去趋势波动分析可灵活检测波动范围

为了准备此类信号，我们使用以下公式定义的ARFIMA过程[52]：=∞Xj=1aj（dx）x（i- j） +ε（i）（14）y（i）=∞Xj=1aj（dy）y（i）- j） +ε（i），其中参数dz（z≡ x、 y），充分满足条件：-1/2<dz<1/2，表征x（i），y（i）中线性自相关的时间范围，并与赫斯特指数密切相关：H=1/2+dz。数量aj（dz）称为重量，定义为：aj（dz）=Γ（j- dz）Γ(-dz）Γ（1+j）。（15） 时间序列x（i）和y（i）是相关的，因为公共噪声项ε（i）是一个i.i.d.高斯随机变量。ARFIMA信号是（单）分形的，因此它们的函数[FqZZ（s）]1/q构成了图1上部面板中所示的幂律族。在图1（c）中，x（i）和y（i）的分形交叉相关性质可被视为一系列平行幂律函数[FqXY（s）]1/q。仔细检查三个面板：图1（a）-（c）表明，所研究信号的振幅是最大的交叉相关，因此，我们可以预期，适当定义的qDCCA系数应该反映这一事实，其价值接近统一。实际上，在图1（d）中，ρq（s） 1不考虑沙q。这种不变性也可能是去趋势ARFIMA过程的平稳性的结果。对于具有重尾PDF的信号（在去趋势后保持非平稳特征），我们预计ρq（s）与单位的偏差会更大，即使这些信号平均具有强互相关。这是因为在不同时刻不同信号中可能出现的大波动会对相关框中信号的协方差产生强烈影响（高达相当大的宽度），这会抑制这些特定框中的协方差，从而影响FqXY。|q |越高，这种类型的影响可能越强。B

不相关信号为了在没有互相关的情况下测试QDCA系数ρq（s），我们采用与之前相同的信号：x（i）和y（i），并通过随机压缩破坏它们的时间结构。然而，在展示完整的结果之前，我们必须讨论q<0时|ρq（s）|>1的问题。图2（a）（b）显示了（a）q=-4和（b）q=-2.正如我们所看到的，它的值可以跨越几个数量级，负q越大，这个范围就越大。ρq（s）的未绑定特性使得几乎不可能对互相关的强度进行任何推断。正如第二节已经提到的，如果式（10）中的分母比分子小得多，就会产生|ρq（s）|的高值。如果研究中的信号不相互关联或相互关联较弱，则这种情况主要会发生。这表明|ρq（s）|的值在任何方向上都与1有很大偏差，可以被视为lackof互相关的指标。考虑到这一点，可以用以下方式重新定义qDCCA系数：ρ*q（s）=（ρq（s）如果|ρq（s）|≤ 1[ρq（s）]-1如果|ρq（s）|>1。（16） 党卫军-1.-0.50.5（a）（b）（c）（d）图1：（颜色在线）（a）-（b）共享相同高斯噪声项的两个ARFIMA时间序列的q依赖函数[FqXX（s）]1/qand[FqY Y（s）]1/qf。不同q值的函数族，q∈ H-4，4i表示每个时间序列（最上面的一个代表q=4）。双对数图上[FqXX（s）]1/qand[FqY（s）]1/qon的线性相关性表明分析信号的分形特征。（c） 同一对时间序列的q相关互反函数[FqXY（s）]1/Qf表示它们之间的分形互相关。（d） 对于不同的q值，依赖于q的扭曲互相关系数ρq（s）。

注意，对于任何沙子q，几乎都是完美的互相关。现在是ρ*q（s）系数始终保持在间隔h内-1，1i即使q<0。在这种情况下可以区分两种典型情况：（i）图2（c）展示了q=-4系数ρ*q（s）表示预期的几乎为零的互相关水平；（ii）对于q=-2（图2（d））ρ*q（s）显然不是零，但它相对于s是高度不稳定的，在正值和负值之间反弹。因此，如果在分析中发现这两种情况，可以将其视为未相关信号的指标。为简单起见，从现在起，我们将省略QDCA系数符号中的星号：ρq（s）≡ ρ*q（s）。（17） 图3给出了随机ARF信号ρq（s）的完整结果。根据上述讨论，我们有理由得出结论，分析信号在任何标度s和任何Q<0时均不存在互相关。由于对于q>0和s>10，我们观察到ρq（s）从零开始的一些偏差，我们必须进行一项测试，以确定这些偏差是否具有统计学意义。为了做到这一点，我们计算N=10000对随机ARFIMA信号的ρq（s），并估计ρq（s）的色散。相关标准偏差σρ（q，s）如图4所示。图3和图4之间的直接比较导致我们得出结论，图3中Q>0时观察到的零偏差不能被认为具有统计学意义。虽然我们在这里只展示了ARFIMAP过程的结果，但在质量上相似的结果可能是-2ss-1-0.50.00.51.0q=-4 q=-2（a）（b）（c）（d）图2：（在线颜色）q依赖的去趋势互相关系数ρqa是q<0:q=-4（左）和q=-2（右）。

（顶部）原始定义的ρq（s）的尺度依赖性，其值超出标准区间h- 1，1i是允许的（取模数|ρq（s）|，以显示对数轴上的正值（黑色圆圈）和负值（红色/灰色正方形）。虚线表示|ρq |=1级。（底部）修正系数ρ*q（s）由等式（16）定义，其值在区间h内-1，1i。将ρq（s）的值倒置以获得ρ*q（s）用圆圈表示。对于表示不相关统计过程的其他示例的时间序列，这支持了我们的说法，即ρq（s）正确估计了不相关信号之间的互相关水平。这里有一个很好的时机来强调，获得图3所示的正确结果（即缺乏交叉相关性）的一个必要条件是对q相关函数FqXY的正确定义。这种定义要求保留协方差fxy（s，ν）的符号，就像在等式（5）中所做的那样。不幸的是，文献中经常会忽略这些符号，只考虑协方差的模（例如[40]）。图5说明了这种方法会产生什么后果。我们使用与inFig相同的数据。3并计算修正系数ρ′qt，该系数不使用FqXY的符号定义。正如人们所看到的，对于q≥ -1尽管我们知道独立随机信号之间不可能存在这种相关性，但该系数错误地表明在所有尺度上存在统计上显著的正互相关。C

部分互相关信号上述几乎完全相关和几乎完全不相关信号的例子形成了两个极端，这两个极端是最不有趣的小情况，在这两个极端之间，我们可以找到一系列更有趣的情况，其中信号可能会显示部分互相关。例如，仅限于信号特定成分的相关性或-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。3：（在线彩色）随机ARFIMA时间序列apair计算的系数ρq（s）。在每个面板中，显示不同q的ρq（s）。通过将这些结果与图4进行比较，可以评估结果的统计意义。q<0时ρq（s）的倒数值用圆圈表示。时间短暂。我们将在这里讨论这两种情况。首先，如果互相关是暂时的，我们测试qDCCA方法的灵敏度。为了做到这一点，我们采用两个互相关的ARFIMA时间序列（ρq（s） 1如第IIIA）节所述，并将其中一个时间序列中的一部分数据点随机化。在此操作后，修改后的时间序列由其中心原始数据点的分数φ和分数1组成-φ的值。对于φ的不同选择，这些计算的样本结果如图6所示。很明显，在这种特殊情况下，该方法给出了两个信号中低至φ=2%相关数据点的函数互相关特征的统计显著性指示。该指示仅限于中小型时间尺度≤ 10） 不过，只有这样。

为了在s=10的更大范围内获得类似的意义，必须将相关分形增加到φ>0.1，以便s<φT，其中T是时间序列的长度。其次，我们假设研究中的每一个时间序列都由不同振幅的不同成分组成。只有部分组件是交叉的-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。4：（在线彩色）计算10000对shu-file-edARFIMA时间序列的系数ρq（s）的平均hρq（s）i（黑色实线）和标准偏差σρ（q，s）（带误差条的蓝色/灰色线）。在每个面板中，显示不同QI的结果。时间序列之间是相关的，而其他时间序列之间是不相关的。例如，一对时间序列可能仅通过大的或中等的函数相互关联，而在小的函数中不相关。因此，我们预计qDCCA分析将允许我们：（i）确定互相关的存在，以及（ii）显示哪些波动幅度携带这些互相关。ARFIMA过程不适合作为当前分析的主题，因为它们的函数基本上是高斯分布的，并且它们的线性范围相当小。该方法也适用于这种情况，但这里一个更具启发性的例子是具有重尾波动的非平稳过程，其中大和小波动的振幅差别很大。重尾函数经常出现在从自然和社会系统记录的经验数据中，因此我们的选择是现实的，并且不限制该方法的适用范围。让我们考虑一下根据[59,62]中开发的马尔科夫切换多重分形模型生成的时间序列。

这是一个乘法层次模型，能够重现-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。5：（在线上色）为图3中已经使用的同一对随机ARFIMA时间序列计算的不正确定义的系数ρ′q（使用等式（5）中FqXY的无符号定义）。请注意≥ -1系数给出了正互相关的错误指示。通过将这些结果与图4进行比较，可以看出这些结果的明显统计意义。某些类型的经验数据（例如，金融波动率）。从现有分析的角度来看，重要的是它产生具有重尾概率分布函数的（无符号）信号，其函数可以显示长程、多尺度自相关。根据MSM模型，可观测的x（i）由以下公式给出：x（i）=σ（i）u（i），（18），其中u（i）是一个高斯随机变量，i扮演离散时间的角色。σ（i）被称为瞬时波动率，定义为常数因子σ和k乘数Mj（i）的乘积，Mj（i）来自二元分布或对数正态分布：σ（i）=σkYj=1Mj（i）。（19） 在二项式情况下，Mj（i）=[m，2- m] ，1≤ M≤ 2，而在对数正态情况下：Mj（i）=LN(-λ, 2λ) [59].-1.-0.50.5q=1q=2q=3q=4q=1q=2q=3q=4s-1.-0.50.5sφ=0.1φ=0.03φ=0.02φ=0.01图。6：（在线彩色）基于ARFIMA时间序列（q>0）计算的ρq（s）系数的灵敏度测试。将原始时间序列1与修改后的时间序列2进行比较，其中仅保留一小部分数据点，而其余数据点是随机的（黑线）。

不相关时间序列的零假设的结果也显示为参考+/- 100个独立的替代品的标准偏差（相对于ρq=0对称的品红/灰线）。每个乘法器Mj（i）在时间i时改变其值的概率为：γj=1- (1 - γk）bj-k、 j=1。。。，k、 （20）其中0≤ γk≤ 1和b=2，3，4。这里我们选择k=10级，b=2分支的等级。从分析的角度来看，我们还认为等式（18）中的高斯分布因子u（i）是不必要的，因为x（i）的复杂性与瞬时波动率σ（i）有关。由于乘法器值的随机性，两个独立产生的信号不能相互关联。然而，通过复制MSM时间序列的乘法器M（1）j（i）并向每个乘法器添加少量噪声，可以从MSM时间序列中获得一对多尺度互相关时间序列：M（2）j（i）=M（1）j（i）+αε（i）|，其中ε（i）为ani。i、 d.高斯随机变量和α<< 1.我们的目标是证明qDCCA系数ρq（s）可以为我们提供关于这些时间序列的互相关结构的更多信息，而普通系数ρDCCA（s）可以。我们生成两个长度为T=10且λ=1.1的对数正态MSM时间序列。参数α=0.01保证了它们的去趋势反射是相互关联的。实际上，图7（a）显示了q的情况∈ H-4，4i系数ρq（s）检测到强烈的互相关（对于q>0，甚至是所有尺度上的最大值）。

如果我们使用一个滤波器，以小振幅x（i）<0.01将所有数据点随机化，会发生什么？该过滤器的作用相当于消除小波动之间的相互关联，并保留中等波动之间的相互关联-0.50.5q=2q=0.25q=-1q=-4ss-1.-0.50.5原始数据随机化原始数据x≥ 0.01随机x<0.01随机x≥ 0.01原始x<0.01（a）（c）（b）（d）图7：（彩色在线）根据对数正态马尔科夫开关多重分形（MSM）模型计算的一对时间序列的qDCCA系数ρq（s），其中k=10，b=2，λ=1.1，α=0.01（这些参数的描述见正文）。四个选定的q值用不同的线表示。q=2对应于标准系数ρDCCA。（a） 最初的时间序列。（b） 对两个时间序列进行过滤（见正文），以去除小波动（x（i）<0.01）之间的相关性。（c） 无任何时间相关性的随机数据（单一实现的替代物）。（d） 对两个时间序列进行过滤，以消除中大波动之间的相关性（x（i）≥ 0.01). 为了图片的清晰度，ρq（s）的反相器值没有区别。和大的波动。图7（b）显示了此类滤波信号的结果。我们可以看到，尽管ρq（s）仍然可以检测到任何q在较长尺度（大致为fors>10）下的互相关，但对于q<1，qdcca系数表明在较短尺度（s<10）下的互相关显著降低。对于q<0和q=-4相应的系数表明信号完全不相关。由于如此小的q值与非常小的波动有关，这一结果正是人们对滤波信号的预期结果。

另一方面，对于q≥ 2过滤不会引起ρq（s）的任何变化，这也完全符合先验预期，即对于较大的波动，互相关应该存在。现在让我们看看图7（a）（b）中q=2的结果：变化很明显。因此，在这种情况下，ρdca系数对数据的相关性结构的显著变化完全不敏感。ρdccac明显缺乏灵敏度的另一个例子可以在图7的底部面板中看到。如果上述同一MSM时间序列被完全消除，它们的所有时间相关性都会被破坏。图7（c）显示，系数ρq（s）没有相应地检测到任何互相关。大尺度的结果即使远非零，也在统计误差范围内；其中q=2的系数几乎与除最大刻度外的大多数刻度相同。这些结果可与滤波信号（图7（d））的结果进行比较，其中仅保留了小函数（x（i）<0.01）之间的相关性，并通过数据处理去除了所有其他相关性。现在，系数ρq（s）表明存在中尺度的互相关（对于q=0.25，q=-1，q=-4） 对于小尺度（q=0.25和q=-1). 这样的q值对应于小的波动。相比之下，对于q=2，相关系数没有表现出任何显著性，其表现与图7（c）中的无相关性情况大致相似。说明QDCCA系数有用性的另外两个例子来自二元MSM模型，该模型产生一对k=20级二元乘法级联，j级乘法器Mj（i）分别来自集合[1.2,0.8]和集合[1.25,0.75]。