动态货币效用的不完全随机均衡

最后是setQ=Q~ PdQdP∈[p>1Lp（p）.下面的引理类似于文献中的标准结果，但由于我们使用了非标准的对偶域Q引理1.1，因此需要单独证明。它认为h（Q | P）=EQ“ZT（pu（Q）+qu（Q））du#∞, Q∈ 问：此外，我们有- δlog EP[e-G/δ]=infQ∈QnEQ[G]+δH（Q | P）o，δ>0，G∈ L.（1.1）1.2。定义和属性。在续集中，我们将考虑一个随机场f：Ohm ×[0，T]×R→ R+具有以下属性。假设1.2。函数f：Ohm ×[0，T]×R→ R+是这样的：o对于所有（p，q）∈ R、 f（·，·，p，q）是一个可预测的过程对于所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，f（ω，T，0，0）=0，f（ω，T，·，·，·）是梯度为（0，0）的C（R）∈r满足Df（ω，t，0，0）=（0，0），存在常数0<δ≤  < ∞ 使得Hessian Df（ω，t，·，·，·）的两个特征值都属于δ，].在续集中，为了简化符号，在f这样的随机场中，每当我们想要强调（p，q）的依赖性时∈ R、 我们写fω，t（p，q），而不是f（ω，t，p，q），或者甚至当（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]是固定的。此外，作为BSDE理论中的典型例子，我们将经常忽略参数ω，尤其是在f必须在可预测过程（pt，qt）t下计算的情况下∈[0，T]，我们将在这里简单地写出ft（pt，qt）。不完全随机平衡满足假设。2是这样的，fω，t（·，·）显然是非负的，并且对所有（ω，t）都是严格凸的∈ Ohm ×[0，T]。泰勒定理暗示δ（p+q）≤ fω，t（p，q）≤（p+q），对于所有（ω，t，p，q）∈ Ohm ×[0，T]×R。

（1.2）只要满足假设1。引理1.1意味着中富（浦（Q）、曲（Q））都≤H（Q|P）<∞, Q∈ Q.因此，回顾§1.1中关于期望的约定，可以定义一个映射U:L7→ [-∞, ∞] viaU（G）=infQ∈量化宽松G+ZTfu（pu（Q）、qu（Q））du, （1.3）由此定义的函数U称为货币效用函数，f称为与其相关的惩罚函数。利用（1.1）和（1.2），我们得到了U的熵上界和下界，即- δlog EP[e-G/δ]≤ U（G）≤ - 日志EP[e]-G/], G∈ L.（1.4）尤其是U（G）<∞ 适用于所有G∈ L.从上面可以简单地看出，以下属性是有效的，其中：∈ 五十、 G′∈ 五十、 和{Gn}n∈Nis是L中的一个非递增序列：o正性：U（0）=0和U（G）≤ U（G′），代表G≤ G′，凹度：U（αG+（1- α） G′）≥ αU（G）+（1）- α） 所有α的U（G′）∈ [0, 1].o 货币不变性：U（G+a）=U（G）+a，对于所有a∈ R.o法图地产：无论何时↓ G∈ 土地供应∈QEQ[G]<∞, 我们有↓ 画→∞U（Gn）。例1.3。如上所述，货币效用的最简单但远不是唯一的例子是当惩罚函数f satifiesf（ω，t，p，q）=η（ω，t）（p+q），（ω，t，p，q）∈ Ohm 其中η是一个可预测的过程，使得δ≤ η ≤  对于常数0<δ保持不变≤  < ∞. 在这里，η（ω，t）可以粗略地解释为一个依赖于（ω，t）的状态时间∈ Ohm ×[0，T]，风险耐受系数。对于常数η，引理1。1意味着U是熵效用。2.单代理最大化问题2。1.金融市场。我们的金融市场模型以一个流动交易风险集为特征，其价值（用我们标准化为1的预先指定的数值表示）为给定的YDBλt=λtdt+dBt，t∈ [0，T]，（2.1）某些λ的不完全随机平衡8∈ bmo。

考虑到它将在我们的分析中扮演“自由参数”的角色，volatilityin（2.1）被归一化为1；这样，λ可以同时被解释为风险的市场价格。出于下面解释的技术原因，就我们的目的而言，假设λ就足够了∈ bmo。读者应参考导言中的“快速和慢速”模型小节，以正确理解该资产作为单一短期证券连续体的经济解释。2.2. 熵BMO空间。为了描述代理随机禀赋的适当正则性类，它将大于L∞, 我们需要以下空间，通过某个二次BSDE的可解性来描述：定义2.1（熵BMO）。随机变量G∈ 如果存在（必然是唯一的）过程（mG，nG），则称Lis属于熵B空间EBMO∈ b和一个常数XG，其中XGT=XG+ZtmGudBu+ZtnGudWu+Zt（mGu）+（nGu）杜。（2.2）yieldsE（2.2）两边的负数的幂(-MG）T=e-Gwhere MG=XG+MG·B+nG·W∈ BMO，（2.3）意味着∈ EBMO当且仅当e-Gis是aBMO鞅随机指数的最后一个元素。不那么正式，EBMO=-日志E（BMO）。附录A中分别介绍了BMO的特性和性质。对于G∈ EBMO我们定义了以下半形式的量，在滥用术语的情况下，我们仍然称之为EBMO半范数：| | G | | EBMO:=| | MG | | BMO=| |（MG，nG）| BMO。由于| | | | | | | | | | | | EBMO，δ=δ| | | G/δ| | EBMO，对于δ>0，我们还引入了以下族：| | G | | | | EBMO∈ EBMO当且仅当方程XG，δt=XG，δ+ZtmG，δudBu+ZtnG，δudWu+2δZt（mG，δu）+（nG，δu）du（2.4）和XG，δT=G，允许（nG，δ，mG，δ）的（必然唯一）溶液∈ bmo。

在这种情况下，我们必须有XG，δ=δXG/δ和（mG，δ，nG，δ）=δ（mG/δ，nG/δ），因此| | G | | EBMO，δ=| |（mG，δ，nG，δ）| | bmo。不完全随机均衡92.3。Agent的效用最大化问题。在§2.1的市场模型中，我们考虑一个单一的经济代理人，他交易风险资产以及前述的无风险资产，价值为常量1。代理人的偏好由与满足假设1的分析函数相关联的货币效用建模。2.该代理人收到随机捐款∈ 时间T；我们将自始至终假定+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。代理人在交易产生的终端时间T最大化预期效用，并随机分配：U（π·BλT+E）→ max，（2.5）其中组合过程{πt}t∈[0，T]代表代理人持有的资产股份数量，属于下文所述的可接受类别。与往常一样，这一策略的资金来源是根据需要投资于无息资产或从中借款。据我们所知，文献中缺少动态货币效用U的（2.5）解。下面的命题2.4证明了最优投资组合过程{πλt}t的存在性和唯一性∈[0，T]。对于λ∈ bmo，我们用Mλ表示Q的子集，它由Bλ的等价局部鞅测度组成。更准确地说，根据Levy的特征化定理，Mλ由Q中的所有概率测度组成，在此条件下，Bλ成为布朗运动。我们注意到，由于λ∈ bmo，反向H"older不等式适用于E(-λ·B）（参见[Kaz94，定理3.4]）因此，最小鞅测度Qλ，由dQλ/dP=E给出(-λ·B）T，属于汤姆λ。

还要注意，任何Q∈ Mλ等于dQλ/dP=E(-λ·B- q·W）T，用于适当的q≡ q（q）∈ P.如果策略π是λ-可容许的，则称策略π为λ-可容许的∈ Aλ，其中λ=nπ∈ P |π·Bλ是所有Q的Q-超鞅∈ Mλo.对于每个π∈ bmo和Q∈ Mλ，π·Bλ是Q-鞅；因此，bmo λ。（2.5）中关于π的最大化问题∈ λ被称为原始问题。U和Aλ的定义产生以下弱对偶边界supπ∈AλU（π·BλT+E）≤ infQ∈MλEQE+ZTfu（λu，qu）du, （2.6）右边的最小化问题称为对偶问题。我们注意到，对双重问题的定义存在期望(-∞, ∞], 多亏了命题A。2第（2）项和定义Mλ的Lp可积性要求。我们的下一个结果通过BSDE描述了对偶问题的值。考虑到风险的市场价格λ∈ 满足假设1.2的bmo，f和随机禀赋E∈ 对于每个π∈ [Kaz94，第26页]中的能量不等式表明π∈ 每一个p≥ 1.这一事实与（dQ/dP）相结合∈Sp>1lpandh"older不等式意味着π∈ H（Q），对于每个Q∈ Mλ。因此π·Bλ是aQ鞅。不完全随机平衡10E+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ EBMO，定义过程λt=essinfEQtE+ZTtfu（λu，qu）duQ∈ Mλ, T∈ [0，T]。（2.7）在刻画Yλ之前，我们引入部分共轭h：Ohm×[0，T]×R7→ f的第二空间变元中的R:hω，t（p，ν）=supq∈Rqν- fω，t（p，q）, （ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，（p，ν）∈ R、 （2.8）并在下面的引理中收集它的一些性质：引理2.2。

在假设下。2，上面（2.8）给出的f的部分凸共轭h对于所有（ω，t）都具有以下性质∈ Ohm ×[0，T]，其依赖关系隐藏在下面，和（p，ν）∈ R、 其中所有常数仅取决于δ和 假设1.2：（1）h（·，·）在第一个论证中是凹的，在第二个论证中是凸的，并且满足-p+2ν≤ h（p，ν）≤ -Δp+2Δν。（2） h（·，·）∈ C（R），h（0，0）=0，Dh（0，0）=（0，0），存在常数γ>0和Γ>0，因此h（p，ν）≤ -γ和|jkh（p，ν）|≤ Γ，代表j，k∈ 1, 2.（3） 存在一个常数Θ>0，这样，对于所有的p，Θp，ν，Θ∈ R、 我们有|h（p，ν）|+|h（p，ν）|≤ Θ|p |+|ν|, （2.9）和| ht（p，ν）- ht（~p，~ν）|≤ Θ|p|∨ |~p |+|ν|∨ |~ν||P- ~p |+|ν- ~ν|. （2.10）（4）对于上面（2）中的γ，我们有h（p，ν）- Ph（p，ν）≥γp.现在我们通过BSDE在下面的结果中刻画Yλ：命题2.3。让λ∈ bmo，f满足假设1。2和E∈ 使+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。然后，过程Yλ允许连续修改，并具有以下性质：（i）XE，δt≤ Yλt≤ 等式λt[E+]+kλkbmo（Qλ）<∞, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中XE，δ如（2.4）所示；（ii）Yλ是BSDEdYt的唯一解=ht（λt，νt）+λtutdt+utdBt+νtdWt，YT=E，（2.11）带（u，ν）∈ bmo，其中h由（2.8）给出。不完全随机均衡11我们的下一个任务是利用对偶问题的解来确定原始问题的最优投资策略。提议2.4。让λ∈ bmo，f满足假设1。2和E∈ 使+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。此外，设（μλ，νλ）是（唯一）解Yλ到（2.11）的鞅分量中的过程。然后，过程πλ=-h（λ，νλ）- uλ. （2.12）属于bmo，是原始问题（2.5）的唯一最优投资策略。平衡3。1.平衡。我们考虑一个有限的数字I∈ N.经济代理人。

他们的偏好由带有惩罚函数（fi）i的货币效用建模，并接受随机捐赠（Ei）i。我们施加以下假设。假设3.1。对于每个i，财政假设1。2，常数δi≤ i、 还有艾未未∈ 李思哲+∈Tp>1Lp（P）和Ei/δi∈ 埃博莫。在假设的语境中。1，我们设置δ=miniδi， = 马克西i、 （3.1）并介绍捷径Xi=XEi，δi和（mi，ni）=（mEi，δi，nEi，δi）∈ 所以dxit=mitdBt+nitdWt+2δi（麻省理工学院）+（nit）dt，XiT=Ei。（3.2）禀赋和惩罚函数对（E，f），其中E=（Ei）i，f=（fi）i，充分表征了模型中代理人的行为；我们称之为人口特征——E是初始分配，f是风险比例。给定一个风险过程λ的市场价格，在（2.5）的不完全金融市场中，每一个参与者都会最大化交易和随机捐赠的预期效用。定义3.2（平衡）。对于具有特征（E，f）的总体，一个过程λ∈ 如果存在一个I元组（πI），那么bmo被称为均衡（风险的市场价格），即每个π都是λ下代理I的最优策略，即πI∈ argmaxπ∈AλEhUi（π·BλT+Ei）i，ii）市场清仓，即Piπi=0。所有平衡的集合用∧（E，f）表示。不完全随机平衡12注3.3。虽然可以想象，BMO之外可能存在风险λ的均衡市场价格，但我们只关注后者。考虑到我们对E的假设，这是一个自然环境空间。此外，当λ6∈ bmo没有已知的可行条件来保证我们的代理存在最优策略。因此，我们包括条件λ∈ bmo在一个平衡点的定义中，并且仅就这个类做出我们所有的唯一性陈述。3.2. 平衡的BSDE表征。

命题2中基于BSDE的描述。3和2.4单剂优化问题的解决方案是以下表征的主要组成部分。定理3.4（平衡的BSDE表征）。给定λ∈ bmo和满足假设3.1的总体特征（E，f）是等价的：（1）λ∈ λ（E，f），即λ是总体（E，f）的平衡。（2） λ和一些过程（Yi，λ，ui，νi）i，每个过程（ui，νi）∈ bmo，满足以下BSD系统：dYi，λt=命中（λt，νit）+λtuitdt+uitdBt+νitdWt，Yi，λT=Ei，i=1，一、 圆周率hi（λ，νi）=-Piui.（3.3）备注3.5。（1） 根据引理2的结果。2.根据对驾驶员fi施加的条件，systemin（3.3）是一个真正的BSDE系统。事实上，在假设3.1下，对于第二个变量的每个值，每个HI在第一个变量中都是严格相关的。这样，情况hi（λ，νi）=-Piui可以重写为λ=H-1.-IXiui；我！其中H（p；（νi）i）=IIXi=1嗨（p，νi），其中H-1在第一个空间参数中为逆。λ的表达式替代了（3.3）中的第一个I方程，产生了一个带二次驱动器的完全耦合BSDE系统。（2） 虽然从竞争的角度来看，情况I=1毫无意义，但上述描述中的情况I=1仍然允许有意义的解释。这里的平衡概念对应于λ的选择，在此λ下，一个随机禀赋为E的代理∈ 我们应该选择根本不投资这个市场。系统（3.3）简化为一个等式DYT=utdBt+νtdWt+gt（ut，νt）dt，YT=E，其中gω，t（u，ν）=supp∈Rup+hω，t（p，ν）, （ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R，不完全随机平衡13是f和满足2的凸共轭(u+ ν) ≤ gω，t（u，ν）≤2δ（u+ν），（ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R.自E/δ∈ EBMO，提案A.2第（1）项暗示E/ ∈ EBMO也是。

因此，之前的BSDE承认了一个独特的解决方案，强调了EBMO在货币效用的随机均衡中作为自然空间的作用。3.3. 存在与独特。下面是我们的主要结果。定理3.6（平衡点的存在性和唯一性）。假设总体特征（E，f）满足假设3。1.对于δ和 由（3.1）给出，存在常数Tm=M（δ，) > 0使得无论何时| | Ei | | EBMO，δi≤ M、 对于每个i，（3.4），都存在一个唯一的平衡λ∈ bmo。此外，三重态（Y，u，ν），其成分在命题2中定义。3，是（3.3）与（u，ν）的唯一解决方案∈ bmo2I。备注3.7。（1） 要求| | Ei | | EBMO，δi≤ M可以通过多种方式填充。最重要的语调是：（a）命题。2，| | Ei | | EBMO，δi=δi | | Ei/δi | | EBMO≤ 2qδi | | Ei | L∞. 因此，EBMO中的“smallness”由L中的“smallness”表示∞随机捐赠的一部分。（b） 根据命题A。3.当EI是Malliavin可微且有界Malliavin导数（即附录A术语中的Malliavin-Lipschitz）时，其EBMO范数由L控制√其中L是Ei的Malliavin-Lipschitz常数，T是时间范围。因此，我们的结果保证了平衡点的存在，即使在无界的情况下，只要时间范围或它们的Malliavin-Lipschitz常数足够小。[CL15，定理3.1]（以及[Zit06]中一个更简单的模型）在马尔可夫环境中证明了一个类似的“时间范围内的小”结果。（2）条件（3.4）中的常数M不取决于试剂I的数量。这与Tevzadze（见[Tev08，命题1]）的“小”类型结果相反，后者取决于系统中的方程数量。

这个特性在3.9版的推论中非常重要。（3） 定理3中的唯一性陈述。6是一个全局唯一性，与bmo球中通常的局部唯一性相反，bmo球直接遵循Banach的不动点定理，参见例[Tev08，命题1]。在[KP16，定理4.1]中，对于价格影响模型产生的不同二次BSDE系统，也获得了类似的全局唯一性。不完全随机均衡3.8（指数效用）。当理论3。6专门用于具有异质风险容限（δi）i的熵效用的情况∈ (0, ∞)一、 也就是说，当nfi（p，q）=δI（p+q），I=1，一、 另外两点可以说明：（1）一组可行分配E是帕累托最优的当且仅当所有的Ei/δA都在常数上，即存在Ec∈ 陆面常数（ci）是指Ei/δi=Ec+ciforAlli。当Ec+∈ ∩p> 1Lp（p）和Ec∈ EBMO，理论声明3。当条件（3.4）转换为更接近帕累托最优分配时，6仍然成立，即maxik（mi- 麦克，倪- nc）kbmo（Pc）≤ r、 其中dpcdp=exp(-Ec）E[exp(-Ec）]=E(-RmcudBu-RncudWu）和（mi，ni）如（3.2）所示。（2） 在马尔可夫环境中，对于有界且H"older连续的g，E=g（XT），由B和W驱动的扩散X，[XZ16，定理3.1]证明了平衡点的整体存在性和唯一性。这个结果是用解析方法得到的，并且只适用于马尔可夫环境。3.4. 理论的经济含义。6.（3.4）的一个新颖有趣的特点是它不依赖于I剂的数量；这具有深远的经济影响，并导致在具有“大量”代理人的经济意义的渐近制度中存在均衡。