黑卡拉西斯基债券和互换期权价格的近似计算

因此(-我*0,τ(·)) ∈ LR√πe-xdx通过（2.23）我们得到了我们的断言。这种近似的重要性质是它对rT的单调依赖性≥ 1，B*n（T，T+τ）是rT的严格递减函数→0B*n（T，T+τ）=1，limrT→+∞B*n（T，T+τ）=0。（3.19）10 A.Daniluk，R.Muchorski定义B*n（T，T+τ）=Qn（exp(-I0，τ））=n∑k=1wn，kexp(-I0，τ（hn，k））。（3.20）既然权重wn，kare为正，那么就足以证明I0，τ（hn，k）是rT对每个k的严格递增函数。回顾公式E0，τ（hn，k）=τZ′rT，tG0，τ（t）F0，τ（t，hn，k）dt，1≤K≤ n、 （3.21）我们注意到G0，τ，F0，τ是独立于rT的严格正函数，而¨rT，是rT的严格递增函数。因此，I0，τ（hn，k）是rT的严格递增函数。此外，由于G0，kτ（·），F0，kτ（·，hn，j）在[T，T+τ]上有界且收敛于rT→0’rT，t=0，limrT→+∞\'rT，t=+∞ （3.22）在t∈ [T，T+τ]，我们得到了limrt→0exp(-I0，Nτ（hk，j））=1，limrT→+∞经验-I0，Nτ（hk，j）= 0.（3.23）自定义B起*n（T，T+kδ）=n∑j=1wn，jexp-I0，kτ（hk，j）（3.24）wn，jsum到1，我们得到了我们的断言。4互换期权的近似值让我们考虑到期日T>0、走向S>0且基础互换期权期限τ=Nδ的互换期权，其中N≥ 1是固定分期付款的数量，δ>0是付款期的长度。考虑与交换选项类型相关的参数ω，对于付款人交换选项等于ω=1，ω=- 1用于接收器交换。表示法：表示随机贴现因子及其关于XTbyβ（t）的条件期望 经验-tZrsds,^β（x） Eβ（T）| XT=x.

（4.1）表示互换年金、基础互换率和两个辅助量asA（t，t，N）的值δN∑k=1B（t，t+kδ），（4.2）黑卡拉西恩斯基模型11r（t，t，N）中债券和互换期权价格的近似值B（t，t）-B（t，t+Nδ）A（t，t，N），（4.3）C（t，N，S） B（T，T+Nδ）+SA（T，T，N），（4.4）P（T，N，S；XT）^β（XT）1.-C（T，N，S；XT）, （4.5）最后一个参数XTEXpress（隐式）表示变量对XT的依赖性，不相关时可以省略。命题3互换期权价格Swpt可以用公式Swpt=E表示ω{ω≥ωC（T，N，S）}P（T，N，S；XT）. （4.6）将即期计量下的互换期权定价为到期时其内在价值的预期，并使用我们的符号（4.3）-（4.4），我们可以表示付款人/收款人互换期权的理论价格asSwpt=Eβ（T）A（T，T，N）ωr（T，T，N）-s+= Eβ（T）ω1.-C（T，N，S）+.（4.7）根据tower属性，该期望值可根据与第一个目标相关的条件期望值进行计算。由于C（T，N，S）是可测的，这就导致了我们的断言。为了获得互换期权价格的近似值，我们将对（4.6）中的β（XT）和C（T，N，S）进行近似。让我们从近似^β（XT）开始。记法：让m≥ 1.我们定义了以下函数^Fm，T（T，x，z，…，zm） 经验σm∑k=1q^λk（T）^fk，T（T）zk+σk（T，T）V（T）x, （4.8）^Gm，τ（t） expσ^V（t）-M∑k=1^λk（T）^fk，T（T）!, （4.9）^Im，T（x，z，…，zm）τZ′rT，t^Gm，τ（t）Fm，τ（t，x，Z，…，zm））dt。（4.10）近似3序列^βm（x）(√π） m+∞Z-∞...+∞Z-∞经验-^Im，T（x，z，…，zm）-z+…+zmdz。。。dzm（4.11）提供了^β（x）=limm的近似值→+∞βm（x）。（4.12）12 A.Daniluk，R.Muchorski证明该证明类似于近似值1的证明，经过修改，所有随机变量都被替换为以XT为条件的期望值。所有函数和常量都将替换为相应的“帽子”版本，具体取决于x。

该理论基于方程式（2.10）以及Ornstein-Uhlenbeck桥和Alll^zk桥独立于XT的事实。近似4序列^β*m（x） 质量管理（经验）(-^Im，T）（x，·）），m≥ 1（4.13）近似于^β（x）^β（x）=limm→+∞^β*m（x）。（4.14）证明该证明与近似2中给出的证明直接类似。符号：表示m，n≥ 1让我们表示pm，n（T，n，S）≡Pm，n（T，n，S；XT）^β*m（XT）1.-C*n（T，n，S；XT）, （4.15）C*n（T，n，S；XT） B*n（T，T+nδ）+Sδn∑k=1B*n（T，T+kδ），（4.16），其中最后一个参数xtexpress（隐式）依赖于XT，这一点从以下事实中可以清楚地看出：*n（T，T+kδ）是rT的函数，rT=\'r0，Texp（σXT）（\'r0，这是一个常数）。任何m，n的命题4≥ 1存在x=x（m，n），使得Pm，n（T，n，S；·）为负(-∞,x） （x）为正+∞).证明：RTI是xTandlimxT的一个递增函数→-∞rT=0，limxT→+∞rT=+∞. （4.17）因此，使用命题2，我们观察到C*n（T，n，S；x）是x和limx的严格递减函数→+∞C*n（T，n，S；x）=0，limx→-∞C*n（T，n，S；x）=1+nδS>1。（4.18）因此，存在这样一个定义*n（T，n，S；x）≥ 1，x≤ X和C*n（T，n，S；x）≤ 1，x≥ x、 （4.19）关于^β*m（XT）>0，相当于我们的断言。任何m，n的命题5≥1互换期权的价格Swpt可通过公式Swpt近似计算≈ Swpt*m、 n Eω{ωXT≥ωx}Pm，n（T，n，S；XT）. （4.20）黑色Karasi’nski模型中债券和互换期权价格的近似值13证明近似值1-4直接暗示P（T，N，S；XT）≈^β（XT）1.-B（T，T+Nδ）-SδN∑k=1B（T，T+kδ）≈^β*m（XT）（1）-C*n（T，n，S；XT））=Pm，n（T，n，S；XT）。（4.21）此外，从命题4我们推断出条件ωP（T，n，S；XT）≥ 0等于ωXT≥ωx，因此最终为wpt≈ E{ωXT≥ωx}Pm，n（T，n，S；XT）, （4.22）这是我们的主张现在，我们准备提供一个易于操作的公式，用于近似互换期权定价。

为此，我们只需更换Swpt*m、 在最后一次逼近中，使用其特定的插值多项式。m，n，k的近似值5≥ 1表示fm，n:fm，n（z）=Pm，n（T，n，S；pV（T）z），（4.23）f*m、 n，k Lk（fm，n）。（4.24）取任意k，l≥ 1使Fm，n（hk，l）<0≤ fm，n（香港，l+1）（4.25）和z*K∈ （hk，l，hk，l+1）这样*m、 n，k（z）*k） =0。（4.26）然后是sequenceSwpt*m、 n，k√πH（f）*m、 n，k）（z）*k） 经验-Z*K+ωh（f）*m、 n，k）Φ(-ωz*（k）（4.27）提供了WPT的近似值*m、 n=limk→+∞Swpt*m、 n，k.（4.28）特别是，互换期权价格Swpt可以近似为asSwpt≈ Swpt*m、 n，k.（4.29）证明首先需要注意k，l，z*凯克斯特。的确-hk，1=hk，k→ +∞, K→ +∞. （4.30）因此，通过命题4fm，n（hk，1）<0<fm，n（hk，k）（4.31），对于几乎所有的k和fm，n（hk，l）<0≤ fm，n（hk，l+1）（4.32）14 A.Daniluk，R.Muchorski关于特定l.指f的定义*m、 这也意味着*m、 n（香港，l）<0≤ F*m、 n（hk，l+1），（4.33）f*m、 n，khas a root z*kin（hk，l，hk，l+1）。通过命题5和引理1，我们分别得到了WPT*m、 n=Eω{ωZ≥ωz}f（z）, （4.34）Swpt*m、 n，k=√πω∞Zz*kf*m、 n，k（z）e-zdz=Eω{ωZ≥ωz*k} f*m、 n，k（Z）, （4.35）其中Z~ N（0,1），zx（m，n）√V（T）。然后表示εk Eω{ωZ≥ωz}-1{ωZ≥ωz*k}fm，n（Z）, （4.36）δk Eω{ωZ≥ωz*k} （fm，n（Z）- F*m、 n，k（Z））, （4.37）我们已经*m、 n-Swpt*m、 n，k=εk+δk.（4.38）我们将证明εk，δk→ 0.首先注意| P（ωZ）≥ωz）-P（ωZ）≥ωz*k） |=|Φ（z）-Φ（z）*k） |≤√π| z-Z*k |。（4.39）此外，从命题4 | Pm，n（T，n，S；XT）|<max{1，nδS}<1+nδS，（4.40）因此fm，n≤ 1+NδS.将这些结合在一起|εk |≤√π（1+NδS）|z-Z*k |。（4.41）通过对命题4中X的定义，我们注意到z∈ （香港，l，香港，l+1）。

考虑到*kalso位于这个区间，我们有|εk |≤√π（1+NδS）（hk，l+1-香港，l）（4.42），并注意到香港，l+1-香港，l→ 0作为k→+∞ （见定理6.1.2[13]）我们得到εk→ 现在，让我们观察一下δ≤ Ef（Z）- F*m、 n，k（Z）≤ kf- F*m、 n，kk，（4.43），其中k·k表示L中的范数R√πe-xdx. 作为fm，nis是一个连续且有界的函数，因此通过引理2，它保持kf*m、 n，k- fm，nk→ 0作为k→ +∞, 因此δk→ 最后，由于εk+δk→0，然后考虑到命题5和（4.38），我们最终得到了我们的断言。Black Karasi\'nski模型中债券和互换期权价格的近似值15注释9尽管所获得的近似公式有些复杂，但在实践中它们很容易计算。也就是说，适当的l可以通过评估P找到*m、 n（T，n，S；pV（T）hj）在Hermite多项式（j=1，…，k）的零点处，这可以通过数值计算来实现。这些相同的值也用于计算多项式f的系数*m、 n，k，特别是通过解一组线性方程组。然后，多项式H（f）的系数*m、 n，k）和值h（f*m、 n，k）可通过使用其定义给出的递归公式直接计算。最后是rootz*科夫*m、 n，kc可以用任何标准的数值程序（如牛顿法或假位置法）有效地找到。这里唯一的数值扩展元素是P的计算*m、 n，需要k（Nn+m）个数值积分（k个参数hj，n个债券近似到期日，每个由n个正交分量组成，再加上m个正交节点以近似^β）。备注10对于实际应用，应采用一些特定的k、m、n值。在典型情况下，我们建议使用k=m=n=5，这在我们的数值测试中被证明是足够准确的，并且需要中等数量的数值积分。注11：请注意，对于确切的数量^β（XT）1.-C（T，n，S）= 1.-C（0，n，S）。

（4.44）然而，如果我们用近似值5中应用的近似值替换^β（XT）和C（T，n，S），则这并不成立。因此，我们的近似值并不完全遵循看跌期权奇偶性。5数值结果为了检验前几节中给出的近似值的准确性，计算了几种零息债券的价格。为简单起见，假设a（·）是a（t）=b ln（ravg）形式的时间的常数函数，其中ravg=3%。为了更好的清晰度和可比性，结果以到期收益率的形式呈现（采用连续复利惯例），而不是债券的实际价格。为了检验结果对不同参数的依赖性，计算了以下各项的成熟度收益率：o到期日：1年、2年、5年、10年和20年or值：1%、3%和6%ob值：0.02和0.1oσ值：25%和50%在表1中，我们给出了从近似值2获得的此类计算结果，与通过蒙特卡罗模拟获得的准确结果进行了对比。可以看出，近似值的误差非常小，对于所检查的每一组参数，误差最多为几个基本点。16 A.Daniluk，R.Muchorski对互换期权价格进行了类似的数值测试。对于模型的各种参数集和互换期权的收益，已经计算了若干层和接收器互换期权的价格。我们使用了与forbonds相同的模型参数集。对于每一种期权，我们使用以下参数检查了各种期权近似值的准确性：o期权到期日：1年、2年、5年和10年，o基本期限：1年、2年、5年和10年，o期权金额：10%、80%、90%、100%、110%、125%、150%。（货币性是掉期期权履约和ATM履约的商，作为远期掉期利率）。

由于参数空间的维数，我们将结果分为2层：o对给定期限的货币性的依赖（表2），o对ATM罢工的基本期限的依赖（表3）。在ATM以外的罢工的情况下，仅涉及货币外掉期期权，即付款人或接收人掉期期权的价格根据其罢工高于或低于远期掉期利率来计算（由于看跌期权平价，可以在不丧失普遍性的情况下施加此类限制）。与债券一样，使用近似值5计算的价格与“精确”价格（在晶格上计算）进行比较。除了这些检查，我们还检查了由近似值产生的看跌期权差异的规模，如上文标记11所述。为此，在表4中，我们比较了从近似值5中获得的ATM付款人和ATM收款人交换选项（原则上应该相等）的价格。为了更容易地比较不同掉期期权的结果，并遵守市场惯例，所有掉期期权价格都被转换为其最大波动率。因此，表中的数据代表了与比较互换期权价格相对应的隐含效用之间的差异（表2和表3中的近似值与精确值，或表4中的付款人与收款人）。如你所见，除了少数例外，近似误差范围为-50 bp到+50 bp，其中绝大多数绝对值小于10 bp，远低于典型的买卖价差。毫不奇怪，在长期到期/期限和/或高波动性的情况下观察到最大的错误。

类似的观察结果涉及看跌期权差异，除了最长到期日和/或期限的情况外，这种差异似乎可以忽略不计，这反映了当应用于较长的时间范围时，近似的效率较弱。最后，我们将我们的债券近似值与通过[14]、[11]中提出的方法得到的债券近似值进行了比较。我们使用了本文[11]中的表1作为基准值，其中包含通过这两种方法以及蒙特卡罗模拟获得的零息票债券价格的近似值。已对特定参数集进行了计算，即：o到期日：0.1、0.5、1、2和3年，or=6%，b=ln（0.04），σ=85%。表5包含了这些结果，以及从我们的近似值2中获得的价格。然而，为了保持我们的惯例，我们将黑色Karasi’nski模型中债券价格和互换期权价格的近似值转换为其收益率，并以与基准（MC）的差异形式呈现结果。表5中的结果显示，与其他方法相比，近似2具有较好的性能。最重要的是，在增加债券到期日的同时，它保持了一个相当稳定的错误率，而参考文献[16]的结果表现出非常不同的行为，错误随着到期日的增加而强烈增加。18 A.达尼卢克，R。

MuchorskiTable 1通过蒙特卡罗模拟（MC）和近似2（A2）获得的到期收益率。1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1%0.1（1.1）0.1（1.1）1.1.1 1.1.1.1（1.1）1.1（1）1.1（1.1）1（1.1.1）5（1.1.1）5（1（1.1）1.1.1.1.5（1（1）5）5（1（1.5）5）1.1.3（1）5（1.3（1（1.3）5）1.3（1（1）5）5（1（1.5）5）5（1（1）1.3（1（1）1.5）1.3（1）5（1（1）5（1）5）5（1（1）5）5）5）5（5.769%0.000%6%0.125%5.435%5.436%0.001%104.971 % 4.975 % 0.004%20 2.485 % 2.487 % 0.002%1 1.027 % 1.027 % 0.000%2 1.053 % 1.053 % 0.000%1% 0.02 25% 5 1.134 % 1.134 % 0.000%10 1.264 % 1.264 % 0.000%20 0.632 % 0.632 % 0.000%1 3.046 % 3.046 % 0.000%2 3.089 % 3.089 % 0.000%3% 0.02 25% 5 3.203 % 3.203 % 0.000%10 3.331 % 3.333 % 0.001%20 1.666 % 1.666 % 0.001%1 6.048 % 6.048 % 0.000%2 6.086 % 6.086 % 0.000%6% 0.02 25% 5 6.145 % 6.146 % 0.001%10 6.075 % 6.081 % 0.006%20 3.038 % 3.041 % 0.003%1 1.120 % 1.120 % 0.000%2 1.243 % 1.243 % 0.000%1% 0.1 50% 5 1.607 % 1.607 % 0.000%10 2.104 % 2.107 % 0.003%20 1.052 % 1.053 % 0.001%1 3.178 % 3.178 % 0.000%2 3.336 % 3.336 % 0.000%3% 0.1 50% 5 3.668 % 3.670 % 0.002%10 3.872 % 3.882 % 0.009%20 1.936 % 1.941 % 0.005%1 6.137 % 6.137 % 0.000%2 6.215 % 6.216 % 0.001%6% 0.1 50% 5 6.174 % 6.181 % Black Karasi’nski模型中债券和互换期权价格的0.006%10 5.747%5.774%0.026%20 2.874%2.887%0.013%近似值19表2根据近似值5计算的互换期权价格与根据不同货币水平计算的格点定价对应的隐含波动率之间的差异。模型参数Swapption隐含波动率误差与货币性（%ATMF）收款人RRBσMat。十