非平稳性对经验连接函数估计和建模的影响

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英文标题：
《Impact of non-stationarity on estimating and modeling empirical copulas
  of daily stock returns》
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作者：
Marcel Wollschl\\\"ager and Rudi Sch\\\"afer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  All too often measuring statistical dependencies between financial time series is reduced to a linear correlation coefficient. However this may not capture all facets of reality. We study empirical dependencies of daily stock returns by their pairwise copulas. Here we investigate particularly to which extent the non-stationarity of financial time series affects both the estimation and the modeling of empirical copulas. We estimate empirical copulas from the non-stationary, original return time series and stationary, locally normalized ones. Thereby we are able to explore the empirical dependence structure on two different scales: a global and a local one. Additionally the asymmetry of the empirical copulas is emphasized as a fundamental characteristic. We compare our empirical findings with a single Gaussian copula, with a correlation-weighted average of Gaussian copulas, with the K-copula directly addressing the non-stationarity of dependencies as a model parameter, and with the skewed Student\'s t-copula. The K-copula covers the empirical dependence structure on the local scale most adequately, whereas the skewed Student\'s t-copula best captures the asymmetry of the empirical copula on the global scale.
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中文摘要：
通常，金融时间序列之间的统计相关性被简化为线性相关系数。然而，这可能无法涵盖现实的所有方面。我们研究了股票日收益率的经验相关性。在这里，我们特别研究金融时间序列的非平稳性在多大程度上影响了经验连接函数的估计和建模。我们从非平稳的原始收益时间序列和平稳的局部归一化时间序列估计经验连接函数。因此，我们能够在两个不同的尺度上探索经验依赖结构：全球尺度和局部尺度。此外，经验连接的不对称性被强调为一个基本特征。我们将我们的实证结果与单个高斯copula、高斯copula的相关加权平均值、直接将依赖项的非平稳性作为模型参数的K-copula以及倾斜的Student t-copula进行比较。K-copula最充分地覆盖了局部尺度上的经验依赖结构，而倾斜学生的t-copula最能捕捉到全球尺度上经验copula的不对称性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Impact_of_non-stationarity_on_estimating_and_modeling_empirical_copulas_of_daily.pdf (4.26 MB)

2022-5-8 10:48:17 上传

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关键词：非平稳 平稳性 stationarity Quantitative Econophysics

非平稳性对dailystock Returns（马尔塞尔·沃尔斯奇拉）和R.Sch¨aferb）物理学院dailystock Returns（沃尔斯奇拉）和R.Sch¨aferb）经验连接函数估计和建模的影响德国杜伊斯堡大学埃森分校Lotharstrasse 147057杜伊斯堡。然而，这可能无法涵盖现实的所有方面。我们研究了每日股票收益率的经验相关性。在这里，我们特别研究了金融时间序列的非平稳性在多大程度上影响了经验连接函数的估计和建模。我们从非平稳的原始收益时间序列和平稳的局部归一化时间序列估计经验copula。因此，我们能够在两个不同的尺度上探索经验依赖结构：全球尺度和局部尺度。此外，经验连接词的不对称性被强调为一个基本特征。我们将我们的经验结果与单个高斯copula、高斯copula的相关加权平均值、直接将依赖项的非平稳性作为模型参数的K-copula以及Kewed Student的t-copula进行比较。K-copula最充分地覆盖了局部尺度上的经验依赖结构，而倾斜学生的t-copula最能捕捉到全球尺度上经验copula的不对称性。a） 电子邮件：marcel。wollschlaeger@uni-到期。deb）电子邮件：rudi。schaefer@uni-到期。de1。引言金融时间序列的经验相关性研究不仅对风险管理和投资组合优化很重要，而且是深入理解的前提。

通常的做法是将统计相关性的问题减少到皮尔逊相关系数的研究中；该指导中最著名的作品包括马科维茨（1952年）、马滕斯和潘（2001年）、佩尔蒂埃（2006年）、恩格尔和科拉西托（2006年）。然而，相关系数仅衡量两个随机变量之间的线性依赖程度。非线性依赖或更复杂的依赖结构没有被适当地捕获。在这里，我们选择copula方法来研究完整的统计相关性。与同样包含边际分布的多元分布不同，Sklar（1973）引入的copula将这些边际分布转化为均匀分布。这就允许对统计相关性进行直接研究。Copulas在许多领域都有应用，例如土木工程，seeKilgore和Thompson（2011），医学，见Onken等人（2009），气候和天气研究，见Sch¨olzel和Friederichs（2008），或随机向量生成，见Strelen（2009）。在金融领域，copula主要用于风险和投资组合管理，见Eeg、Embrechts等人（2001）、Embrechts等人（2002）、McNeil等人（2005）、Rosenberg和Schuermann（2006）、Brigo等人（2010）、Meucci（2011）和Low等人（2013）。通过对大量现有和不断增长的copula模型文献的简要综述，巴顿（2012b）和巴顿（2012a）提供了更详细的信息。为了更全面地介绍copulas，读者们提到了Joe（1997）和Nelsen（2006）。在所有这些情况下，易于处理的分析连接函数被用作多变量分布的构造块。不预先假设分析依赖性结构的实证研究很少，见例如，Ning等人（2008年）和M–unnix等人（2012年）。这就是我们的贡献所在。

我们研究了标准普尔500指数股票日收益率的经验相关性。为了获得完整copula估计的良好统计意义，需要大量数据。因此，我们将自己限制在二元情况下，并对多个成对copula进行平均。此外，我们考虑了一个相当大的时间范围。大时间范围的考虑使我们面临两个问题：单个时间序列的非平稳性及其依赖性。前者，即时变趋势和波动性，在我们估计经验连接函数时必须考虑。为此，我们对经验回归时间序列进行了局部归一化，从而消除了非平稳趋势和波动性。Sch¨afer和Guhr（2010）引入了局部标准化，产生了平稳的标准正态分布时间序列，同时保留了不同时间序列之间的依赖关系。它特别允许我们在局部尺度上研究经验依赖结构，而原始收益的copula揭示了全球尺度上的依赖结构。我们将我们的经验发现与不同的分析关联式进行比较，特别是解决高斯依赖结构假设可能带来的影响有多大的问题。由于我们对多个股票对进行平均，因此假设得到的平均成对copula可以由一个高斯copula描述，其中只有平均相关性进入。事实上，我们的一致性相当差，尤其是在全球范围内。考虑到不同的成对相关性，高斯连接函数的相关加权平均只能提供稍微好一点的描述。我们还必须考虑时变的依赖关系。这些可以通过随机相关性上的整体平均值来解决，见施密特等人（2013）。

这个ansatz对于多元收益分布有很好的一致性。在这里，我们推导了这种随机矩阵方法产生的成对K-copula结果，并将其与我们的经验发现进行了比较。总体而言，我们达成了相当好的一致，尤其是在地方层面。然而，经验连接函数显示了尾部依赖的不对称性，这是我们的模型无法解释的。考虑到依赖结构不对称的Asa模型——Hansen（1994年）首次提出的倾斜学生st分布，以及Demarta和McNeil（2005年）提出的相应copula，正在稳步普及，尤其是在信贷风险管理方面，参见eg，Hu和Kercheval（2006），Dokov等人（2008），以及不对称依赖性研究，参见eg，Sun等人（2008年）。在对称性更为显著的全球范围内，倾斜的Student t-copula与我们的经验copula的一致性得到了改善。本文的结构如下。在第2节中，我们简要介绍了我们的数据集以及局部归一化、相关性和连接的理论背景。此外，我们还推导了K-copula。我们在第3节中展示了我们的结果，并在第4.2节中得出结论。数据集和理论背景2。1.价格和回报在我们的实证研究中，我们考虑了标准普尔500指数中股票的每日收盘价格，该价格已根据拆分和股息进行了调整。我们的观察期为2006年1月3日至2012年12月31日。数据来自http://finance.yahoo.com/.From我们计算收益的价格时间序列后来被称为原始收益asrk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t）（1），其中Sk（t）是股票k在时间t的价格，并且t=1个交易日。我们最终得出K=460只股票的atT=1760日收益率，这些股票在整个观察期内持续交易并在标准普尔500指数中上市。

众所周知，原始收益表现出强烈的非平稳性。2.2. 局部归一化为了校正原始收益中的非平稳趋势和波动性，我们采用了Sch¨afer和Guhr（2010）提出的局部归一化方法。本地标准化收益定义为ρk（t）=rk（t）- uk（t）σk（t）（2）与股票k的本地平均值uk（t）和本地波动率σk（t），这两者都是在前13个交易日的时间窗口内计算的。正如Ch¨afer和Guhr（2010）所示，当地平均值和波动率的13个交易日区间是平稳、标准正态分布时间序列的最佳近似值。2.3. 相关性为了测量两个随机变量X，Y的统计相关性，人们通常认为皮尔逊相关系数CX，Y=Cov（X，Y）σXσY（3），其中Cov（X，Y）是两个随机变量的协方差，σX，σY是它们各自的标准差。在我们的例子中，随机变量X，Y是rk，rl。单个时间序列的非平稳性是估计相关系数的一个基本问题。对于回归时间序列，时变波动率会导致方程（3）中的估计误差，参见eg，Sch¨afer and Guhr（2010），M¨unnix et al.（2012）。上面介绍的局部规范化可以考虑到这一点。正如引言中已经提到的，相关系数仅测量两个随机变量之间的线性相关性。因此，它不适合测量任意依赖关系。为此，我们在下一节中考虑连接词。2.4. copula的定义在我们对copulas的简短介绍中，我们将把自己定义为二元情况，因为我们只研究经验性成对copula。

两个随机变量的统计相关性的全部信息肯定包含在它们的二元分布中。然而，如果所有随机变量的边际分布不同，则很难比较二元分布。为了实现可比性，我们可以将每个边际分布转化为均匀分布。然后，经过thuslytransformed的变量的二元分布被称为copula。我们考虑两个连续随机变量X，Y和联合概率密度函数fX，Y（X，Y）。然后，联合累积分布函数由fx，Y（x，Y）=xZ给出-∞dxyZ-∞我们用FX（x），FY（Y）表示边际分布函数，用FX（x）=ddxFX（x），FY（Y）=ddyFY（Y）表示相应的概率密度函数。根据Sklar（1973），我们通过FX，Y（x，Y）=CopX，Y（FX（x），FY（Y））定义copula<=> CopX，Y（u，v）=FX，Y（F）-1X（u），F-1Y（v））（5）其中我们使用了变换u=FX（x），v=FY（y）和F-1X，F-1表示逆边缘分布函数，也称分位数函数。根据概率密度函数的通常定义，copula密度由关于u和v的偏导数定义：copX，Y（u，v）=CopX，Y（u，v）U五=FX，Y（x，Y）十、Yx=F-1X（u）y=F-1Y（v）F-1X（u）UF-1Y（v）v（6）=fX，Y（x，Y）fX（x）fY（Y）x=F-1X（u）y=F-1Y（v），我们在最后一步中使用了反函数规则。2.5. 经验成对copula为了计算两个收益时间序列rk，rl的经验成对copula，我们必须将它们的边际分布转化为均匀分布。然后，我们将转换后的时间序列称为u=uk，v=ul。为了获得均匀分布的时间序列，我们利用经验分布函数UK（t）=Fk（rk（t））=TTXτ=11{rk（τ）≤ rk（t）}-2T（7），其中1为指示器功能。

术语-定义（7）只是确保所有值uk（t）严格位于区间（0,1）内。最后，我们得出经验的成对copula密度作为数据对的二维直方图（uk（t），ul（t））。2.6。二元高斯copula高斯copula是由正态分布产生的依赖结构。我们考虑两个随机变量X，Y，它们遵循相关系数c的联合正态分布。然后，二元高斯copula由copgc（u，v）=Φc（Φ）给出-1（u），Φ-1（v））（8）其中ΦCd表示二元标准正态分布的累积分布函数，Φ-1一元标准正态分布的逆累积分布函数：Φc（x，y）=xZ-∞dxyZ-∞dy2π√1.- cexp-（十）- 2cxy+（y）2（1）- c）（9） Φ（x）=xZ-∞√2πexp-（十）dx（10）偏导数得到二元高斯copula densitycopGc（u，v）=√1.- c（11）×exp-cΦ-1（u）- 2cΦ-1（u）Φ-1（v）+cΦ-1（v）2（1）- c）在图1中，我们举例说明了两个高斯copula密度copGc（u，v），分别为正相关和负相关c。在这里，我们可以将固有的对称性特征作为一个基本属性加以区分。正相关的高斯copula密度描述了每个边缘分布的同一尾中的事件之间的强相关性，而负相关描述了相反尾中的事件之间的强相关性。图1。不同相关性c的高斯copula密度copGc（u，v），左：c=0.8，右：c=-0.5.2.7. 金融时间序列之间的双变量K-copula相关性是时间相关的，参见Engle（2002）、Tseand Tsui（2002）、Cappiello等人（2006）、Sch¨afer and Guhr（2010）和M¨unnix等人（2012）。为了考虑这一经验事实，我们考虑了bySchmitt等人（2013）提出的一个随机矩阵模型，该模型假设每个返回向量r（t）=（r（t）。

，rK（t））在每个时间t=1，多元正态分布（r（T），∑T）=pdet（2π∑T）exp-r+（t）∑-1tr（t）（12） 与时间相关的协方差矩阵∑t。每个时间相关的协方差矩阵∑t然后由随机矩阵∑t建模→ AA+/N取自威斯哈特分布，见威斯哈特（1928）。为此，我们为a，w（a，∑）=detN/2（2π∑）exp的矩阵素选择多元正态分布-trA+∑-1A（13） 它围绕经验平均协方差矩阵∑=h∑tit=1，。。。，T.然后，返回向量r样本的分布由多元正态WishartMixed给出：我们在Wishartdistributed协方差集合上平均多元正态分布，最终得到K分布，hgi（r，∑，N）=Zd[a]gr、 NAA+w（A，∑）（14）=N/2+1Γ（N/2）pdet（2π∑/N）K（K）-N）/2√Nr+∑-1r√Nr+∑-1r（K）-N）/2=（2π）KΓ（N/2）√det∑∞Zdz锌-1e-zrπNzKexp-N4zr+∑-1r其中rd[A]表示A的所有矩阵元素上的积分，Kλ是第二类λ阶的修正贝塞尔函数。K分布（14）只包含两个参数：经验平均协方差矩阵∑和一个自由参数N，它表征了经验平均∑周围协方差的变化。通过这种方式，经验观测到的协方差的非平稳性直接进入随机矩阵模型。请注意，K分布（14）是多元广义双曲线分布的特例，参见例如，麦克尼尔等人（2005年）、施密特等人（2006年）、Aas和哈夫（2006年）、内库拉（2009年）、索克尼亚和威尔科克斯（2014年）、维尔卡等人（2014年）以及布朗和麦克尼古拉斯（2014年）。通过考虑二元情况下的K分布（14），我们现在通过方程（6）导出二元K-copula密度。在我们的例子中，概率密度函数是二元K分布，fX，Y（x，Y）=hgi（r，∑，N），K=2。

由于copuladensity与边缘分布无关，我们可以选择标准偏差σX=σY=1，从而得到协方差矩阵∑=σXσXσYcσXσYcσY=1 cc 1（15） 它现在只不过是一个具有经验平均相关系数c的相关矩阵。因此，参数N只是表征其平均值周围相关关系的波动强度。N越小，波动越大。在有限的范围内→ ∞ 波动消失，我们分别得到正态分布和高斯分布。K分布（14）的边际概率密度函数与fX（x）相同，fX（·）=fY（·）=∞Z-∞dy fX，Y（x，Y）=Γ（N/2）∞Zdz锌-1e-zrN4πzexp-N4zx（16） 边际累积分布函数FX（·）=FY（·），其中FX（x）=xZ-∞dξfX（ξ）（17）=Γ（N/2）∞Zdz锌-1e-zxZ-∞dξrN4πzexp-N4zξ必须进行数值计算和倒置。插入式（6）中，得到k copula密度copKc，N（u，v）。为了便于说明，图2一方面显示了平均相关系数c=0和N=5的K-copula密度，另一方面显示了c=0.2和N=4的K-copula密度。我们观察到，与高斯copula密度相比，K-copula密度包含正相关和负相关。特别是，如果平均相关性c为正，但其周围的波动足够大，则也包括负相关性。然而，K-copula密度仍然是相对于面角对称的。图2。K-copula密度copKc，N（u，v）表示平均相关系数c和参数N，左：c=0，N=5，右：c=0.2，N=4.2.8。