VIX的双跳随机波动率模型：来自VVIX的证据

SV和SVJ模型的残差明显大于SVJJ-C和SVJJ-S模型。接下来我们来看SVJJ-C和SVJJ-S模型。如上所述，这两个模型的波动过程残差表现优于SV和SVJ模型。这显示了跳跃对波动性的影响。图8描述了SVJ、SVJJ-C和SVJJ-S模型的估计每日跳跃概率。显然，随着波动率的增加，波动发生的频率会更高。我们还记得，对于无跳跃发生的SVJ模型，跳跃时间主要由VIX指数的信息决定。在SVJJ-C和SVJJ-S模型中，我们使用VIX和波动率（VVIX）的信息或信号对跳跃时间进行采样。由于我们假设波动率指数及其波动系数的跳跃由相同的泊松过程决定，波动率的大幅跳跃可能会提高跳跃概率。这意味着，波动率不仅会跳跃，而且比波动率指数跳得更厉害。回到图4，SVJJ-C和SVJJS的底部面板比上部面板表现更好，这表明波动率的跳跃也会对VIX的动态产生影响。影响通道可以是高阶矩或极值，如表3所示。与短暂的布朗运动冲击不同，波动性跳跃的影响更持久。在正跳或负跳之后，波动性进入一个新的状态。作为波动率指数的一部分，其影响将持续一段时间。判断某一天波动率是否存在跳跃的一个简单的经验方法是比较一段时间的VIX数据在该天前后的波动。例如，2007年2月27日，波动率指数从11跳升。15至18.31。在这一天之前的很长一段时间里，VIX看起来非常平静，变化非常小，停留在11点左右。

然而，在这一转折点之后，波动率指数变得更加波动，大幅上升或下降的发生频率也更高，在接下来的20天内波动率在12.19到19.63之间。事实上，2月27日，VVIX指数也从70.33跳至110。42.如果我们计算当天前后20天的VVIX指数平均值，结果分别为72.54和96.55。这表明波动率已经从原来的状态变为一个新的更高的状态，从而使VIX指数更加活跃。这种影响不能通过对波动性的单一布朗冲击来实现，而应该由跳跃引起。因此，SVJ模型在实证观察中也存在误判。图9分别描述了SVJJ-C和SVJJ-S模型的波动率跳跃。在SVJJ-S模型中，跳跃大小几乎是正的，只有一个大的负跳跃。在均值回复特性下，波动性在一个大的正跳之后通过负布朗更新降低到其平均水平。这也表明积极跳跃的影响可能是持久和显著的。从图8中，我们观察到，对于SVJJ-C模型，跳跃时间是聚集的。在跳跃强度不变的假设下，这是极不可能的。我们还可以从表2中看出，SVJJ-S模型中λ的估计值显著高于零。这些事实表明SVJJ-S模型优于SVJJ-C模型，更准确地描述了VIX的动力学。当随机波动率ω（t）进入相对较高的区域时，会发生更多的跳跃，并影响波动率指数的动力学。8结论本文从VVIX的信息讨论了VIX随机波动模型的模型规格。我们以VVIX指数为基准构建了VIX的波动率代理，并从实证观察的角度研究了它对改进VIX模型假设的作用。

基于VIX和VVIX的联合行为，我们提出了VIX的双跳随机波动模型。我们使用MCMC方法，使用VIX和VVIX的每日数据来估计和比较不同的测试模型。基于此，我们指出波动率和波动率的跳跃是必要的，并且具有统计学意义，并分析了跳跃对波动率动力学的影响。我们证明了跳跃强度的随机性和状态依赖性。VVIX的使用带来了一些Q参数的估计。与VIX期货和期权组成的更丰富数据集相比，这些参数的准确性有进一步提高的潜力。相应的风险溢价可以进一步规定。这将留待未来工作。附录：MCMC推断算法此处提供的物理测量P、跳跃时间和跳跃大小下参数的MCMC采样方法是标准的。我们的采样算法借鉴了Johannessand Polson（2003）、Kaeck和Alexander（2010）以及Amengual和Xiu（2012）。为了设置，P下过程的跳跃调整离散化如下所述：eYi= a+aY（我）-1)+ aω（i）-1)+pω（i）-1)易eωi= c+cω（i）-1)+ σωpω（i）-1)ωi式中a=κVθ, a=1- κV, a=-V, c=αω, c=1- κPω 安第伊=易- jyi镍, eωi= ωi- jωi镍. 我们的目标是估计P参数ΘP=κV，V，θ，κPω，uJPy，uJPω，σJω，ρ，σω和潜在变量, jyi和jωi, 2.≤ 我≤ T+1。A.

采样潜在变量oni的样本跳跃时间, i=2,3，·T，p（ni= 1 |X，ΘP，Y）=P易, ωi|Y（i）-1), ω（i）-1), 镍= 1，jy（i）-1), jω（i）-1), ΘP· P镍= 1 |ω（i）-1), Y（i）-1)Ps=0p易, ωi|Y（i）-1), ω（i）-1), 镍= s、 jy（i）-1), jω（i）-1), ΘP· P镍= s |ω（i）-1), Y（i）-1)p在哪里易, ωi|Y（i）-1), ω（i）-1), 镍= s、 jy（i）-1), jω（i）-1), ΘP是一个平均值为“a+aY（i）”的二元正态分布-1)+ aω（i）-1)+ s·jyic+cω（i）-1)+ s·jωi#协方差矩阵ω（i）-1)“1ρσωρσω#和p镍= 1 |ω（i）-1), Y（i）-1)=λ+λω（i）-1).对于n（T+1）,Pn（T+1）= 1 |X，ΘP，Y∝PY（T+1）|YT, ωT, n（T+1）= 1，jyT, jωT, ΘP· Pn（T+1）= 1 | YTPs=0pY（T+1）|YT, ωT, n（T+1）= s、 jyT, jωT, ΘP· Pn（T+1）= s|YTp在哪里Y（T+1）|YT, ωT, n（T+1）= s、 jyT, jωT, ΘP是一个平均值为a+aYT的单变量正态分布+aωT+s·jy（T+1）方差ωT 和pn（T+1）= 1 | YT=（λ+λωT）) . 因此，我们可以对镍进行取样对于i=2,3，·，T+1.·样本跳跃大小= 1，然后我们采样jωi使用NBA，A式中=σωω（i）-1)+（σJω）B=ωi- C- cω（i）-1)σω（i）-1)+uJPω（σJω）和样品jyi使用NBA，A式中=ω（i）-1)(1 - ρ) +σJyB=Yi- A.- 我-1)- aω（i）-1)-ρσωωi- C- cω（i）-1)- jωiω（i）-1)(1 - ρ) +u日元σJy当你= 0，jyi的后验分布和jωi与优先分配相同，即日元~ Nu日元，σJyJPω~NuJPω，σJω其中参数同时更新。因此，我们以jyi为例和jωi对于i=2，3，·，T+1。B

采样参数ΘP P下的参数集用ΘP表示=κV，V，θ，κPω，uJPy，uJPω，σJω，ρ，σωo 采样θ假设θ的先验值为N（μθ，σθ），我们使用θ采样后验值~ N（B/A，1/A），其中A=σθ+TXi=2κV(1 - ρ） ω（i）-1)B=μθσθ+κVTXi=2eYi- Y（i）-1)+ κVY（i）-1) + Vω（i）-1) - ρDipω（i）-1)(1 - ρ） ω（i）-1)o 采样κVasum先验值，以确定κVis NμκV，σκV, 我们用κV对后路进行取样~ N（B/A，1/A），其中A=σκV+TXi=2θ - Y（i）-1)(1 - ρ） ω（i）-1)B=μκVσκV+TXi=2哎呀- Y（i）-1)+ Vω（i）-1) - ρDipω（i）-1)θ - Y（i）-1)(1 - ρ） ω（i）-1)o 抽样调查与之前的调查结果一致V，V, 我们使用V对后部进行采样~ N（B/A，1/A），其中A=σV+TXi=2ω（i-1)1.- ρB=μκVσV-TXi=2哎呀- Y（i）-1)- κVθ - Y（i）-1) - ρDipω（i）-1)1.- ρo采样κPω假设κPω的先验为NμκPω，σκPω, 我们使用κPω对后部进行采样~ N（B/A，1/A），其中A=σκPω+TXi=1ω（i-1)(1 - ρ） σωB=μκPωσκPω-TXi=1eωi- ω（i）-1)- αω - σωρCipω（i）-1)(1 - ρ） σωo采样uJPy，uJPω，σJω假设这些参数的先验值为：uJPy~ Nμu日元，σu日元, uJPω~ NuJPω，σuJPω,σJω~ 因夫甘α*（σJω），α*（σJω）然后，我们使用uJPω对后部进行采样~ NσJωuJPω+σuJPωPTi=2jωi（σJω）+TσuJPω，T（σJω）+σuJPω！-0.5u日元~ NσJyuJPy+σuJPyPTi=2jyiσJy+ 日元σJy+我是JPy！-0.5σJω~ 因夫甘α*（σJω）+T，α*（σJω）+TXi=2jωi- uJPω!表1：汇总统计数据该表提供了2007年1月3日至2014年11月26日期间VIX和VVIX指数的汇总统计数据。平均波动率偏度峰度最小值MaxVIX 21.9101 10.3966 2.1241 5.7181 9.89 80.86VVIX 85.9204 12.8226 0.8289 1.0079 59.74 145.12表2:VIX参数估计该表显示了2007年1月3日至2014年11月26日使用VIX和VVIX指数数据对四个模型的参数估计结果。对于每个参数，我们给出后验概率的平均值和标准偏差。”SV”表示没有跳跃的扩散模型。

“SVJ”在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了VIX的跳跃，“SVJJ-C”在具有恒定跳跃强度的SV模型中添加了VIX的双跳跃及其波动性在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。SV SVJ-C SVJJ-C SVJJ SMean Stddev平均Stddev平均Stddev平均Stddev平均StddevκV1。0.7718-0.484 4 4.484 4 4.484 4 4.284 4.284 4.284 4 4.284 4.414.484 4.414.434 4.4300.414.4300.837 7.780 0.780 0.780 0.780 0.414.414.414.4 4.4.4 4.4.4.414.4.4.4 4.4.4.4.4.4.4 4.4.4.4.4.4.4304 4 4.4.4 4 4 4.4.4 4 4.4304.4.4 4 4 4 4 4 4.4308 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0.0.0.41418 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.41417683 0.7540 4.0781 0.7882 3.7938 0.7308ρ0.5392 0.0161 0.5596 0.0141 0.5204 0.01690.4998 0.0190σω0.8560 0.0724 0.8207 0.0117 0.8848 0.0853 0.8461 0.0372λ0.6550 0.0492 2.4295 0.1787 2.7557 0.1332λ1.6086 0.1262uJPy0。1593 0.0220 0.1999 0.0279 0.1551 0.0171uy-0.0520 0.0037-0.0556 0.0746-0.0960 0.0306σJy0。1075 0.0172 0.1121 0.0132 0.1231 0.0108uJPω0.1872 0.0226 0.1430 0 0.0239uω-2.0084 0.0882-1.2046 0.0547σJω0.1307 0.0165 0.1420 0.0161σP0。0599 0.0077 0.0592 0.0071 0.0563 0.0082 0.0612 0.0076表3：模拟结果该表报告了（19）计算的p值，用于不同模型的VIX模拟结果的所有统计数据。它描述了历史数据统计数据和每个给定模型的模拟路径的平均比较。极高或极低的p值表明模型无法捕捉VIX动态。”SV“表示没有跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了波动率的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中增加了波动率及其波动率的双跳跃。

“SVJJ-S”假设在SVJJ Cmodel中跳跃强度是随机的。vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.2614avgmin10-0.1671 0.3262 0.90690.7996 0.5826 perc0。01-0.13450.4271 0.8488 0.50050.6311 PERC0。05-0.0931 0.4504 0.4957 0.5048 0.62770。950.09280.56040.61820.82450.45810。99 0.1370 0.4478 0.0264 0.9379 0.1622该图显示了2007年1月3日至2014年11月26日的VIX和VVIX指数的时间序列。两者都是均值回复，VVIX在数值范围上显著高于VIX。图1:VIX和VVIX指数本图中的现货波动率是SVJ模型中logVIX的估计后验波动率，仅以VIX指数为数据源。它显示了这种波动率与同期VVIX指数的比较图2：VIX估计与VVIX的即期波动率。图显示了四种模型的后验波动率ω（t）的估计路径。所有这些都与VVIX指数高度相关。SV和SVJ模型的波动水平略高于SVJJ-C和SVJJ-S模型。”SV“表示没有跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了VIX的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中添加了VIX的双跳跃及其波动性。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图3：每个模型的VIX后验波动率。图中显示了使用（17）和估计参数作为输入的每个模型计算的残差的Q-Q图。

SVJJ-C和SVJJ-S模型的性能相对优于SV和SVJ模型。”SV“表示无跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了VIX的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中增加了VIX的双跳跃及其波动性。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图4：残差的Q-Q图。图中显示了标准创新的时间序列或VIX残差，使用（18）根据估计参数计算得出。”SV“表示没有跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了VIX的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中增加了VIX的双跳跃及其波动性。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图5:VIX残差图显示了VIX平均跳跃大小的时间序列。”SV“表示无跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入VIX的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中添加VIX的双跳跃及其波动性。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图6：波动率跳跃的后验平均值。图中显示了标准创新的时间序列或波动率波动率的残差，这些残差是根据使用的估计参数计算得出的。”SV“表示没有跳跃的扩散模型。”SVJ“在具有恒定跳跃强度的SV模型中引入了VIX的跳跃，”SVJJ-C“在具有恒定跳跃强度的SV模型中增加了VIX的双跳跃及其波动性。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图7：波动率剩余图显示了SVJ、SVJJ-C和SVJJ-S模型的估计跳跃概率。

“SVJ”引入波动率指数的跳跃，且跳跃强度不变，并使用平方根扩散模型对波动率进行建模，“SVJJ-C”引入波动率指数的双跳跃，且波动率指数的跳跃强度不变在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图8:SVJ、SVJJ-C和SVJJ-S模型的估计跳跃时间图显示了波动率指数波动中平均跳跃大小的时间序列。”SVJJ-C“引入波动率指数（VIX）的双跳及其波动率，且跳变强度不变。”在SVJJ-C模型中，“SVJJ-S”假设跳跃强度是随机的。图9:VIXReferencesAit Sahalia、Yacine、Mustafa Karaman和Loriano Mancini（2014）波动率跳跃的后验平均值，“方差互换和风险溢价的期限结构”，可从SSRN 2136820获得。Ait Sahalia，Yacine和Robert Kimmel（2007），“随机波动模型的最大似然估计”，《金融经济学杂志》，第83413-452卷。Amengual，Dante和Dacheng Xiu（2012），“深入研究风险溢价：标准普尔500指数和波动率指数衍生品的对账证据”，正在进行中。阿蒙夸尔、但丁和大成修（2014），“政策不确定性和波动性中的突发事件的解决”，芝加哥布斯研究论文。Bardgett、Chris、Elise Gourier和Markus Leippold（2013），“从标准普尔500指数和波动率指数市场推断波动率动态和风险溢价”，瑞士金融研究所研究论文。Barndor Off-Nielsen、Ole E和Almut ED Veraart（2013），“波动的随机波动性和方差风险溢价”，《金融计量经济学杂志》，第11卷，第1-46页。Bollerslev，Tim，Tzuo Hann Law和George Tauchen（2008），“风险、跳跃和多样化”，《计量经济学杂志》，第卷。

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