布朗半平稳过程的混合格式

我们最终可能会定义一个函数g（y）：=2Cδ（y+1）2（α+δ）+y2（α）-δ), Y∈ （0,1]，18CLg（y+1）2（α-1） +2Cδαy2（α-1+δ），y∈ (1, ∞),哪一个满足了0≤ Gh（y）≤ G（y）表示任何y∈ (0, ∞) h∈ （0，1），并且在（0，∞)通过上述δ和δ的选择。（ii）为了显示修改的存在，我们需要一个涉及非对称过程f（t）：=Z的定位程序∞g（s）σ（t）- s） ds，t∈ R.我们首先检查F在（A1）和（A2）下是局部有界的，这对本地化至关重要。为此，让我们∈ (0, ∞), 为任何一个t写∈ [-T、 T]，F（T）=F[（T）+F]（T），其中F[（T）：=ZM+2Tg（s）σ（T- s） ds，F]（t）：=Z∞M+2Tg（s）σ（t）- s） ds，M>1是x7→ |g（x）|在[M]上不增加，∞), 如（i）的证明。由于gis在（0，∞) σ局部有界，对于任何t∈ [-T、 T]，0≤ F[（t）≤ （M+2T）- 1） supy∈[1，M+2T]g（y）supu∈[-M-3T，T-1] σ（u）<∞.此外，当t∈ [-T、 T]，F]（T）=Zt-（M+2T）-∞g（t）- u） σ（u）du，其中g（t- u）≤ g(-T- u） 既然争论令人满意- U≥ -T- U≥ -T-T- （M+2T）≥ 因此，0≤ F] （t）≤Z-（M+T）-∞g(-T- u） σ（u）du≤Z∞g（s）σ(-T- s） ds<∞无论如何∈ [-T、 几乎可以肯定，正如我们所做的那样Z∞g（s）σ(-T- s） ds=Z∞g（s）E[σ(-T- s） [ds=E[σ（0）]Z∞g（s）ds<∞,其中，我们根据Tonelli定理改变期望和积分的顺序，最终等式来自σ的协方差平稳性。所以我们可以得出结论，F是Indeed局部有界的。现在让我∈ 对于局部化，定义一系列停止时间τm，N:=inf{t∈ [-M∞) : F（t）>n或|σ（t）|>n}，n∈ N、 这满足τm，N↑ ∞ 几乎可以肯定→ ∞ 因为F和σ都是局部有界的。（我们遵循通常的惯例 = ∞.) 现在考虑修改后的BSS流程x+m，n（t）：=Zt-∞g（t）- s） σ（min{s，τm，n}）dW（s），t∈ [-M∞),这与随机区间J上的X一致-m、 τm，nK。

过程X+m，n满足[5，引理1]的假设，因此对于任何p>0，都存在一个常数^Cp>0，使得e[|X+m，n（s）- X+m，n（t）| p]≤^CpV（|s- t |）p/2，s，t∈ [-M∞). （4.7）利用（2.2）中的上界，我们可以从（i）中推断出，对于任何δ>0的情况，都有常数Cδ>0和hδ>0，使得v（h）≤~Cδh2α+1-δ、 h∈ （0，hδ）。（4.8）应用（4.8）到（4.7），我们得到[|X+m，n（s）- X+m，n（t）| p]≤^CpCp/2δ| s- t | 1+p（α+-δ-p） ，s，t∈ [-M∞), |s- t |<hδ。我们可以注意到p（α+-δ-p） >0表示足够小的δ和足够大的p，尤其是p（α+-δ-p） p↑ α+，asδ↓ 0和p↑ ∞. 因此，根据Kolmogorov–Chentsov定理[22，定理3.22]，X+m，nHa是对任意φ的局部φ-H–older连续轨迹的修正∈ (0, α +).此外，对R上的X进行了修改，对任意φ都有局部φ-H的连续轨迹∈（0，α+）可以通过这些X+m，n，m的修正来构造∈ N、 N∈ N、 让第一个→ ∞ 然后我→ ∞.4.2定理2.5的证明作为准备，我们将首先建立一个辅助结果，该结果处理正则变化函数的某些积分的渐近行为。引理4.2。假设L：（0，1]→ [0, ∞) 以0和0为界∞ 在任何形式（u，1）的集合上∈ （0,1），并在0时缓慢变化。此外，让α∈ (-, ∞) 和k≥ 1.国际单项体育联合会∈ [k]- 1，k]\\{0}，然后（i）limn→∞Zkk-1.xαL（x/n）L（1/n）- bαL（b/n）L（1/n）dx=Zkk-1（xα- bα）dx<∞,（二）林→∞Zkk-1x2αL（x/n）L（1/n）-L（b/n）L（1/n）dx=0。证据我们只证明（i）as（ii）可以类似地表示。通过定义0时的缓慢变化，函数fn（x）：=xαL（x/n）L（1/n）- bαL（b/n）L（1/n）, 十、∈ [k]- 1，k]\\{0}，满足极限→∞fn（x）=（xα-bα）对于任意x∈ [k]-1，k]\\{0}。鉴于支配收敛定理，有必要为函数fn，n找到一个可积的支配函数∈ N

支配结构的构造与命题2.2的证明非常相似，但我们提供细节是为了方便读者。使用波特界（4.1）和不等式（u+v）≤ 2u+2v，我们发现这适用于anyx∈ [k]- 1，k]\\{0}，0≤ fn（x）≤ 2x2αL（x/n）L（1/n）+ 2b2αL（b/n）L（1/n）≤ 2Cδx2αmaxxδ，x-δ+ b2αmaxbδ，b-δ=: f（x），我们选择δ∈ (0, α +). 当k≥ 我们有x≥ 1和b≥ 1，sof（x）=2Cδx2（α+δ）+b2（α+δ）是[k]上x的有界函数-1，k]。当k=1时，我们有x≤ 1和b≤ 1，意味着f（x）=2Cδx2（α）-δ） +b2（α）-δ),式中2（α）- δ) > -1我们选择δ，所以f是（0，1）上的可积函数。定理2.5的证明。让t∈ R固定。

写Xn（t）asXn（t）=κXk=1Zt会很方便-K-1nt-千牛（吨）- s） αLg千牛σT-千牛dW（s）+NnXk=κ+1Zt-K-1nt-kngbknσT-千牛dW（s）。此外，我们引入了X（t）的辅助近似，即Xn（t）=NnXk=1Zt-K-1nt-kng（t）- s） σT-千牛dW（s）+Zt-Nnn-∞g（t）- s） σ（s）dW（s）。根据闵可夫斯基的不平等性，我们有|Xn（t）- X（t）|≥ E|Xn（t）- Xn（t）|- E|Xn（t）- X（t）|,E|Xn（t）- X（t）|≤ E|Xn（t）- Xn（t）|+ E|Xn（t）- X（t）|,这些加在一起，在取方块后，意味着- 2灌肠+灌肠！≤ E|Xn（t）- X（t）|≤ En1+2 EnEn+EnEn！，（4.9）式中：=E|Xn（t）- Xn（t）|, 恩：=E|X（t）- Xn（t）|.使用It’o等距，并回顾σ是协方差平稳的，我们得到en=NnXk=1Zt-K-1nt-kng（t）- s） EσT-千牛- σ（s）ds≤ 苏普∈（0，n]E|σ（u）- σ(0)|Z∞g（s）dsandEn=κXk=1Zt-K-1nt-千牛（t）- s） αLg千牛- g（t）- （s）EσT-千牛ds+nXk=κ+1Zt-K-1nt-千牛Gbkn- g（t）- （s）EσT-千牛ds+NnXk=n+1Zt-K-1nt-千牛Gbkn- g（t）- （s）EσT-千牛ds+Zt-Nnn-∞g（t）- s） E[σ（s）]ds=E[σ（0）]（Dn+Dn+Dn+Dn），其中Dn:=κXk=1Zknk-1nsαLg千牛- g（s）ds，Dn:=nXk=κ+1Zknk-1nGbkn- g（s）ds，Dn:=NnXk=n+1Zknk-1nGbkn- g（s）ds，Dn:=Z∞Nnng（s）ds。（我们可以假设Nn>n>κ，而不丧失一般性，因为这将是largeenough n的情况。）接下来，我们分别研究了Dn、Dn、Dn和Dn的渐近行为，表明Dn、Dn和Dn与Dn相比可以忽略不计，Dn给出了定理2.5中给出的收敛速度。让我们首先分析术语Dn、Dn和Dn。通过（A3）和（A4），我们得到了n=ONnn2β+1!= Onγ（2β+1）, N→ ∞. （4.10）关于术语Dn，回想一下，通过（A2）有M>1，使得x7→ |g（x）|是非递增的n[M，∞). 根据中值定理，Gbkn- g（s）= |g（ξ）|bkn- s≤nsupy∈[1，M]| g（y）|，k-1n<M，n | gK-1n|,K-1n≥ M、 式中ξ=ξ（bkn，s）∈ [k]-1n，kn]。因此，林爽→∞nDn≤ （M）- 1） supy∈[1，M]g（y）+Z∞g（s）ds<∞,这意味着dn=O（n-2） ，n→ ∞.

（4.11）为了分析Dn的行为，我们用y=ns替换并调用（A1），yieldingDn=κXk=1Zkk-1.伊恩αLg千牛- G伊恩!dyn=n-（2α+1）Lg（1/n）κXk=1Zkk-1y2αLg（k/n）Lg（1/n）-Lg（y/n）Lg（1/n）其中，引理4.2（ii），我们有limn→∞Zkk-1y2αLg（k/n）Lg（1/n）-Lg（y/n）Lg（1/n）dy=0对于任何k=1，κ. 因此，我们发现→∞Dnn-（2α+1）Lg（1/n）=0。（4.12）Dn项的渐近行为更容易分析。通过（A1），替换y=ns，我们可以写出n=nXk=κ+1Zkk-1.Gbkn- G伊恩dyn=n-（2α+1）nXk=κ+1Zkk-1.bαkLgbkn- yαLg伊恩dy=n-（2α+1）Lg（1/n）nXk=κ+1An，k，其中，k:=Zkk-1.yαLg（y/n）Lg（1/n）- bαkLg（bk/n）Lg（1/n）让我们研究sumPnk=κ+1An，kas n的渐近行为→ ∞. 通过引理4.2，我们得到了k∈ N、 林恩→∞An，k=Zkk-1（yα）- bαk）dy<∞.然后利用支配收敛定理推导出thatlimn→∞nXk=κ+1An，k=∞Xk=1Zkk-1（yα）- bαk）dy=J（α，κ，b）<∞, （4.13）我们寻找一个序列{Ak}∞k=κ+1 [0, ∞) 例如：0≤ 安，k≤ Ak，k=κ+1，n、 n∈ N.还有∞k=κ+1Ak<∞. 让我们假设，在不失去普遍性的情况下，κ=0。显然，我们可以设置A:=supn∈南，1<∞. 现在考虑一下k≥ 2.类似于本案的结构与命题2.2的证明中的一些论点相似，但为了澄清起见，我们提供了细节。

通过加减bαkLg（y/n）Lg（1/n）并使用不等式（u+v）≤ 2u+2v，威格坦，k=yαLg（y/n）Lg（1/n）- bαkLg（y/n）Lg（1/n）+bαkLg（y/n）Lg（1/n）- bαkLg（bk/n）Lg（1/n）≤ 2Zkk-1（yα）- bα（k）Lg（y/n）Lg（1/n）dy+2b2αkZkk-1.Lg（是/否）- Lg（bk/n）Lg（1/n）dy=：In，k+In，k.（4.14）回想一下Lg:=infx∈（0,1]Lg（x）>0，因此通过估计b2αk≤ max{k2α，（k-1)2α} ≤ 2（k）-1） 2α，当α<时有效，我们得到，k≤Lg（k）- 1） 2αZkk-1.Lg（是/否）- Lg（bk/n）dy.注意，由于（A1）和中值定理，|Lg（y/n）- Lg（bk/n）|=|Lg（ξ）|伊恩-bkn≤C（1+ξ）-1） n≤Cn+Ck- 1.≤2Ck- 1，式中ξ=ξ（y/n，bk/n）∈ [k]-[1n，kn]以及自k以来的最终不等式- 因此，In，k≤16CLg（k- 1)2(α-1). （4.15）此外，波特界（4.1）和不等式（4.2）也适用于≤ 2αCδZkk-1（min{y，bk}）2（α-1） y2δdy≤ 21+2δαCδ（k- 1)2(α-1+δ，（4.16）我们选择δ∈ (0,- α). 将边界（4.15）和（4.16）应用到（4.14）中，可以看出an，k≤ 21+2δαCδ（k- 1)2(α-1+δ）+16CLg（k- 1)2(α-1） =:Ak，其中2（α-1) < -1和2（α-1 + δ) < -1我们选择δ，所以∞k=1Ak<∞. 因此，我们展示了（4.13），这反过来意味着~ J（α，κ，{bk}∞k=κ+1）n-（2α+1）Lg（1/n），n→ ∞. （4.17）我们现在将使用获得的渐近关系（4.10）、（4.11）、（4.12）和（4.17）来完成证明。为此，引入关系xn将是方便的 对于任意序列{xn}∞n=1和{yn}∞n=1个满足limn的正实数→∞xnyn=∞. 到（4.12），我们已经 Dn。由于2α+1<2，我们发现 Dn，鉴于（4.11）。假设γ>-2α+12β+1相当于-（2α+1）>γ（2β+1），所以通过慢变函数的估计（2.2），我们得到了Dn Dn。接下来就是~ E[σ（0）]脱氧核糖核酸n→ ∞. 此外，条件（2.10）意味着 EN

鉴于（4.9），我们最终发现E[|Xn（t）- X（t）|]~ E[σ（0）]Dnasn→ ∞, 这就完成了证据。4.3方程（3.5）的证明为了证明（3.5），我们依赖于高斯超几何函数的以下积分恒等式。引理4.3。无论如何∈ (-1.∞) 和0≤ a<b，Za（a）- x） α（b）- x） αdx=aα+1bαα+1F- α、 1，α+2，ab.证据在a=0的情况下，断言的标识变得微不足道，因此我们可以假设a>0。代入y=xa，我们得到za（a）- x） α（b）- x） αdx=aα+1bαZ（1- y） α1.-阿比αdy.使用欧拉公式[17，第59页]，我们发现z（1- y） α1.-阿比αdy=Γ（1）Γ（α+1）Γ（α+2）F- α、 1，α+2，ab,式中，Γ表示伽马函数，观察到这一步是有效的，因为在我们的假设下，α+2>1>0和0<ab<1。通过伽马函数Γ和β函数B之间的联系（参见[17，p.9]），我们进一步得到Γ（1）Γ（α+1）Γ（α+2）=B（1，α+1）=Z（1）- x） αdx=α+1，结束证明。等式（3.5）的证明。让α∈ (-,) \\ {0}设j，k=2，κ+1使得j<k。通过等距，我们有∑j，k=E[Wn0，j-1Wn0，k-1] =锌J- 1n- sαK- 1n- sαds=n2α+1Z（j- 1.- x） α（k）- 1.- x） αdx，这里我们代入x=ns。上面的第二个积分现在可以用z（j）表示- 1.- x） α（k）- 1.- x） αdx=Zj-1（j）- 1.- x） α（k）- 1.- x） αdx-Zj-2（j）- 2.- x） α（k）- 2.- x） αdx=α+1（j- 1） α+1（k）- 1） αF- α、 1，α+2，j- 1k- 1.- （j）- 2） α+1（k）- 2） αF- α、 1，α+2，j- 2k- 2.!,其中第二个等式来自引理4.3，它适用于第二条直线上的两个积分，即0<j- 1<k- 1和0≤ J- 2<k- 2.感谢Heidar Eyjolfsson和Emil Hedevang就BSS过程的模拟进行了有益的讨论，并感谢Ulises M’arquez对符号计算的帮助。

我们的研究得到了CREATES（DNRF78）的支持，该项目由丹麦国家研究基金会、奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和经济计量分析”）和芬兰科学院（项目258042）资助。参考文献[1]E.Al`os、J.A.Le`on和J.Vives（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为。金融斯托奇。11 (4), 571–589.[2] S.阿斯穆森和P.W.格林（2007）。随机模拟：算法与分析，纽约斯普林格。[3] O.E.巴恩多夫-尼尔森（2012）。关于gamma内核的注释。蒂勒中心研究报告，第03期，2012年5月，可在http://data.math.au.dk/publications/thiele/2012/math-thiele-2012-03.pdf.[4] O.E.巴恩多夫-尼尔森、F.E.本思和A.E.D.维拉特（2013）。利用波动率调制的L’evy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利19（3），803-845。[5] O.E.巴恩多夫-尼尔森，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2011）。布朗平稳过程的多功率变化。伯努利17（4），1159-1194。[6] O.E.巴恩多夫-尼尔森，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2013）。布朗半平稳过程高阶微分泛函的极限定理，载于A.N.Shiryaev，S.R.S.Varadhanand E.Presman（编辑）Prokhorov和当代概率论，第69-96页，柏林斯普林格。[7] O.E.巴恩多夫-尼尔森、M.S.帕克卡宁和J.施密格尔（2014）。评估相对波动性/间歇性/能量耗散。电子J、 《美国统计》第8（2）号，1996–2021。[8] O.E.巴恩多夫-尼尔森和J.施密格尔（2007）。范围过程：在F.E.Benth、G.Di Nunno、T.Lindstrom、B.Oksendal和T.Zhang（编辑）的《随机分析与应用》，Abel Symp.第2卷，关于湍流和肿瘤生长的应用。，第93-124页，柏林斯普林格。[9] O.E.巴恩多夫-尼尔森和J.施密格尔（2009）。

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