqPrppYi，Y\'iq“yq（13）”E rfipYi，Y\'iq\'iq\'yPRk:Dj，yj\'\'zpfipz，Y\'iq Fipyiq，Y）当Y\'fyq遵循假设时，Y\'fiq（13，Y\'。

式（14）中的和是有界的，在我们可以选择足够接近1的p（但仍然小于1）之前，这样对于每个z，不等式ErfipZ，Y\'iqsaE rfipYi，Y\'iqs成立。取一个足够大的z和一个足够低的z，可以保证每个saerz。总之，向量pYi，Y\'iq不是一个平衡点，因为玩家i可以偏离Z并增加他的报酬。矛盾因此，对于每一个i和每一个i，r\'iq都是不稳定的。这两个结果的结合，证明了fip是独立的。这意味着每一个玩家i的预期收益都独立于他的行为，并且每一个行为都是一种平衡。5结论和补充评论本文给出的结果有两个完整的方面：应用性和理论性。一方面，我们给出了奖金计划的具体描述，该计划保证代理人有动机按照DM的意愿行事。另一方面，我们证明了最优奖金计划根本不存在，除非它与abonus计划（常数，意味着固定支付）一样无用。这项工作基于这样一个假设，即DM努力使其预期收益最大化。尽管这种假设在文献中很常见，但人们仍然可以遵循Holmstrom和Milgrom（1991）的路线，并假设DM试图同时优化新元素。例如，最大化预期收益，同时最小化风险。总的来说，我们可以假设决策者对一系列行动有一定的偏好关系，并试图找到一个在均衡中实现这种偏好的奖金计划。这些问题有待进一步研究。另一个有待进一步研究的元素是定理4中给出的推广。这种概括可以通过多种方式来实现。

Eg、 我们可以假设，对于每一个r\'i，fip–r\'iq总是依赖于玩家i的行为，然后我们知道在这种情况下是否可能有一个最优奖金计划。参考Carroll，Gabriel，“稳健性和线性合同”，《美国经济评论》，2015105（2），536-63。Dasgupta，Amil和Andrea Prat，“与职业相关的财务平衡”，理论经济学，2006年，1（1），67-93。以及《金融市场中与职业相关的信息聚合》，经济理论杂志，2008年，143（1），83–113。Foster，Dean P.和Peyton H.Young，“投资组合经理的游戏绩效费用”，《经济学季刊》，2010年，125（4），1435-1458年。何学东、桑虎和史蒂文·寇，“通过合同设计区分熟练和非熟练基金经理”，2015年。Holmstrom、Bengt和Paul Milgrom，“多任务委托代理分析：激励合同、资产所有权和工作设计”，《法律、经济与组织杂志》，1991年7月（1991年1月），24-52页。凯恩斯，约翰·M.《就业、利息和货币的一般理论》，帕格拉维马西兰，1936年。埃胡德·莱勒，“任何检查都是可操作的”，计量经济学，2001年9月，69（5），1333–1347。Olszewski，Wojciech和Alva ro Sandroni，“未来独立测试的可操作性”，计量经济学，2008，76（6），1437–1466。Sandroni，Alvaro，“正确预测的可指责属性”，国际博弈论杂志，2003年12月，32（1），151–159。，Rann Smorodinsky和Rakesh V.Vohra，“使用多种检查规则进行校准”，运筹学数学，2003年2月，28（1），141–153。Scharfstein，David S.和Jeremy C.Stein，“羊群行为与投资”，《美国经济评论》，1990，80（3），465-479。Eran Shmaya，“许多检查是可操作的”，理论经济学，2008年9月，3（3），367-382。