布朗半平稳过程的混合格式

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英文标题：
《Hybrid scheme for Brownian semistationary processes》
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作者：
Mikkel Bennedsen, Asger Lunde, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a simulation scheme for Brownian semistationary processes, which is based on discretizing the stochastic integral representation of the process in the time domain. We assume that the kernel function of the process is regularly varying at zero. The novel feature of the scheme is to approximate the kernel function by a power function near zero and by a step function elsewhere. The resulting approximation of the process is a combination of Wiener integrals of the power function and a Riemann sum, which is why we call this method a hybrid scheme. Our main theoretical result describes the asymptotics of the mean square error of the hybrid scheme and we observe that the scheme leads to a substantial improvement of accuracy compared to the ordinary forward Riemann-sum scheme, while having the same computational complexity. We exemplify the use of the hybrid scheme by two numerical experiments, where we examine the finite-sample properties of an estimator of the roughness parameter of a Brownian semistationary process and study Monte Carlo option pricing in the rough Bergomi model of Bayer et al. [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], respectively.
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中文摘要：
我们介绍了一种布朗半平稳过程的模拟方案，该方案基于将过程的随机积分表示在时域中离散化。我们假设过程的核函数在零处有规律地变化。该方案的新特点是通过接近零的幂函数和其他地方的阶跃函数来逼近核函数。这个过程的结果近似是幂函数的维纳积分和黎曼和的组合，这就是为什么我们称这种方法为混合格式。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差的渐近性，并且我们观察到，与普通的前向黎曼和格式相比，该格式在具有相同计算复杂度的情况下显著提高了精度。我们通过两个数值实验来举例说明混合格式的使用，其中我们检验了布朗半平稳过程粗糙度参数估计量的有限样本性质，并分别研究了拜耳等人[Quant.Finance 16（6），887-9042016]的粗糙Bergomi模型中的蒙特卡罗期权定价。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：平稳过程 Presentation Quantitative Differential respectively

布朗半平稳过程的混合格式Mikkel-Bennedsen*Asger Lunde+Mikko S.Pakkanen2017年5月16日摘要我们介绍了一个布朗半平稳过程的模拟方案，该方案基于对过程在时域中的随机积分表示进行离散化。我们假设这个过程的核函数在零处有规律地变化。该方案的新特点是通过接近零的幂函数和其他地方的astep函数来逼近核函数。这个过程的结果近似是幂函数的维纳积分和黎曼和的组合，这就是为什么我们称这种方法为混合格式。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差的渐近性，并且我们观察到，与普通的前向黎曼和格式相比，该格式在计算复杂度相同的情况下，导致了精度的显著提高。我们通过两个数值实验举例说明了混合方案的使用，其中我们分别研究了布朗平稳过程的粗糙度参数估值器的有限样本性质，并研究了Beyer等人[10]的粗糙Bergomi模型中的蒙特卡罗期权定价。关键词：随机模拟；离散化；布朗半平稳过程；随机波动性；规律性变化；估计；期权定价；剧烈波动；微笑。JEL分类：C22、G13、C13MSC 2010分类：60G12、60G22、65C20、91G60、62M091简介我们研究布朗半平稳（BSS）过程的模拟方法，首先由巴恩多夫-尼尔森和施密格尔[8,9]介绍，这形成了一类灵活的随机过程，能够捕捉经验时间序列的一些常见特征，如随机波动性（间歇性）、粗糙性、平稳性和强依赖性。

到目前为止，这些过程已经完成*丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk伦敦帝国理工学院数学系，英国伦敦SW7 2AZ南肯辛顿校区，丹麦奥胡斯大学。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukapplied在各种情况下，尤其是在物理学中的湍流研究[7,16]和能源价格的金融模型[4,11]中。BSS过程X通过积分表示X（t）=Zt定义-∞g（t）- s） σ（s）dW（s），（1.1），其中W是一个双边布朗运动，提供基本的噪声创新，其振幅由随机波动（间歇）过程σ调制，该过程可能依赖于W。然后，该驱动噪声与确定的核函数g进行卷积，该核函数规定了X的依赖结构。过程X也可以被视为挥发性调制布朗噪声的移动平均值，设置σ（s）=1，我们可以看到平稳布朗移动平均值嵌套在这类过程中。在上面提到的应用中，X不是半鞅的情况是特别相关的。当核函数g的行为类似于接近零的幂律时，就会出现这种情况；更具体地说，什么时候∈ (-,) \\ {0}，g（x）∝ 小x>0时的xα。（1.2）我们在这里写道“∝” 为了表明非正式意义上的相称性，使用规则变化理论[15]预测第2.2节给出的这种关系的严格表述，这在我们随后的论点中起着重要作用。

情况α=-在（1.2）中，湍流的不稳定性建模非常重要[16]，因为它产生了与理想湍流的科尔莫戈罗夫标度定律兼容的过程。此外，与α类似类型的过程≈ -0.4最近被用于期权定价中，作为粗略波动率的模型[1,10,18,20]，见下文第2.5和3.3节。α=0的情况（粗略地说）会导致一个半鞅过程，因此被排除在外。在（1.2）下，X的轨迹在局部表现为类似于Hurst指数H=α的分数布朗运动的轨迹+∈ (0, 1) \\ {}. 虽然X的局部行为和粗糙度（根据H¨older正则性测量）由参数α决定，但X的全局行为（例如，该过程是否具有长记忆）取决于g（X）asx的行为→ ∞, 可以独立于α来指定。这应该与分馏布朗运动和相关的自相似模型形成对比，后者必须符合其H？older规则性（局部行为和粗糙度）和Hurst指数（整体行为）之间的限制性关系，如Gneiting和Schlather[21]所述。事实上，在BSSProcess领域，局部和全局行为可以方便地解耦，这突出了这些过程作为建模框架的灵活性。结合实际应用，能够模拟过程X是很重要的。如果波动过程σ是确定性的且在时间上是常数，那么X将严格平稳且为高斯分布。这使得X易于使用Cholesky分解或循环嵌入进行精确模拟，例如参见[2，第十一章]。然而，似乎很难（如果不是不可能的话）开发出一种适用于随机σ的精确方法，因为过程X既不是马尔可夫的，也不是高斯的。

因此，在一般情况下，必须采用近似方法。为此，Benth等人[13]最近提出了一种基于傅里叶的方法来模拟BSSP过程，以及更一般的L’evy半平稳（LSS）过程，该方法依赖于在频域中近似核函数g。本文介绍了一种新的基于时域逼近核函数g的BSS过程离散化方案。我们的出发点是（1.1）的黎曼和离散化。Riemann和格式建立在使用阶跃函数逼近g的基础上，这有一个陷阱，即无法恰当地捕捉g在零附近的陡度。尤其是，在（1.2）下，当α∈ (-, 0). 在我们的新方案中，我们通过使用适当的接近零的幂函数和其他地方的阶跃函数来近似g来缓解这个问题。由此产生的离散格式可以实现为关于驱动布朗运动W的维纳积分和黎曼和的线性组合，这就是为什么我们称之为混合格式。混合方案的实现要求仅略高于伊曼和方案，并且这些方案的计算复杂度与离散单元的数量趋于一致。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差（MSE）的精确渐近行为，以及作为特例的黎曼和格式的均方误差（MSE）的精确渐近行为。我们观察到，从黎曼和格式切换到混合格式大大降低了渐近均方根误差（RMSE）。仅使用混合格式的最简单变体，即在单个离散单元中使用幂函数，所有α的减少至少为50%∈ （0，）以及所有α的至少80%∈ (-, 0).

当α接近时，RMSE的降低接近100%-, 这表明混合方案确实解决了影响黎曼和方案的低精度问题。为了评估混合格式在实际中的准确性，我们进行了两个数值实验。首先，我们检验了Barndor ff-Nielsen等人[6]和Corcuera等人[16]提出的粗糙度指数α估计器的有限样本性能。该实验使我们能够评估混合方案如何忠实地逼近BSS过程X的精细属性。其次，我们研究了Bayer等人[10]的粗糙Bergomi随机波动率模型中的蒙特卡罗期权定价。我们使用混合方案来模拟该模型中的波动过程，我们发现，由此产生的隐含波动微笑与使用涉及波动过程精确模拟的方法模拟的微笑是无法区分的。因此，我们能够提出一个解决方案，为文[10]中未提及的粗糙Bergomi模型找到一个有效的模拟方案。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了aBSS过程的严格定义，并介绍了我们的假设。我们还介绍了混合格式，陈述了关于均方误差渐近性的主要理论结果，并讨论了该格式对一类截断BSS过程的推广。第3节简要讨论了离散化方案的实现，并给出了上述数值实验。最后，第4节对本文给出的理论和技术结果进行了证明。2模型和理论结果2。1布朗半平稳过程(Ohm, F、 {Ft}t∈R、 P）是一个过滤概率空间，满足通常条件，支持（双边）标准布朗运动W={W（t）}t∈R

我们考虑布朗半平稳过程x（t）=Zt-∞g（t）- s） σ（s）dW（s），t∈ R、 （2.1）式中σ={σ（t）}t∈Ris an{Ft}t∈具有局部有界轨迹的R-可预测过程，捕捉X和g的随机波动性（间歇性）（0，∞) → [0, ∞) 是一个Borel可测的核函数。为了确保积分（2.1）得到很好的定义，我们假设核函数g是平方可积的，即R∞g（x）dx<∞. 事实上，我们将很快介绍一些关于g的更具体的假设，这将暗示g的平方可积性。在本文中，我们还假设过程σ有有限的二阶矩，E[σ（t）]<∞ 尽管如此，t∈ R、 这个过程是协方差的，即E[σ（s）]=E[σ（t）]，Cov（σ（s），σ（t））=Cov（σ（0），σ（|s）-t |），s，t∈ R.这些假设意味着X也是协方差平稳的，即E[X（t）]=0，Cov（X（s），X（t））=E[σ（0）]Z∞g（x）g（x+| s-t |）dx，s，t∈ R.然而，过程X不必是严格平稳的，因为挥发性过程σ和驱动布朗运动W之间的依赖关系可能是时变的。2.2上述核函数，我们考虑满足g（x）的核函数∝ 某些α的xα∈ (-,)\\当x>0接近零时，{0}。为了使这个想法更加严谨，并考虑到额外的灵活性，我们使用规则变化理论[15]以及更具体地说，缓慢变化的函数来计算我们对g的假设。为此，回想一下可测函数L:（0，1]→ [0, ∞) 如果任何t>0，limx→0L（tx）L（x）=1。此外，函数f（x）=xβL（x），x∈ （0,1]，其中β∈ R和L在0时缓慢变化，据说在0时有规律变化，β是规律变化的指数。备注2.1。按照惯例，缓慢和有规律的变化是在∞ [15，第6页，第17-18页]。然而，当且仅当x7时，L在0处缓慢变化（分别为规则变化）→ L（1/x）缓慢变化（分别为。

经常变化）在∞.慢变函数的一个关键特征是，它们可以夹在多项式函数之间，如下所示，这在续集中将非常重要。如果δ>0且L缓慢地在0处变化，且有界于0和∞ 在任意区间（u，1），u∈ （0,1），则存在康斯坦茨δ≥ Cδ>0，使得Cδxδ≤ L（x）≤ Cδx-δ、 x∈ （0,1]。（2.2）上述不等式是所谓的slowlyvarying函数Potter界的直接结果，见下文[15，定理1.5.6（ii）]和（4.1）。使δ非常小，我们看到慢变函数与多项式增长/衰减函数相比，渐近可忽略不计。因此，通过乘以幂函数和缓慢变化的函数，规则变化提供了一个灵活的框架来构造行为渐近类似幂函数的函数。我们关于核函数g的假设如下：（A1）对于某些α∈ (-,) \\ {0}，g（x）=xαLg（x），x∈ （0,1]，其中Lg:（0,1]→ [0, ∞) 是连续可微分的，在0处缓慢变化，从0处开始有界。此外，存在一个常数C>0，使得LGS的导数| Lg（x）|≤ C（1+x）-1） ，x∈ （0,1]。（A2）函数g在（0，∞), 使其导数最终单调且满足∞g（x）dx<∞.（A3）对于某些情况∈ (-∞, -),g（x）=O（xβ），x→ ∞.（在这里，以及在续集中，我们使用f（x）=O（h（x）），x→ a、 表明lim supx→A.f（x）h（x）< ∞.此外，类似符号后来用于序列和计算复杂性。）鉴于界（2.2），这些假设确保g是平方可积的。值得指出的是，（A1）容纳了具有limx的函数→0Lg（x）=∞, e、 g.，Lg（x）=1- 对数x。假设（A1）影响过程x的短期行为和粗糙度。

评估X粗糙度的一个简单方法是研究其变异函数（在湍流文献中也称为二阶结构函数）VX（h）：=E[|X（h）- X（0）|]h≥ 0，作为h→ 0.注意，通过协方差平稳性，VX（| s- t |）=E[| X（s）- X（t）|]s，t∈ R.在我们的假设下，我们对接近零的Vx的行为进行了以下描述，这概括了Barndor ff-Nielsen[3，p.9]的结果，并暗示X具有局部H？oldercontinuous修改。在下面，我们写下a（x）~ b（x），x→ y、 来表明这一点→ya（x）b（x）=1。第4.1节对该结果进行了验证。命题2.2（局部行为和连续性）。假设（A1）、（A2）和（A3）保持不变。（i） X满足度vx（h）的变异函数~ E[σ（0）]2α+1+Z∞（y+1）α- yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，这意味着Vx在0处有规律地变化，指数为2α+1。（ii）过程X对任意φ的局部φ-H-连续轨迹进行了修改∈(0, α +).受命题2.2的启发，我们将α称为过程X的粗糙度指数。忽略（2.2）中的低变因子Lg（h），我们可以看到，对于h的小值，变差函数V（h）的行为类似于h2α+1，这让人想起赫斯特指数h=α+的分数布朗运动（fBm）增量的标度特性。因此，过程X的局部行为类似于fBm，至少在二阶结构和粗糙度方面是如此。（此外，因子2α+1+R∞（（y+1）α）- yα）dy与H=α+的fBm的Mandelbrot–Van Ness表示[24，定理1.3.1]中出现的归一化系数一致。）现在让我们来看两个满足我们假设的核函数g的例子。示例2.3（gamma内核）。所谓的伽马核（x）=xαe-λx，x∈ (0, ∞),参数α∈ (-,) \\ {0}和λ>0，在有关BSP过程的文献中被广泛使用。

这在湍流的统计建模方面尤其重要，见Corcuera等人[16]，但它也提供了一种方法来构造粗糙度的Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的推广，不同于通常的半鞅情况α=0，同时模拟OU过程的长期行为。此外，使用伽马核定义的BSS和LSS过程具有有趣的概率特性，参见[25]。对伽马核的深入研究可以在[3]中找到。设置Lg（x）：=e-λx，在0 sincelimx时缓慢变化→0Lg（x）=1，显然（A1）成立。因为g（x）以指数的速度衰减到0→ ∞,显然，（A3）也适用。要验证（A2），请注意g满意度（x）=αx- λg（x），g（x）=αx- λ-αx！g（x），x∈ (0, ∞),limx在哪里→∞（（αx）- λ)-αx）=λ>0，因此gis最终随g（x）增加≤ （|α|+λ）g（x），x∈ [1, ∞).因此，R∞g（x）dx<∞ 因为g是平方可积的。示例2.4（幂律内核）。考虑核函数g（x）=xα（1+x）β-α、 x∈ (0, ∞),参数α∈ (-,) \\ {0}和β∈ (-∞, -). 这个核函数在接近于零时的行为类似于伽马核，但g（x）随着x多项式衰减为零→ ∞, soit可以用来模拟长内存。事实上，如果β∈ (-1.-), 那么X的自相关函数是不可积的。显然，（A1）与Lg（x）保持一致：=（1+x）β-α、 从limx开始，它在0处缓慢变化→0Lg（x）=1。此外，注意我们可以写eg（x）=xβKg（x），x∈ (0, ∞),其中Kg（x）：=（1+x）-1)β-α满足极限→∞千克（x）=1。因此，（A3）也成立。我们可以通过计算g（x）来检查（A2）=α+βxx（1+x）g（x），g（x）=α+βxx（1+x）+-α - 2αx- βxx（1+x）！g（x），x∈ (0, ∞),哪里-α-2αx-βx→ ∞ 当x→ ∞ （如β<-), 所以gis最终会增加。