快速还是持久？需要变通能力的战略投资

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英文标题：
《Quick or Persistent? Strategic Investment Demanding Versatility》
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作者：
Jan-Henrik Steg and Jacco Thijssen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we analyse a dynamic model of investment under uncertainty in a duopoly, in which each firm has an option to switch from the present market to a new market. We construct a subgame perfect equilibrium in mixed strategies and show that both preemption and attrition can occur along typical equilibrium paths. In order to determine the attrition region a two-dimensional constrained optimal stopping problem needs to be solved, for which we characterize the non-trivial stopping boundary in the state space. We explicitly determine Markovian equilibrium stopping rates in the attrition region and show that there is always a positive probability of eventual preemption, contrasting the deterministic version of the model. A simulation-based numerical example illustrates the model and shows the relative likelihoods of investment taking place in attrition and preemption regions.
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中文摘要：
本文分析了双寡头垄断中不确定性投资的动态模型，其中每个企业都有从当前市场切换到新市场的选择权。我们构造了混合策略下的子博弈完美均衡，并证明了抢占和消耗都可以沿着典型的均衡路径发生。为了确定磨损区域，需要求解二维约束最优停止问题，我们在状态空间中刻画了非平凡停止边界。我们明确地确定了消耗区的马尔可夫均衡停止率，并证明了最终抢占的概率始终为正，这与模型的确定性版本形成了对比。一个基于模拟的数值例子说明了该模型，并显示了在消耗和抢占区域发生投资的相对可能性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：战略投资 Quantitative Differential Optimization Applications

快速还是持久？战略投资需求多功能性Jan Henrik Steg*Jacco Thijssen+摘要在本文中，我们分析了双寡头垄断中不确定性投资的动态模型，其中每家公司都可以选择从现有市场切换到新市场。我们在混合策略下构造了一个子博弈完美均衡，并证明了在典型的均衡路径上，自由和消耗都可以发生。为了确定磨损区域，需要解决一个二维约束最优停止问题，为此我们在状态空间中刻画了非平凡停止边界。我们明确地确定了消耗区的马尔可夫平衡停止速率，并证明了最终抢占的概率始终为正，这与模型的确定版本形成了对比。一个基于模拟的数值例子说明了该模型，并显示了在消耗和抢占区域发生投资的相对可能性。关键词：随机时间博弈，期权，消耗战，实物期权，马尔科夫均衡，二维最优停止。JEL主题分类：C61、C73、D21、D43、L13MSC2010主题分类：60G40、91A25、9 1A55、91 A601简介考虑以下听起来无害的投资问题，涉及两个在城镇经营类似特许经营权的合作商店。每个企业的竞争力都受到一些随机过程的影响，代表着需求、成本等变化的不确定性。每个企业都可以选择通过切换到竞争对手的特许经营权来进行产品差异化。

如果有的话，什么时候应该有固定交换机专营权？这种经济状况是一个非常基本的例子。*比勒费尔德大学数学经济学中心，德国比勒费尔德Postfach 10 01 31 33501。jsteg@uni-比勒菲尔德。de+约克大学约克管理学院，英国约克州赫灵顿弗雷博伊斯巷，约克YO10 5GD。杰科。thijssen@york.ac.ukThis这是一个游戏，因为一家公司的行为对另一家公司有影响，如果一家公司切换，另一家公司将成为原始特许经营中的（本地）垄断者。在有关计时游戏的文献中，通常区分消耗战和抢占战，这两种战争分别源于具有后发优势或先发优势的情况。在具有先发优势的游戏中，由于害怕被其他玩家抢先，玩家面临着比最佳状态更快行动的压力。Fudenberg和Tir ole（1985）的经典分析表明，成为领导者的先发优势被先发制人所消散，导致租金均衡，因为两家公司都获得了预期的后发或跟随者报酬。在具有第二移动优势的游戏中，情况完全不同，因为在这种游戏中，每个玩家都希望另一个玩家先移动。如亨德里克斯等人（1988）所示，这可能导致参与者承担等待不平衡的一些成本。例如，在产业组织文献中，时间博弈被用来解释处理技术采用（Fudenberg and Tirole，1985年）、双寡头企业退出决策（Fudenberg and Tirole，1986年）和专利追踪（Reinganu m，1982年）等问题的大量现象。

在不确定条件下投资的实物期权理论发展的相对早期，人们认识到实物期权不同于其金融机构，在理论上是非排他性的，因此需要一种博弈论方法。本文中的许多贡献都集中于分析具有先发优势的市场。关于具有后动优势的博弈论实物期权模型的文献并不成熟，Hoppe（2000）和Murto（2004）是显著的例外。在本文中，我们想考虑双寡头垄断，其中消耗和抢占都会发生，这取决于市场环境的演化，并为此类博弈构造一个子博弈完美均衡。正是在这样一个模型中，随机模型与确定性模型的真正力量变得清晰起来。通常，在具有先发优势或后发优势的模型中，无论该模型是确定性的还是随机的，在均衡状态下会发生什么都是先验的：先发优势下的抢占和后发优势下的消耗。只是时机不同：平均而言，投资在随机模型中发生得较晚。然而，在许多现实情况下，尚不清楚一个市场是否会发展为具有先发优势或后发优势的市场。在这种情况下，人们不得不求助于随机模型。回到公司特许经营的例子，任何一家公司的转换都会以两种方式改变公司的稳定性：（i）市场结构发生变化；（ii）新特许经营下的随机冲击遵循不同的过程。这里的经济冲突是指每家公司通过切换到另一家公司而对其竞争对手产生的影响。如果只有一家公司切换，那么每家公司都将在各自的市场中作为垄断者运营。

这对两家公司都有好处，但对不转换的公司来说可能最好，因为它确实是一个非详尽的贡献列表，包括斯梅茨（1991）、惠斯曼和科特（1999）、蒂森等人（2012）、韦兹（2002）、博耶等人（2004）、帕夫利纳和科特（2006）。在ChevalierIgnant和Trigeorgis（2011年）以及Azevedo和Paxson（2014年）中可以找到广泛的调查。不包括沉没成本。这可能会导致一场消耗战，也就是说，在这种情况下，每一家公司都可以选择自己的女巫，但每一家公司都希望另一家公司这样做。另一方面，如果新市场的竞争力高于当前市场，但又不足以在新市场中形成双寡头垄断，则可能会出现先发制人的情况。在这种情况下，企业可能会在最佳切换之前尝试切换。我们开发的模型的新颖之处在于，它可以同时处理消耗和抢占。我们通过使用二维状态空间来实现这一点，大致相当于两个市场中每一个市场的稳定性。在均衡状态下，该状态空间将有效地分为三个区域：一个双方都试图抢先的抢先区域，一个每个企业都希望其竞争对手投资的消耗区域，以及一个双方都不采取行动的延续区域。沿着示例路径，可能会发生以下情况。如果州ZF进入优先购买区，那么至少有一家公司会立即投资。如果国家通过消耗区，每个企业都会以一定的速度（消耗率）进行投资，直到抢占区被击中，或者消耗区被留在延续区。在后者内部，除非抢占区域被直接命中，或者攻击区域（再次）被命中，否则不会发生任何事情。这种模式的丰富性确实带来了一些技术挑战。

首先，在具有后动优势的制度中，纯战略均衡的回报通常是不对称的，每个企业都倾向于成为跟随者。因此，确定角色是一个（承诺）问题。通过考虑混合策略，我们可以让企业与众不同。然而，在不确定的情况下，混合发生的磨损区域可以进入并在dom中重复。尽管如此，我们还是在小时间间隔（所谓的损耗率）内获得了马尔可夫概率最高的均衡，而确定性模型通常包含一些关于支付的简化平滑假设。在后一种情况下，游戏的发展不仅完全可以预测，而且“缓慢”。因此，当第二者优势消失时，当抢占区域附近的损耗率变得无界时，在到达抢占区域之前停止。相比之下，在我们更快的随机动力学中，p重新出现的概率总是正的。另一个重要问题涉及领导者和追随者角色的价值功能。沿着一条示例路径，一旦进入抢占区域，游戏肯定会结束。这个结果在福登堡和蒂尔·奥莱（1985）对决定论先发制人博弈的分析中就已经知道了。在我们的论文中，子博弈完美导致了类似的均衡行为。因此，企业事先知道，一旦抢占区域第一次被击中，游戏就会“结束”。这意味着，企业在消耗区域选择战略时必须考虑到这一点。正如我们将看到的，在关节面，这对磨损区域本身有影响。确定这个区域需要解决一个真正的二维约束最优停止问题。

目前还没有已知的通用技术来解决此类问题（我们的问题不能像最优停止文献中考虑的一些模型那样转化为一维问题），但我们能够非常显著地表明，我们的模型具有足够的结构来充分描述磨损和抢占区域。最后，我们提出了一种基于仿真的方法对模型进行数值分析。该模拟显示，对于延续区域中的特定起点，许多采样路径实际上通过消耗区域到达抢占区域。这表明我们关于随机模型和确定性模型的结果在经济上是重要的。论文的结构如下。在第2节中，我们提出了一个市场的随机动态模型，在该模型中，第一和第二移动优势都可以出现。在第3节中，我们以非正式的方式描述了论文的结果。第4节对计时游戏进行了正式定义、分析和详细讨论。特别是在第4.4节中，我们在混合（马尔可夫）策略中构造了一个子博弈完美均衡。该构造的一个重要部分是解决第4.3节中的约束最优停止问题。第5节给出了一个数字样本，我们用它来讨论我们结果的经济内容，在第6节中，我们将s-ToCastic分析与其确定性版本进行了对比。最后，第7节给出了一些结论性的标记。2.具有先发优势和后发优势的模式：双寡头公司中的产品差异——两家生产同质商品的公司。例如，这两家公司可能是在一个镇上经营类似特许经营权的两家合作商店。每个企业的稳定性都受到一些随机过程的影响。每家公司都可以选择进行产品差异化，并切换到不同的特许经营B。这种切换涉及一些成本（例如翻新）。

为了让事情更具体，假设当企业经营相同的特许经营权时，伯特兰竞争意味着两家企业都没有利润。然而，如果企业经营不同的特许经营权，两家企业都可以被视为各自市场的垄断者，他们将获得一些利润流。fr锚定A和B中的垄断利润由过程X=（Xt）t给出≥0和Y=（Y）t≥分别为0，而在这两个专营权中都没有双头垄断优势。切换I>0的代价是未知的。为了完整性，我们考虑了c、CAA和cB分别表示的转换前后的一些额外运行成本，但这些没有质量影响，也可能被忽略。根据X和Y两家垄断公司的净现值以及转换的总成本，在任何时候，转换到新的市场、成为当前市场的垄断者或保持双头垄断都可能更有利。为了得到一些明确的结果，我们假设X和Y是几何布朗运动，特别是随机微分方程组的唯一解dxx=uXdt+σXdBXanddYY=uYdt+σYdBY（2.1），具有给定的初始值（X，Y）=（X，Y）∈ R+。BX和BY是可能与系数ρ相关的布朗运动，而uX、uY、σX和σY是一些常数，分别代表我们的专业过程X和Y的增长率的漂移和波动。我们假设σX、σY>0和|ρ|<1，以排除需要分离处理的潜在简并（第6节考虑了σX=σY=0的情况）。

我们还假设利润以普通且恒定的比率r>max（0，uX，uY）贴现，以确保后续支付过程和后续停止问题的确定值。在前面的讨论之后，基本薪酬现在可以通过过程SL、F和M来确定，它代表了（第一次也是唯一一次）转换为（i）一家单独转换并成为领导者的公司，（ii）一家保留并成为追随者的公司，以及（iii）一家分别与另一家同时转换的公司时的预期薪酬。随时≥ 0这些进程的值为lt:=-中兴通讯-rscds+EZ∞te-rs（Y）- cB）ds英尺- E-rtI=-cr+e-rtYtr- uY-cB- 铬- 我:= L（t，Yt），Ft:=-中兴通讯-rscds+EZ∞te-rs（Xs）- cA）ds英尺= -cr+e-rtXtr- uX-cA- 铬:= F（t，Xt）（2.2）和mt:=-Z∞E-RSCD- E-rtI=-铬- E-rtI。请注意，这些过程是连续的，因为它们各自由基础连续过程X和Y的连续函数表示。通过这些马尔可夫表示，我们还可以在任何停止时间评估支付过程，在该停止时间，开关可能发生，以获得正确的支付过程。所有支付过程都进一步限定在（e-rtXt）由可积随机变量限定。实际上，对于σX>0，我们有supte-rtXt=XeσXz，Z=suptBXt-t（r）-uX+σX/2）/σX，与速率2（r）呈指数分布-uX）/σX+σX（参见Revuz和Yor（1999），练习（3.12）4o). 因此，E[supte-rtXt]=X（1+σX/2（r）- uX）∈ R+，意味着（e-rtXt）属于（D）类；与σX<0和Y类似。如果切换发生在停止时间τ，则必须在τ处取条件期望，以确定适当的支付τ，例如，这通常不需要与一系列条件可积随机变量（cf）完全一致。

注3，它们会聚到-c/r=：L∞作为t→ ∞.我们假设只有一家公司可以切换，特别是（c- cA）/r+I≥ 0确保F≥ M，并且转换的单个企业的相对资本化总成本为非负，即（cB）- cA）/r+I≥ 0.当L>F时，企业将试图在s切换到特许经营权B时抢先，这是i ff（X，Y）的情况∈ P:=n（x，y）∈ R+y>（r）- uY）xr- uX+cB- 汽车+Io、 因此，我们称P为进程（X，Y）的状态空间R+的抢占区域。当F>L时，如果发生切换，每个公司都会选择留下来，这可能会引发一场消耗战。我们将把这种战略冲突建模为一种时机博弈。3结果的非正式预览在这一阶段，非正式地分析模型并预测随后的均衡结构是有益的。首先，根据抢占游戏的文献，我们的游戏必须在P集被击中后立即结束。然而，要对这种先占结果进行建模，仅将随时间变化的分布函数视为（混合）策略是不够的。由于连续时间内没有“下一个时期”，因此必须使两家公司都能立即进行投资，但至少部分避免同时进行投资，尤其是在P的边界上，在P的边界上，它们仍然是不同的。我们遵循Fu denberg和T irole（1985）的内生方法，通过“强度”αi增强策略∈ [0,1]这决定了当两家公司试图同时投资时的结果，就像在一场完全重复的抢美元游戏中一样。抢先投资的公司。如果企业j以平稳概率αj>0进行抓取，则企业可以通过从不抓取获得跟随者报酬F，以及αjM+（1）- αj）L，概率为1。