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请注意∞h=0φhψh=2πRπ-πP∞v=0P∞u=0φuψveiω（u-v） dω。利用这一知识，我们证明了方程（15）σ-1kk∞Xh=0（ψh∑）j，k= σ-1kk∞Xh=0nXz=1（ψh）j，z（∑）z，k！=σ-1kk2πZπ-π∞Xu=0∞Xv=0nXx=1（ψu）j，x（∑）x，k！nXy=1（ψv）j，y（∑）y，keiω（u）-v） dω=σ-1kk2πZπ-π∞Xu=0∞Xv=0nXx=1ψueiωuj、 x（∑）x，k！nXy=1ψve-iωvj、 y（∑）y，kdω=σ-1kk2πZπ-π∞Xu=0nXx=1ψueiωuj、 x（∑）x，k！∞Xv=0nXy=1ψve-iωvj、 y（∑）y，kdω=σ-1kk2πZπ-πnXx=1Ψeiωj、 x（∑）x，k！nXy=1ΨE-iωj、 y（∑）y，kdω=σ-1kk2πZπ-πΨE-iωΣj、 kΨeiωΣj、 kdω=σ-1kk2πZπ-πΨE-iωΣj、 kdω（18）我们在第二步中使用切换到MA系数的光谱表示。剩下的是一个操作，最后一步调用定义为| z |=zz的复数的模平方的定义*. 请注意，我们可以在不丧失通用性的情况下使用这种简化，因为(∞) 由系数ψhh描述为始终对称的谱的表示。接下来，我们集中讨论等式（16），利用类似的步骤和矩阵∑的正半不确定性来确定存在P，从而∑=P。∞Xh=0ψh∑ψh=∞Xh=0（ψhP）（ψhP）=2πZπ-π∞Xu=0∞Xv=0ψueiωuPψve-iωvPdω=2πZπ-π∞Xu=0ψueiωuP∞Xv=0ψve-iωvPdω=2πZπ-πΨeiωPΨE-iωPdω=2πZπ-πΨeiωΣΨE-iωdω（19）这就完成了证明。提议2.2。使用备注2.1和适当的替换，我们得到：Xdz∈DCFdz=Xdz∈DPeθdzPeθ∞-TrneθdzoPeθ∞= 1.-Pdz∈DTrneθdzoPeθ∞=1.-TrnPdz∈DeθdzoPeθ∞= C∞,（20） 其中，下一个倒数第二个等式来自跟踪运算符的线性。提议2.3。利用连通性的定义，我们得到了(-π、 π=C∞（21）CF(-π,π)=eθ(-π,π)j、 千牛-Trneθ∞oPeθ∞=nn-Trneθ∞oPeθ∞= 1.-Trneθ∞oPeθ∞= C∞（22）B补充表格和图表B。1如数据部分所示，包括房利美（FNM）和房地美（FRE），FRE和FNM在这一时期的很大一部分时间里都是美国金融体系的一部分。
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