半鞅检测与拟合优度检验

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英文标题：
《Semimartingale detection and goodness-of-fit tests》
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作者：
Adam D. Bull
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In quantitative finance, we often fit a parametric semimartingale model to asset prices. To ensure our model is correct, we must then perform goodness-of-fit tests. In this paper, we give a new goodness-of-fit test for volatility-like processes, which is easily applied to a variety of semimartingale models. In each case, we reduce the problem to the detection of a semimartingale observed under noise. In this setting, we then describe a wavelet-thresholding test, which obtains adaptive and near-optimal detection rates.
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中文摘要：
在定量金融中，我们经常用参数半鞅模型来拟合资产价格。为了确保我们的模型是正确的，我们必须进行拟合优度测试。本文给出了一种新的类波动过程拟合优度检验方法，该方法易于应用于各种半鞅模型。在每种情况下，我们都将问题归结为在噪声下观察到的半鞅的检测。在这种情况下，我们描述了一种小波阈值测试，它可以获得自适应和接近最优的检测率。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Semimartingale_detection_and_goodness-of-fit_tests.pdf (346.91 KB)

2022-5-8 06:43:57 上传

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关键词：拟合优度检验 拟合优度 Quantitative Multivariate Econophysics

半鞅检测和优度检验剑桥大学统计实验室在定量金融中，我们通常将参数半鞅模型用于资产价格。为了确保我们的模型是正确的，我们必须进行拟合优度测试。在本文中，我们给出了一个新的拟波动过程的拟合优度检验，它很容易应用于各种半鞅模型。在每种情况下，我们将问题归结为在噪声下观察到的半鞅的检测。在此设置中，我们将描述一种小波阈值测试，该测试可获得自适应且接近最优的检测率。1简介在定量金融中，我们通常将资产价格建模为半鞅；换句话说，我们假设价格是由漂移、扩散和跳跃过程的总和给出的。由于这些模型很难适应数据，我们通常将注意力限制在一个参数类上，其中许多是从业者提出的。为了验证我们对参数类的选择，我们必须进行良好的测试。由于半鞅模型可能非常复杂，因此有许多潜在的测试需要执行。在下文中，我们将感兴趣的是测试模型是否准确地描述了波动性、共变性、vol-of-vol或杠杆等过程。我们将进一步寻找能够证明针对各种替代品获得良好检测率的测试。虽然文献中存在许多优度检验，但获得良好检出率的却很少。那些取得良好成绩的测试通常是针对一种半鞅模型设计的，也是衡量性能的一种方法。因此，在下文中，我们将描述半鞅中类波动过程的一个新的拟合优度检验。

我们的测试可以很容易地应用于知识：我们感谢EPSRC在EP/K000993/1资助下提供的支持。所有研究数据都是使用inBull（2016）提供的软件随机生成的。理学硕士2010:62002（初级）；60J60、60J75、62G10、65T60（辅助）。关键词：扩散，优度，跳跃过程，半鞅，小波。对广泛的模型，包括随机波动率、跳跃和微观结构噪声，并对局部和非参数方案获得良好的检测率。我们的方法涉及将任何拟合优度检验简化为半鞅检测：给定一系列观测，序列是白噪声，还是包含隐藏的半鞅？我们将展示如何有效地解决这个问题，获得自适应和接近最优的检测率。现在，我们将更详细地描述我们考虑的问题，以及之前的相关工作。我们的目标是检验非参数半鞅模型的优度。许多这样的模型已经被描述过，包括布莱克·斯科尔斯或考克斯·英格索尔·罗斯等简单模型；L’evymodel，如广义双曲或CGMY过程；以及随机波动性模型，如赫斯顿或贝茨模型。（关于定义，参见Cont和Tankov，2004年；Papapantoleon，2008年。）在最简单的情况下，我们的观察结果来自于无定态或遍历扩散过程，许多作者描述了优度检验。我们简要地提到了一些初步工作（Ait-Sahalia，1996年；Corradi和White，1999年；Kleinow，2002年）以及最近的讨论（Gonzialez Manteiga和Crujeiras，2013年；Papanicolaou和Giesecke，2014年；Chen等人，2015年）。然而，在金融环境中，即使我们的模型是平稳的，我们也可能需要对照非平稳的替代方案进行测试。

当观察结果来自非平稳扩散时，使用综合波动率（Corradi and White，1999）、估计偏差（Lee，2006；Lee and Wee，2008；Nguyen，2010）和边际密度（ait-Sahalia and Park，2012）描述了拟合优度检验。差异之间的回归也存在拟合优度检验（Mykland and Zhang，2006）。在下文中，我们将对优度测试感兴趣，它不仅能检测非平稳替代品，还能获得良好的检测率。在这种情况下，Dette和von Lieres und Wilkau（2003）提出了一种测试，该测试可以以n的速率检测波动率的误判-1/4英寸（见alsoDette等人，2006年；Podolskij和Ziggel，2008年；Papanicolaouan和Giesecke，2014年）。byDette和Podolskij（2008）提出的类似测试以更快的速度在固定方向上检测替代品-1/2，尽管作者没有给出Lp中的比率。该测试也可以应用于更复杂的模型，包括随机波动性（Vetter，2012）和微观结构噪声（Vetter和Dette，2012）。在一些波动性测试问题中，之前的工作描述了针对非参数替代方案实现最佳检测率的测试（Reiss等人，2014年；Bibinger等人，2015年）。然而，这些测试是针对所考虑的问题进行的，并没有评估一般模型的优缺点。因此，在下文中，我们将描述一种新的波动性类过程的拟合优度测试方法。我们将展示我们的方法如何应用于各种各样的半鞅模型，包括带有跳跃、随机波动和微观结构噪声的模型。

在每种情况下，我们都将获得自适应检测率，不仅针对固定方向上的备选方案，而且针对非参数备选方案，具有接近最优的行为。为了构造我们的测试，我们将把每个优度问题简化为一个半鞅检测：我们将构造一系列观测Zi，在零假设下近似为白噪声，然后测试Zi是否包含一个隐藏的半鞅St。例如，假设我们有一个半鞅dxT=btdt+√utdBt，其中bt是布朗运动，bt和utar是可预测的过程，我们观察Xti，i=0，n、 其中，时间ti:=i/n。进一步假设我们有一个波动性模型u（t，Xt），并希望测试假设H:ut=u（t，Xt）与H:ut。为了估算ut，我们定义了已实现的波动率估值i:=n（Xti+1）- Xti），i=0，N- 1.由于按比例递增√n（Xti+1）- Xti）约为N（0，uti），观测值约为平均uti，方差约为2uti。在H下，我们得到了标准化观测Zi:=（Yi-u（ti，Xti））/σ（ti，Xti），σ：=2u，近似为白噪声。在H下，我们得到zi=Sti+εi，（1），其中半鞅st:=（ut）- u（t，Xt））/σ（t，Xt），以及近似中心噪声εi:=（Yi）- uti）/σ（ti，Xti）。为了检验我们的假设，我们必须检验序列是否近似为白噪声，或者是否包含一个隐藏的半鞅St。如果噪声εi独立于标准高斯，独立于ofSt，我们可以将其视为非参数火化的标准检测问题。在St条件下，我们可以将半鞅作为固定的，然后应用Inster和Suslina（2003）的方法。在对过程St进行适当假设的情况下，它的采样路径几乎是平滑的，因此我们能够检测到一个信号Stat raten-1/4英寸最高标准，最多为对数项。

或者，如果我们想检测信号∝ 对于固定方向，我们可以以n的速率进行-1/2.然而，一般来说，信号stm可能取决于噪声εi的过去值，反之亦然。因此，我们将无法直接诉诸于非参数回归的结果，而是需要使用专门为半鞅设置开发的参数。在下文中，我们将展示（1）这样的测试问题可以通过类似于非参数回归的检测率来解决。我们将进一步证明，许多半鞅拟合优度检验可以用（1）这样的形式描述，包括具有随机波动性、跳跃或微观结构噪声的模型。我们的方法类似于小波阈值（Donoho等人，1995年；Ho ff mann等人，2012年）；本质上，只要Stis的小波阈值估计不为零，我们就拒绝零。虽然这种方法在标准的非参数设置下工作良好，但我们需要证明新的结果，才能将其应用于（1）等设置。我们的证明将使用来自Skorokhod嵌入的高斯耦合。我们注意到，由于我们的结果必须应用于一般的半鞅设置，我们将无法使用更快的收敛耦合，例如KMT近似。然而，我们将证明，在合理的力矩范围内，Skorokhod嵌入将有助于实现所需的检测率。实际上，通过这个构造，我们将展示我们的测试检测到半鞅Stat a rate n-1/4在上确界范数下，直至对数项，即使在包含有限变化跳跃的情况下。此外，我们的测试将同时以更快的速度检测更简单的信号；例如，我们将能够在固定方向上以n的速率检测信号-1/2至对数，不知道方向等。我们将最终证明，在每种情况下，获得的速率接近最优。

将我们的测试应用于（1）这样的问题，我们将能够为各种各样的半鞅模型构建拟合优度测试，从而获得自适应和接近最优的检测率。论文的组织结构如下。在第2节中，我们对所考虑的问题进行了严格的描述，并讨论了一些例子。第三章，我们构建了我们的测试，并陈述了我们的理论结果。第四章给出实证结果，第五章给出证明。2.半鞅检测问题我们现在描述半鞅检测问题的概念。我们的设置将包括（1）等波动性优度问题，以及任何其他半鞅优度测试。我们从一些我们将要考虑的问题的例子开始。在每一种情况下，我们将描述一个半鞅模型，它具有一个类似波动性的过程ut。我们希望检验一个无效假设，即对于未知参数θ，u由某个已知函数u（θ，t，Xt）给出∈ Θ和一个可估计的卵子化过程∈ Rq；我们的另一个假设是，u不是由u给出的。为了验证我们的假设，我们将构造Fti+1-可测量观测值yi和方差函数σ。在零条件下，以Fti为条件，观测值将具有近似的均值和方差u（θ，ti，Xti）和σ（θ，ti，Xti）。为了估计这些均值和方差，我们将进一步构造参数θ和协变量Xti的估计sbθ和bxio。然后，我们将能够估计观测值yi与其均值u之间的差异，并根据其方差σ进行缩放；当这些规模差异的大小很大时，我们将拒绝零假设。在第3节中，我们详细描述了我们如何进行此类测试，并给出了有关其性能的理论结果。现在，我们继续用这种形式的半鞅优度问题的一些例子。

设B′t是独立的布朗运动，λ（dx，dt）是强度为dx-dt的独立泊松随机测度，B′t是可预测的局部有界过程，ft（x）是具有rr1的可预测函数∧|ft（x）|βdx局部有界，对于某些β∈ [0,1）。进一步定义t′i:=i/n。然后我们有以下示例。局部波动性我们希望在过程dxt=btdt中测试模型u+√utdBt，（2）观察Xti，i=0，n、 我们设定xi：=Xti，并根据实际波动率估计utib（Andersen et al.，2001；Barndorff-Nielsenand Shephard，2002），Yi：=n（Xti+1- Xti）。然后我们定义方差函数σ：=2u。我们希望在processdXt=btdt中测试模型u的ut+√utdBt+RRft（x）λ（dx，dt），观测Xti，i=0，n、 我们假设xi:=Xti，并通过截断的实际波动率估计utib（Mancini，2009；Jacod和Reiss，2014），Yi=gn(√n（Xti+1）- Xti），gn（x）=xx<αn，对于任何序列αn>0，满足log（n）=o（αn），对于所有κ>0，αn=o（nκ）。（3） 然后我们定义方差函数σ：=2u。微结构噪声我们希望测试一个模型u的utin过程dx1，t=btdt+√utdBt。我们观测了ex1，i:=X1，t′i+εi，i=0，n、 其中，噪声εi在F+t′i:=Ts>t′iFs中是可测量的，且满足度[εi | Ft′i]=0，E[εi | Ft′i]=X2，t′i，E[|εi |κFt′i]≤ C、 对于一个具有局部有界特征且常数κ>8，C>0的It\'o半鞅X2，twi。我们通过它们的预平均值（Jacod等人，2009年；Reiss，2011年）估计Xtjandutjb，bX1，j:=n-1Pn-1i=0eX1，nj+i，bX2，j:=（2n）-1Pn-1i=0（eX1，nj+i+1-eX1，nj+i），Yj:=π（2n）-1（请注意-1i=0cos（π（i+）/n）eX1，nj+i）-bX2，j）。然后我们定义方差函数σ：=2（u+πX2，t）。随机波动性我们希望测试一个模型u的utin过程dx1，t=btdt+pX2，tdBt，dX2，t=b′tdt+√utdB′t，进行观察X1，t′i，i=0，n、 我们定义了波动率估计值SEX2，i:=n（X1，t′i+1- X1，t′i），i=0。

N- 1，我们用它来估计Xtjandutj（巴恩多夫-尼尔森和维拉特，2009；维特，2012），bX1，j:=X1，tj，bX2，j:=n-1Pn-1i=0eX2，nj+i，Yj:=2π（n-1（请注意-1i=0cos（π（i+）/n）eX2，nj+i）-bX2，j）。然后我们定义方差函数σ：=2（u+2πX2，t）。其他许多其他模型，例如包括共变性或杠杆，或结合上述任何特征，都可以类似地描述。为了简单起见，我们假设时间是确定的、一致的；然而，具有适当密集和可预测的不均匀或随机时间的模型可以以类似的方式处理。为了简洁地描述这些例子和其他例子，我们将陈述一组关于观测值Yi、均值和方差函数u和σ、参数θ、协变量Xt和估计值bxi的假设。可以证明上述模型都在我们的假设范围内，因此我们可以在这些假设范围内进行一些一般性的工作。首先，我们定义了一些符号。设k·k表示任意有限维向量范数；如果是kak，写a=O（b）≤ Ckbk，对于某些普适常数C；如果对于每个ε>0，随机变量a和b满足yp（kak>Cεkbk），则写出a=Op（b）≤ ε、 对于普适常数Cε。我们在此强调，隐含常数C和Cε是普适的；在a=O（1）等情形下，我们要求所有这类情形的上确界是有界的。给定一个函数f:X→ R、 我们还定义了kfk的最高标准∞:= 好的∈X | f（X）|。我们的假设如下。假设1。让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0,1]，P）是一个经过过滤的概率空间，具有适应的未观察到的均值、方差和协变量过程∈ R、 σt≥ 0和Xt∈ 分别是Rq。为了0≤ T≤ t+h≤ 1，让Wt表示过程u或Xt，我们有Wt=O（1），E[Wt+h- Wt | Ft]=O（h），E[kWt+h- Wtk | Ft]=O（h）。（4） 对于i=0。

N- 1，我们有Fti+1-可测估计Xti，令人满意[kbXi- Xtik | Fti]=O（n-1） ，E[kbXi- Xtik | Fti]=O（n-1).（5） 我们也有Fti+1-可测量的观测值Yi，令人满意的e[Yi | Fti]=uti+O（n-1/2），Var[Yi | Fti]=σti+O（n-1/4），E[|Yi | 4+ε| Fti]=O（1），（6）对于常数ε>0。在零假设H下，对于已知函数u，σ：Θ×[0，1]×Rq，我们假设我们的观察结果由参数模型描述，ut=u（θ，t，Xt），σt=σ（θ，t，Xt）→ R、 还有一个未知参数θ∈ Θ. 我们认为Θ Rp是闭合的，σ是正的。我们还假设函数u和σ在θ中是局部Lipschitz的，在t中是连续可微的，在X中是两次连续可微的。最后，我们给出了θ的一个很好的估计bθ，满足bθ- θ=Op（n）-1/2).在替代假设H下，我们允许ut，σt，并且只要求bθ=Op（1）。为了确保上述示例与假设1一致，我们必须要求参数空间Θ Rpbe闭合，且模型函数u在θ中为局部Lipschitz，在t中为连续可微分，在Xt中为两次连续可微分。对于大多数常见车型，这些条件都应得到满足。我们必须进一步要求半鞅是有界的，并且具有有界的特征。一般来说，这种假设可能不会直接成立；然而，我们可以使用标准化本地化参数，在不丧失普遍性的情况下进行假设。在第5.3节中，我们检查上述示例是否满足我们对过程ut、σt和Xt的条件；估算SBXi；和易。这些条件大多来自随机过程的标准结果；必要时，可以使用下面的引理1证明更高的力矩界限。为了满足假设1，仍然需要选择θ的估计值Bθ，其误差为Op（n-在H下为1/2），在H下为Op（1）。