无模型超边缘对偶

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英文标题：
《Model-free Superhedging Duality》
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作者：
Matteo Burzoni, Marco Frittelli, Marco Maggis
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In a model free discrete time financial market, we prove the superhedging duality theorem, where trading is allowed with dynamic and semi-static strategies. We also show that the initial cost of the cheapest portfolio that dominates a contingent claim on every possible path $\\omega \\in \\Omega$, might be strictly greater than the upper bound of the no-arbitrage prices. We therefore characterize the subset of trajectories on which this duality gap disappears and prove that it is an analytic set.
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中文摘要：
在一个无模型的离散时间金融市场中，我们证明了超边缘对偶定理，其中允许使用动态和半静态策略进行交易。我们还表明，在每一条可能路径$\\omega\\in\\omega$上支配未定权益的最便宜投资组合的初始成本可能严格大于无套利价格的上限。因此，我们刻画了这个对偶间隙消失的轨迹子集，并证明它是一个解析集。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Model-free_Superhedging_Duality.pdf (297.92 KB)

2022-5-8 10:02:38 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV Mathematic

无模型超边缘双重材料Burzoni、Marco Frittelli、Marco Maggis*2016年5月3日在一个无模型离散时间金融市场中，我们证明了超边缘对偶定理，其中允许使用动态和半静态策略进行交易。我们还证明了在所有可能路径上支配未定权益的最便宜投资组合的初始成本ω∈ Ohm, 可能严格大于无套利价格的上限。因此，我们预测了这个对偶缺口消失的轨迹子集，并证明了它是一个解析集。关键词：超边缘定理，模型独立市场，模型不确定性，鲁棒对偶，有限支持鞅测度，解析集。理学硕士（2010）：60B05、60G42、28A05、28B20、46A20、91B70、91B24。1简介本文的目的是证明以下与模型无关的离散时间超套期保值定理。定理1.1（超边缘）。让g：Ohm 7.→ R是一个F-可测的随机变量。然后{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T≥ gm-q.s.}=inf{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm*}= supQ∈MfEQ[g]=supQ∈MEQ[g]，在哪里Ohm*:= {ω ∈ Ohm | Q∈ mst.Q（ω）>0}。

（1） 我们采用以下设置和符号：letOhm 是一个抛光空间，F=B(Ohm) 是Borel-sigma代数；T∈ N、 I:={0，…，T}，S=（St）T∈上的Rd值随机过程(Ohm, F） 代表d的价格过程∈ N资产；P是所有概率测度的集合(Ohm, F） )；FS:={FSt}t∈Ibe自然过滤和F:={Ft}t∈Ibe通用过滤，名称为ft:=\\P∈PFSt∨NPt，其中NPt={N A.∈ FSt | P（A）=0}；*电子邮件：matteo。burzoni@unimi.it，马可。frittelli@unimi.it，马可。maggis@unimi.itH是一类F-可预测的随机过程，其值以Rd表示，代表允许交易策略家族；（H·S）T:=PTt=1Pdj=1Hjt（Sjt）-Sjt-1） =PTt=1Ht·从采用策略H投资S到时间T的收益。我们表示M:={Q∈ P | S是Q}下的F-鞅，Pf:={Q∈ P | supp（Q）是有限的，Mf:=M∩ Pf，P的支持∈ P由supp（P）=T{C定义∈ F | C闭，P（C）=1}。M-极集合的族由N:={N给出 A.∈ F | Q（A）=0Q∈ M} 如果一个属性在极集合外成立，则称其为准肯定（q.s.）。我们通过了公约∞-∞ = -∞ 对于正负部分不可积的随机变量g。我们还假设所有t都存在一个计价资产St=1∈ I.无概率设置。在超边缘定理的陈述中，没有提及任何先验赋值的概率测度和M、H和H的概念Ohm*只取决于可测量的空间(Ohm, F） 价格过程S。一般来说，M类不占主导地位。我们没有对S施加任何限制，以便它可以描述通用金融证券（例如，股票和/或期权）。然而，在定理1.1的框架内，Hof类可容许交易策略要求所有资产进行动态交易。

在下面的定理1.2中，我们将这种设置扩展到在有限数量的期权上进行半静态交易的情况。如第4节所示，我们明确地表明，在每个可能路径上，支配未定权益g的最便宜投资组合的初始成本{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm} （2） 可以严格大于supQ∈MEQ[g]，除非对g或市场施加了一些艺术假设。为了避免对导数类的这些限制，选择正确的路径集（即。Ohm*) 可以有效地使用超边缘策略的地方。在片场Ohm*. 在定理1.1中，（2）中的路径模型无关不等式被替换为仅涉及ω的不等式∈ Ohm 它们至少由一个鞅测度Q加权∈ M.在[BFM16]（另见命题3.1）中，证明了极大极集N的存在性*, 即一组N*∈ N包含任何其他集合N∈ N.此外Ohm*= （N）*)C.（3）不等式x+（H·S）T≥ gm-q.s.通过定义在任何M-极集合之外而成立，因此，由于（3），它等价于不等式x+（H·s）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm*, 这正好证明了定理1.1中的第一个等式。布景Ohm*可以通过一组具有有限支持度的鞅测度等价地确定（见命题3.1），这一性质被证明是几个证明的关键。我们强调，我们不会对离散时间财务模型做出任何特别假设，并注意到Ohm*只由S决定：事实上，集合M也可以写成M=Q∈ P | S是Q下的FS鞅.

本文的主要技术成果之一是该装置的可靠性Ohm*是一个分析集（命题5.5），因此我们的发现表明，研究这个问题的自然设置是(Ohm, S、 F，H）表示通用过滤（包含分析集），H表示可预测过程。我们还指出，我们可以用FSt分析集生成的子西格玛代数替换任何西格玛代数。关于模型独立套利和M 6=. 如果M= 然后Ohm*=  这个定理很简单，因为定理1.1等式中的每一项都等于-∞,前提是当M=.因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设M 6=, 回想一下，这个条件可以在没有模型独立套利的情况下重新制定。独立套利模型包含一个交易策略H∈ H使得（H·S）T（ω）>0ω ∈ Ohm. 然而，如[BFM16]所示，无模型独立的H-套利不足以保证M 6=.事实上，我们需要更强的无模型独立套利条件，这是一类更广泛的F可预测随机过程，适用于适当的扩大过滤。因此，定理1.1中的非平凡陈述（即当M 6=) 关于无模型独立套利下的超边缘对偶。1.1期权和股票的半静态策略。我们现在考虑了在有限数量的期权中进行静态交易的可能性。让我们在前面的市场上加上Φ=（φ，…，φk）期权，它在时间T到期，并假设在不损失一般性的情况下，它们的初始成本为零。我们假设每个φjis是一个F-可测的随机变量。

定义hΦ：=Pkj=1hjφj，h∈ Rk，andMΦ：={Q∈ Mf | EQ[φj]=0j=1。。。，k} ={Q∈ Mf | EQ[hΦ]=0H∈ Rk}，（4）哪些是期权调整鞅测度，以及OhmΦ:= {ω ∈ Ohm | Q∈ MΦs.t.Q（ω）>0} Ohm*. （5） 我们对每个Q都有定义∈ MΦ支持满足支持（Q） OhmΦ. 当πΦ（g）：=inf允许半静态策略时，我们定义了超级套期保值价格十、∈ R|（H，H）∈ H×Rk等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ.（6） 利用定理1.1证明中使用的相同方法，我们将在第5.3节中，在假设MΦ={Q的情况下，获得半静态策略的超边对偶∈ Mf | supp（Q）OhmΦ}：定理1.2（带期权的超级套期保值）。让g：Ohm 7.→ R和φj：Ohm 7.→ R、 j=1。。。，k、 可测随机变量。那么πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]。我们要感谢J.Ob loj和Z.Hou指出，这个假设对于定理1.2证明中使用的论点是必要的。我们将在即将发表的一篇论文（与J.Ob loj和Z.Hou合著）中表明，结果完全符合普遍性，放弃了这一假设。1.2与相关文献的比较。在参考概率固定的经典案例中，该课题最初由ElKaroui和Quenez[KQ95]研究；另见[Ka97]和[DS94]以及其中引用的参考文献。在[BN15]中，一个超边定理被证明是在一类非支配的priorsP′的情况下 结果强烈依赖于两个技术假设：（i）状态空间Ohm 有产品结构，Ohm = OhmT、 在哪里Ohm是一个固定的抛光空间和Ohm这是t型折叠产品空间；（ii）先验集P′也作为乘积测度P:=P的集合获得. . .其中，每个PTI都是某个随机类P′t的可测选择器 P(Ohm). P′t（ω）表示第t周期的一组可能模型，给定时间t的状态ω。

P′的一个基本要求是图（P′t）必须是Ohmt×P(Ohm). 这些假设对于应用可测选择和随机控制参数至关重要，这些参数导致了超边缘定理的证明。在我们的环境中，我们不会对状态空间施加限制Ohm 因此，对于P′=M，结果不能从[BN15]推导出来。此外，即使在Ohm = OhmT、 鞅概率测度M的类别是由市场内生决定的，我们不要求它满足任何额外的限制。此外，用于推导我们版本的超边缘对偶定理的技术完全不同，因为它们依赖于[BFM16]的结果。注意，在特定的简单情况下Ohm := （Rd）通过[BFM16]中的规范过程，我们得到了Ohm*= Ohm 而且也没有M极集合。因此，我们得到了P-q.s.和M-q.s.等式之间的等价性。[BN15]的超边缘定理可以应用于P′=P，这两个结果是一致的。关于这一主题的文献越来越多，揭示了在没有任何先验特定概率测量集的情况下，超边缘问题的相关性。继[Ho98]关于稳健套期保值的开创性工作之后，该问题被研究为Skorokhod嵌入问题的一个特例（见[BHR01，CO11，Ho11]）。在最佳质量传输的框架下，对超边缘对偶性的重新表述在离散时间和连续时间内都产生了重要结果，如[BHLP13、DS13、DS15、GHLT14、HL0ST16、OH15、TT13]。[AB16，Ri15]中采用了不同的方法。在【Ri15】中，资产的连续性假设允许将问题嵌入线性规划框架中，并在单周期市场中获得所需的质量。

在[AB16]中，从资产定价基本原理的一个独立于模型的版本中，他们推导出了以下超边缘对偶性（定理1.4[AB16]）十、∈ R|（H，H）∈ H×Rks。t、 x+（H·S）t（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm= supQ∈MΦEQ[g]。（7） 他们假设一个离散时间市场，在路径空间上有一维正则过程Ohm = [0, ∞)Tand可用于静态交易的任意（但非空）期权集。[AB16]中的定理1.4依赖于两个额外的技术假设：（i）存在一个具有超线性增长和凸支付的选项；（ii）索赔的上半连续性。第4节中的例子表明，如果没有权利要求g的上半连续性，第（7）节中的二次性就失败了，它还指出，这是因为在整个空间上坚持超边缘化Ohm, 而不是通过相关的路径集Ohm*. 我们的结果适用于D维（不一定是规范的）过程，并且不需要存在任何选项。2聚合结果在本节中，我们研究当某些条件（如超边际或对冲）对所有Q∈ M、 确保上相应路径条件的有效性Ohm*.对于任意sigma代数G和G-可测随机变量X和Y，如果所有ω的X（ω）>Y（ω），我们写ex>Y∈ Ohm. 当我们在一个可测量的集合上指定X>Y时 Ohm 这意味着X（ω）>Y（ω）适用于所有ω∈ A.X也是如此≥ Y和X=Y。我们回顾了经典套利机会的缺失，关于概率P∈ P、 用na（P）表示。

我们开始(Ohm, G） ：={f:Ohm → R | G-可测}，L(Ohm, G） +：={f∈ L(Ohm, G） |f≥ 0}.初始成本为零的可达到随机支付的线性空间由k:={（H·s）T给出∈ L(Ohm, F） |H∈ H} 。回想一下，支持鞅测度的事件集Ohm*定义在（1）中，并观察凸圆锥：={f∈ L(Ohm, F） |F≤ 继续Ohm*为了一些k∈ K} ，（8）C（Q）：={f∈ L(Ohm, F） |F≤ k Q-a.s.对于一些k∈ K} 。（9） 都是通过C关联的 C（Q），如果Q∈ M.主要定理1.1依赖于以下基石命题，该命题将在第5节中得到证明，因为其证明需要几个技术参数。2.1的提议。让g∈ L(Ohm, F） 定义π*（g） ：=inf{x∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t≥ 继续Ohm*} （10） πQ（g）：=inf{x∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t≥ g Q-a.s.}。（11） 然后π*（g） =supQ∈MfπQ（g）（12）C=\\Q∈MfC（Q）。（13） 特别是，如果π*（g） <+∞ 最低限额为最低限额。推论2.2。让g∈ L(Ohm, F） 还有x∈ R.如果每个Q∈ 有总部吗∈ H使得x+（HQ·S）T≥ GQ-a.s.然后存在H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）对于每个ω∈ Ohm*.证据假设g- 十、∈ C（Q）对于每个Q∈ Mf。从C=TQ∈MfC（Q）我们得到- 十、∈ C.推论2.3（完美对冲）。让g∈ L(Ohm, F） 。如果每个Q∈ 有总部吗∈H、 xQ∈ 使得xQ+（HQ·S）T=gq-a.S，那么就存在H∈ H、 x∈ 每ωx+（H·S）T（ω）=g（ω）∈ Ohm*, 对于每个Q，xQ=x∈ Mf。证据首先请注意，根据假设，对于每个Q∈ 有总部吗∈ H、 xQ∈ 对于每一个ω，xQ+（HQ·S）T（ω）=g（ω）∈ 补充（Q）。我们首先证明xqd不依赖于q。假设存在Q，Q∈ 使xQ<xQ。每λ∈ （0,1）设置Qλ：=λQ+（1）-λ） Q∈ Mf。然后存在HQλ∈ H和xQλ∈ R使得每个ω的xQλ+（HQλ·S）T（ω）=g（ω）∈ supp（Qλ）=supp（Q）∪ 补充（Q）。

因此，对于每个ω，xQλ+（HQλ·S）T（ω）=g（ω）∈ supp（Qi），对于任何i=1，2，和NA（Qi），我们必须有xQλ=xi。因为每个ω的x+（HQ·S）T（ω）=g（ω）∈ 补充（Q）我们可以应用推论2.2，这意味着H的存在∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）onOhm*. 此外，x-x+（（H）-HQ）·S）T（ω）≥g（ω）- g（ω）对于每个ω∈ supp（Q）表示（（H）- HQ）·S）T（ω）≥ 每ω0∈ 补充（Q）。SinceNA（Q）持有，我们得出结论（（H）-HQ）·S）T（ω）=每ω0∈ 补充（Q）。因此对于每一个Q∈ Mfwe在supp（Q）上有x+（H·S）T（ω）=g（ω），因此本文遵循命题4.18[BFM16]（或命题3.1）。推论2.4（两极表征）。让C在（8）中定义。ThenC={g∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0Q∈ Mf}（14）证明。显然是C {g∈ L(Ohm, F） | ER[g]≤ 0R∈ Mf}=:eC。修正Q∈ 注意(Ohm, F、 Q）≡ L(Ohm, F、 Q）≡ L∞(Ohm, F、 Q），分别表示Q-a.s.有限、Q-可积和Q-a.s.有界F-可测随机变量在Ohm. 对于g∈ L(Ohm, F） 我们用大写字母G表示相应的等价类G∈ L(Ohm, F、 Q）。也用L表示+(Ohm, F、 Q）L的Q-a.s.非负元素(Ohm, F、 Q）。K和C（Q）相对于Q-a.s.识别的商~Qare分别用kq表示：={K∈ L(Ohm, F、 Q）| K=（H·S）TQ- a、 s.，H∈ H} ，CQ:={G∈ L(Ohm, F、 Q）|K∈ KQsuch那G≤ K Q- a、 s.}=KQ- L+(Ohm, F、 Q）。现在我们可以遵循经典论点：凸锥CQ相对于Q是概率闭合的（参见[KS01]定理1）。作为Q∈ Mf，CQ也在L关闭(Ohm, F、 Q）因此：（CQ）={Z∈ L∞(Ohm, F、 Q）| E[ZG]≤ 0G∈ CQ} L∞(Ohm, F、 Q）∩ L+(Ohm, F、 Q）。注意，R<< Q和R∈ Mfif且仅当R<< Q和DRDQ∈ （CQ）。因此：（CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| E[ZG]≤ 0Z∈ （CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| ER[G]≤ 0R<< Q s.t.dRdQ∈ （CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| ER[G]≤ 0R<< Q s.t.R∈ Mf（15） 让g∈欧共体。