进出口时间序列的自回归方法I:基本

如果|β|<1且utis平稳，则输入-输出时间序列I的渐进方法：基本平稳。AR（p）模型平稳的条件是1的根- βz- βz- βz- ··· - βpzp=0的绝对值大于1。如果AR（p）的根等于1，那么我们说序列有单位根和随机趋势。随机趋势通常会带来许多问题，例如，自回归系数偏向于零。由于Ytis是非平稳的，时间序列回归的假设不成立，我们不能依赖估计量和具有通常大样本正态分布的检验统计量；例如，见[7，第3.2章]。事实上，自回归系数β的OLS估计是一致的，但它具有非正态分布；然后将^β的渐近分布移向零。随机趋势造成的另一个问题是t统计量的非正态分布，这意味着传统的置信区间无效，无法像往常一样进行假设检验。t统计量是检验统计量的一个重要例子，即用于进行假设检验的统计量。统计假设检验可能会犯两类错误：第一类错误，在事实上为真时，无效假设被拒绝；第二类错误，在事实上为假时，无效假设不被拒绝。当无效假设为真时，统计假设检验的预先指定排除概率，即I型错误的预先指定概率，称为检验的显著性水平。检验统计量的临界值是指在给定显著性水平上，检验仅拒绝无效假设的统计量值。

p值是通过随机抽样变异获得检验统计量的可能性，至少与实际观察到的统计量一样不利，假设零假设是正确的。等价地，p值是可以拒绝无效假设的最小显著水平。t统计量的值ist=估计量- 假设值估计器的标准误差，当n较大时，由于中心极限定理（参见[1，第4.3章]），标准正态分布很好地逼近。此外，随机趋势可能会导致两个时间序列在不相关时出现相关，这是一个称为伪回归的问题（例如，参见[5，第2章]）。对于AR（1）模型，最常用的确定随机趋势的测试是Dickey–Fuller测试（详见[5，第3章）。对于该测试，我们首先减去Yt-1从方程Yt=β+βYt的两侧-1+ut。然后我们假设以下假设成立：H:δ=0 vs us H:δ<0 in Yt- Yt-1= Yt=β+δYt-1+UT，δ=β- 1.对于AR（p）模型，标准的做法是使用增广Dickey–Fuller检验（ADF），该检验根据回归中的单侧备选方案H:δ<0检验零假设H:δ=0Yt=β+δYt-1+ γYt-1+ γYt-2+··+γpYt-p+UT在零假设下。让我们注意到，由于YT是一种随机趋势，因此在替代假设下，YT是平稳的。ADF统计量是OLSt统计量，测试δ=0。相反，如果另一种假设是Ytis在确定的线性时间趋势周围是平稳的，那么这个趋势t必须作为一个附加的回归因子加起来。在这种情况下，Dickey–Fuller回归成为58 L.Di PersioYt=β+αt+δYt-1+ γYt-1+ γYt-2+··+γpYt-p+ut，我们测试δ=0。

ADF统计不具有正态分布，因此必须使用不同的临界值。2.4.当回归函数在样本过程中发生变化时，会出现第二类非平稳性。在经济学中，这可能是由于多种原因造成的，比如经济政策的变化、经济结构的变化，或者改变特定行业的发明。回归模型不能忽略这些中断。由中断引起的一个问题是，OLS对全样本的回归估计将估计一个“平均”的关系，即估计值结合了两个不同的时期，这将导致糟糕的预测。有两种类型的中断测试：在已知日期的中断测试和未知中断日期的中断测试。我们考虑AR（p）模型的第一种选择。设τ表示假设的中断日期，设Dt（τ）为二元变量，如果t>τ，则Dt（τ）=0，如果t<τ，则Dt（τ）=1。然后，包括二进制中断指示符和所有相互作用项的回归如下：Yt=β+βYt-1+βYt-2+··+βpYt-p+γDt（τ）+γDt（τ）×Yt-1.+ γDt（τ）×Yt-2.+ ··· + γpDt（τ）×Yt-P+ 在无断裂的零假设下，γ=γ=γ=···=γp=0。在存在中断的替代假设下，在中断日期τ之前和之后，回归函数是不同的，我们可以使用F统计量进行所谓的Chow检验（例如，参见[6，第5.3.3章]）。如果我们怀疑两个日期τ和τ之间存在断裂，可以修改Chow测试，以测试τ和τ之间所有可能日期τ的断裂，然后使用所得F-统计量中的最大值来测试未知日期的断裂。后一种技术被称为量子似然比统计（QLR）（例如，参见[7，第14.7章]）。

因为QLR统计量是许多F统计量中最大的，所以它的分布与单个F统计量的分布不同；此外，QLR统计的临界值必须从特殊分布中获得。3 MA和ARMA在下文中，我们考虑有限阶移动平均（MA）过程（例如，参见[6，第2.2章]）。q阶移动平均过程MA（q）由Yt=α+ut定义-αut-1.-αut-2.-··· - αqut-Q等价地，通过使用滞后运算符，我们得到Yt-α= (1 -αL-αL-···-αqLq）ut。每个有限MA（q）过程都是静态的，我们有oE[Yt]=α，oV[Yt]=E[（Yt- α） ]=（1+α+α+·α+αq）σ，oCov[Yt，Yt+τ]=E[（Yt- α） （Yt+τ）- α） ]=E[ut（ut+τ）- αut+τ-1.- ··· - αqut+τ-q）- αut-1（ut+τ）- αut+τ-1.- ··· - αqut+τ-q） ···-αqut-q（ut+τ）- αut+τ-1.- ··· - αqut+τ-q） ]。进出口时间序列的自回归方法I：基本技术59结合p阶的自回归（AR）项和q阶的移动平均（MA）项，我们可以定义表示为ARMA（p，q）和表示为β+βYt的过程-1+··+βpYt-p+ut- αut-1.- ··· - αqut-Q同样，利用滞后算子，我们可以写1.- βL- βL- ··· - βpLpYt=β+1.- αL- αL- ··· - αqLqut，β（L）Yt=β+α（L）ut。4向量自回归在下文中，我们将重点研究所谓的向量自回归（VAR）计量经济模型，并对第一部分中描述的单变量时间序列模型之间的关系进行了一些说明，以及代表VAR方法的传统计量经济学的同时方程组（见[4，第2章]）。4.1系统的表示迄今为止，我们考虑过预测单个变量。然而，如果我们想要预测多个参数的动态，通常有必要考虑多维统计分析。

本节介绍一种预测多变量的模型，即向量自回归（VAR）模型，其中使用两个或多个变量的滞后值来预测其未来值。我们从p阶VAR模型中的自回归表示开始，用VAR（p）表示，其中每个组成部分取决于其自身的滞后值（p期）和所有其他变量（p阶）的滞后值。因此，VAR模型背后的主要思想是了解在某个时间点出现的与观察到的变量之一有关的新信息，在系统中进行处理，并且随着时间的推移，它不仅对该特定变量，而且对其他系统参数都有影响。因此，VAR（p）模型是一组k时间序列回归（k∈ N+，其中回归系数是所有k系列的滞后值，每个方程的滞后数等于Pf。对于两个时间序列变量，例如Yt和Xt，VAR（p）由两个形式的方程（Yt=β+βYt）组成-1+···+β1pYt-p+γXt-1+···+γ1pXt-p+u1t，Xt=β+βYt-1+·β2pYt-p+γXt-1+···+γ2pXt-p+u2t，（6）其中βs和γs是未知系数，而u1和u2tar是由正态分布随机变量表示的误差项，其均值和方差σi>0。VAR假设与时间序列回归定义AR模型的假设相同，并应用于每个方程；此外，通过OLS方法估计每个变量的系数。orderp向量自回归的简化形式定义为Zt=δ+AZt-1+AZt-2+··+ApZt-p+Ut，其中Ai，i=1，p、 是k维二次矩阵，U表示时间t处残差的k维向量，δ表示常数项向量。系统（6）可以紧凑地重写为Ap（L）Zt=δ+Ut，其中Ap（L）=60l。

波斯伊克酒店- 艾尔- 艾尔- ··· - ApLp，E[Ut]=0，E[UtU′t]=σuu，对于t6=s，E[UtU′s]=0。这样的系统是稳定的，当且仅当所有包含的变量都是平稳的，也就是说，如果滞后多项式的特征方程的所有根都在单位圆之外，即det（Ik）- 阿兹- 阿兹- ··· - Apz）6=0表示| z |≤ 1（有关详细信息，请参见[6，第4.1章]）。我们使用这个条件是因为我们在第2.3节中看到，AR（p）模型的平稳性条件是1的根- βz- βz- βz- ··· - βpzp=0的绝对值大于1。如果AR（p）的根等于1，我们说序列有单位根和惊人的趋势。此外，以前的系统可以通过利用theMA表示法重写，如下所示：Zt=A-1（L）δ+A-1（L）Ut=u+Ut- 但是-1.- 但是-2.- 但是-3.- ···= u+B（L）uT，B=Ik，B（L）：=I-∞Xj=1BjLj≡ A.-1（L），u=A-1（1）δ=B（1）δ。自方差矩阵定义为ΓZ（τ）=E[（Zt-u）（Zt-τ-u)′]; 在不丧失普遍性的情况下，我们将δ设为0，因此，u=0，由此得出ZtZ\'t-τ= AEZt-1Z′t-τ+ AEZt-2Z′t-τ+ ··· + 猿类Zt-pZ′t-τ+ EUtZ\'t-τ对于τ≥ 0，ΓZ（τ）=AΓZ（τ）- 1） +AΓZ（τ）- 2） +··+ApΓZ（τ）- p） ，ΓZ（0）=AΓZ(-1） +AΓZ(-2） +··+ApΓZ(-p） +∑uu=AΓZ（1）′+AΓZ（2）′+···+ApΓZ（p）′+。由于自协方差矩阵项将一个变量与其延迟和剩余的模型变量联系在一起，因此，如果X和Y之间的自协方差为正，那么X倾向于与Y相应地移动，反之亦然，而如果X和Y是独立的，它们的自协方差显然等于零。4.2在VARsAn中确定滞后长度VAR的滞后长度选择的适当方法对于确定VAR和相关估计的性质至关重要。在VAR模型中，有两种主要的方法用于选择或测试滞后长度。

第一种是基于数据周期和过去经验的经验法则，第二种是基于正式信息标准。VAR模型通常包含足够的滞后，以捕获数据的整个周期；对于月度数据，这意味着至少有12个滞后，但我们也预计，从年自回归方法到进出口时间序列I，会有一些季节性：基本技术每年61次，因此通常使用13-15个月的滞后长度（见[4，第2.5章]）。对于季度数据，标准是使用六个滞后。这捕捉了一年中的周期性成分，以及大多数情况下的任何剩余季节性成分。通常，我们决定选择不超过kp+1<T的滞后数量，其中k是内生变量的数量，p是滞后长度，T是观察的总数。我们使用这种限制是因为所有这些系数的估计增加了预测估计误差的数量，这可能会导致预测本身的准确性下降。VAR中的滞后长度可以使用信息标准正式确定；设^∑uube（i，j）元素tptt=1^uit^ujt的协方差矩阵的估计，其中^uit是第j个方程的OLS残差。VAR模型中第k个方程的BIC为BIC（p）=lndet（^∑uu）+ k（kp+1）ln TT，（7）而AIC使用公式（7）计算，通过将ln T替换为2进行修改。在p的一组候选值中，估计的滞后长度^p是使BIC（p）最小化的p的值。4.3多期VAR预测使用VAR计算多元预测，方法与使用自回归计算单变量预测大致相同。多变量预测的主要新特点是，一个变量的预测取决于VAR中所有变量的预测。

要计算提前h个时段的多期VAR预测，必须计算Tand T+h之间所有中间时段的所有变量的预测。然后应用以下方案：计算VAR中所有变量的提前一期预测，然后使用这些预测计算提前两个时段的预测，并重复之前的步骤，直到达到所需的预测范围。例如，根据公式（6）中的两变量VAR（p）对YT+2的两个时期的预测是^YT+2 | T=^β+^β^YT+1 | T+^βYT+^βYT-1+···++β1pYT-p+2+^γ^XT+1 |T+^γXT+^γXT-1+···+γ1pXT-p+2，（8），其中（8）中的系数是对VAR系数的OLS估计。4.4格兰杰因果关系多重时间序列中的一个重要问题是分配单个变量的值，以解释所考虑的方程组中的剩余变量。一个例子是一个变量Yt的值，用于预测方程动态系统中的另一个变量Xt，或者理解变量Yt是否提供了有关Xt未来值的信息。答案基于时间序列模型的所谓格兰杰因果关系参数的确定（有关详细信息，请参见[4，第2.5.4章]）。为了精确地定义这个概念，考虑两个变量（Yt，Xt）的二元VAR模型，如公式（6）所示。使用这个方程组，格兰杰因果关系表明，对于线性模型，如果过去的YT行为比过去的Xt更能预测Xt的行为，那么Xt格兰杰导致Yt。对于系统（6）中的模型，如果XtGranger导致Yt，则Ytequation 62 L.Di persioar中XT过去值的系数为非零，即i=1，2，…，γ1i6=0，p、 类似地，如果YtGranger在扩展方程中导致Xt，则Yt过去值的系数为非零，也就是说，对于i=1，2，…，β2i6=0，P

格兰杰因果关系的正式检验是通过对可能的因果变量不会导致其他变量的联合假设进行F检验来完成的。我们可以指定格兰杰因果关系的无效假设如下。H:Granger非因果关系XT不能预测YIFγ=γ=··=γ1p=0，H:Granger因果关系XT不能预测YIFγ6=0，γ6=0，或者γ1p6=0，而F测试实现基于两个模型。模型1（无限制）Yt=β+βYt-1+···+β1pYt-p+γXt-1+···+γ1pXt-p+u1t。模型2（受限）Yt=β+βYt-1+···+β1pYt-p+u1t。在第一个模型中，我们有γ6=0，γ6=0，γ1p6=0，因此变量Xt在Yt方程中比较，即Xt的值有助于预测Yt。相反，在第二个模型中，γ=γ=···=γ1p=0，因此XT不会导致Yt。检验统计量的F分布为（p，T- 2p- 1） 自由度：F（p，T- 2p- 1) ~（SSR）- SSR不受限制）/pSSRunrestricted/（T- 2p- 1).如果该F统计值大于所选显著性水平的临界值，我们将排除XT对Yt没有影响的无效假设，并得出XTGranger导致Yt的结论。4.5第2节中的协整。3.我们介绍了带漂移的随机游动模型：Yt=β+Yt-1+ut。（9） 如果Yt遵循公式（9），那么它有一个等于1的自回归根。如果我们考虑arandom walk作为趋势的第一个差异，那么我们得到Yt=β+Yt-1+ut。（10） 因此，如果Yt遵循公式（10），那么它跟随随机游走，因此Yt- Yt-它是静止的；这是Ytand的第二个区别，表示为嗯。具有随机游动趋势的序列称为一阶积分，或I（1）；导入-导出时间序列的自回归方法I：基本技术表1。

EG-ADF统计的临界值回归数10%5%1%1-3,12 -3,41 -3,962 -3,52 -3,80 -4,363 -3,84 -4,16 -4,734 -4,20 -4,49 -507a具有形式（10）趋势的序列称为二阶orI（2）的积分；没有随机趋势且平稳的序列称为零阶积分，或I（0）。I（1）和I（2）术语中的积分顺序是序列需要差分的次数，以使其达到最佳平稳。如果是I（2），那么Ytis I（1），所以它是一个等于1的自回归根。然而，如果Ytis I（1），那么它静止不动。因此，零假设是Ytis I（2）可以通过测试Ytis I（1）是否作为单位自回归根。有时，两个或多个序列具有相同的随机趋势。在这种被称为协整的特殊情况下，回归分析可以揭示时间序列变量之间的长期关系。可以认为两个过程I（1）的线性组合就是一个过程I（1）。然而，这并不总是正确的。两个或两个以上具有共同随机趋势的序列称为协整序列。假设Xt和Yt是一阶积分。如果，对于某些系数θ，Yt- θx是零阶积分，则x和y称为协整系数，系数θ称为协整系数。如果XT和Yt是协整的，那么它们有一个共同的随机趋势，可以通过计算Yt的差值来消除- θXt，它消除了这种常见的随机趋势。有三种方法可以决定是否可以利用协整方法对两个变量进行合理建模，即通过专家知识和经济理论，通过对序列的定性（图形）分析检查常见的随机趋势，以及通过对协整进行统计测试。