输入不确定性下随机模拟中的风险量化

输入模型不确定性：我们为什么关心它？我们应该怎么做？。2003年冬季模拟会议的筹备工作。IEEE，新奥尔良，洛杉矶，90-100。L洪杰夫、胡兆林和刘广武。2014.风险价值和风险左值条件的蒙特卡罗方法：综述。ACM建模和计算机模拟交易24,4（2014），1-37。海兰、巴里·L·纳尔逊和杰里米·斯塔姆。2010.通过两级模拟进行预期空头风险度量的置信区间程序。运筹学58,5（2010），1481-1490。李成海。1998.条件期望的蒙特卡罗计算。博士论文。斯坦福大学，斯坦福，美国。刘明和杰里米·斯塔姆。2010.有效嵌套模拟预期短缺的随机克里格法。《风险杂志》12,3（2010），3-27。R Tyrrell Rockafellar和Stanislav Uryasev。2000.条件风险值的优化。《风险2》杂志（2000），21-42页。克里斯托弗·鲁维内斯。1997年，与h var.Risk 10，2（1997），57-63一起进入希腊。罗伯特·J·瑟林。2009.数学统计的近似定理。第162卷。约翰·威利父子公司。恩海·桑格和巴里·纳尔逊。2015.快速评估输入不确定性的贡献。IIE交易47（2015），893–909。G.斯特克利。2006.估计条件期望的密度。博士学位。康奈尔大学，纽约州伊萨卡。孙丽华和我是杰夫·洪。2010.风险价值和条件风险价值的重要性抽样估计的渐近表示。运筹学通讯38,4（2010），2 4 6–2 5 1。ACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年0月24日。Zh u，T.Liu和E.周云鹏孙，Daniel W Apley和Jeremy Staum。2011.估算条件期望方差的有效嵌套模拟。

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这一结果与[Gordy and Juneja 2010]中的命题1非常相似。这里的预测将主要遵循[Gordy and Juneja 2010]的证据。回想一下，efm（·）是带噪平均r响应bHM（θ）的c.d.f.，vMα是bHM（θ）的精确α级VaR。因此，eFM（vMα）=α。通过泰勒展开，我们得到了α=eFM（vMα）=eFM（vα）+（vMα）- vα）efM（vα）+（vMα- vα）ef′M（71vmα），其中71vmα位于vMα和vα之间。因此，α-eFM（vα）=（vMα- vα）efM（vα）+（vMα- 此外，请注意efm（vα）=Zvα-∞efM（t）dt=ZRZvα-e/√M-∞pM（t，e）dtde，（.4）c 2017年ACM。10 4 9-3301/2017/-ART0$15.00DOI:0000001.0000001ACM建模与计算机模拟交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。App–2 H.Zh u，T.Liu和E.Zhou和α=F（vα）=Zvα-∞f（t）dt=ZRZvα-∞pM（t，e）dtde。（.5）结合（.4）和（.5），我们有α-eFM（vα）=ZRZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde。（6）通过泰勒展开，我们得到了pM（t，e）=pM（vα，e）+（t）- vα）tpM（vα，e）+（t- vα）tpM（ˋvα，e），其中ˋvα位于vα和t之间。因此，α-eFM（vα）=ZRZvαvα-e/√MpM（vα，e）dtde+ZRZvαvα-e/√M（t）- vα）tpM（vα，e）dtde+ZRZvαvα-e/√M（t）- vα）tpM（ˋvα，e）dtde。（.7）满足Zrzvαvα右侧的第一项-e/√MpM（vα，e）dtde=ZRe√MpM（vα，e）de=f（vα）√ME[\'EM|H（θ）=vα]=0。（.7）satieszrzvαvα的第二项-e/√M（t）- vα）tpM（vα，e）dtde=-2MZRetpM（vα，e）de=-2米tZRepM（vα，e）de=-2米tf（vα）E[τθ| H（θ）=vα]=-M∧′（vα）。根据假设3.2，（.7）的第三项的顺序为OM（M）-). 因此，α-eFM（vα）=-M∧′（vα）+OM（M-). （.8）结合（.8）和（.3），我们有（vMα）- vα）efM（vα）+（vMα- vα）ef′M（ˇvMα）=-M∧′（vα）+OM（M-),注意，根据假设3.2，很容易看出ef′M（t）对于所有t和dm是一致有界的。结合引理B.1，引理B.2成立。引理B.3的证明。证据

结果她的e与[Gordy and Juneja 2010]中的提案3非常相似，我们的pro of将主要遵循[Gordy and Juneja 2010]的公关。注意，平均值orem，cMα=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vMα}i=1- αZ∞vMαtefM（t）dtACM关于建模和计算机模拟的交易，第0卷，第0号，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性条件下随机模拟的风险量化App–3=1- αZ∞vαtefM（t）dt+1- αZvαvMαtefM（t）dt=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i+1- α（vα）- vMα）tvefM（tv），其中tv位于vα和vMα之间。通过引理B.2，我们知道- α（vα）- vMα）tvefM（tv）=vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。因此，cMα=1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i+vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。进一步通知1- αeHM（θ）·1{eHM（θ）≥ vα}i=1- α-ZRZ∞vα-e/√M（t+e）/√M） pM（t，e）dtde，cα=1- αE[H（θ）·1{H（θ）≥ vα}]=1- α-ZRZ∞vαtpM（t，e）dtde和zrz∞vαepM（t，e）dtde=Z∞vαE[~EM | H（θ）=t]f（t）dt=0。因此，cMα- cα=1- αZRZvαvα-e/√MtpM（t，e）dtde+√NZReZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde+vα∧′（vα）（1）- α） M+oM（M）。（.9）类似于从（.6）到（.8）的推导（通过泰勒e展开），我们有1- αZRZvαvα-e/√MtpM（t，e）dtde=-∧（vα）（1）- α） M-vα∧′（vα）（1）- α） M+OM（M-), （.10）和1- α√NZReZvαvα-e/√MpM（t，e）dtde=2∧（vα）（1）- α） M+OM（M-).（.11）组合（.9），（.10）和（.11），（B.4）成立，引理B.3是引理B.4的证明。证据让我们首先建立（B.5）。为了简单起见，我们分别使用G（·）和deGM（·）来表示F（·）和fm（·）的反函数。此外，deno-teU（θ）=eFM（bHM（θ））。显然，bHM（θ）=eGM（U（θ））和vMα=eGM（α）。很容易看出U（θ）均匀分布在[0,1]上。此外，从HM（θ（1））<·bHM（θ（N））的关系中，我们知道U（θ（1））<·U（θ（N））是NI.i.d.均匀分布随机变量的对应顺序统计量。进一步，ACM建模与计算机模拟事务，第0卷，第2期。

0，第0条，出版日期：2017年。App–4 H.Zh u，T.Liu和E.Zhoulet我们用bFnu（·）表示由u（θ）诱导的样品c.d.f。。。，U（θN）。也就是isbFNu（t）=NNXi=11{U（θi）≤ t} 。通过引理A.1，我们知道u（θ（αN））- α =α -NNXi=11{U（θi）≤ α}!+ Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（12）此外，通过泰勒展开，evN，Mα=bHM（θ（αN））=eGM（U（θ（αN））=eGM（α）+（U（θ（αN））- α） eG′M（α）+（U（θ（αN））- α） eG′M（u）=vMα+efM（vMα）（u（θ（αN））- α) +-ef\'M（eGM（u））efM（eGM（u））！（U（θ（αN））- α） ，其中u位于u（θ（αN））和α之间，我们使用的事实是eGM（α）=vMα，eG′M（α）=1/efM（vMα），andeG′M（u）=ef′M（eGM（u））/efM（eGM（u））。因此，evN，Mα- vMα=efM（vMα）（U（θ（αN））- α) +-ef\'M（eGM（u））efM（eGM（u））！（U（θ（αN））- α).（.13）另一方面，通过[Ser fling 2009]中的引理2.5.4B，我们得到了足够大的| U（θ（αN））- α| ≤ 2N-（日志N）。结合（.12）和（.13），我们得到了evn，Mα- vMα=efM（vMα）（NNXi=11{U（θi）≤ α} - α!+ Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4））=efM（vMα）NNXi=11{U（θi）≤ α} - α!+efM（vMα）Oa。s、 （N）-3/4（对数N）3/4）=efM（vMα）NNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}- α!+efM（vMα）Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（14）注意efm（vMα）是严格正的，而efm（vMα）是负的→ f（vα）为M→ ∞. 因此，supM1/efM（vMα）<∞. 因此，（B.5）成立。它还有待展示（B.6）。请注意，根据定义CN，Mα- cMα=（1- α） NNXi=1bHM（θi）1{bHM（θi）≥ evN，Mα}- cMα=evN，Mα+（1- α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+- cMαACM建模与计算机模拟交易，第0卷，第1期。

0，第0条，出版日期：2017年。输入不确定性下随机模拟中的风险Qu反定位App–5=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα+evN，Mα- vMα+(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+=NNXi=1vMα+1- αbHM（θi）- vMα+- cMα！+(* ),在哪里(*) :=evN，Mα- vMα+(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+.我们只需要证明这一点(*) 符合Oa的顺序。s、 （N）-1log N）统一适用于所有M。注意，第二项(*)(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- evN，Mα+-bHM（θi）- vMα+=(1 - α） NNXi=1hbHM（θi）- evN，Mα1{bHM（θi）≥ evN，Mα}-bHM（θi）- vMα1{bHM（θi）≥ vMα}i=（1- α） NNXi=1hvMα- evN，Mα1{bHM（θi）≥ evN，Mα}i+（1）- α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≥ evN，Mα}- 1{bHM（θi）≥ vMα}i=（1- α） NvMα- evN，Mα+(1 - α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i+（1）- α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i=（1）- α） NvMα- evN，Mα+(1 - α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i+(* * *),在哪里(* * *) =(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i.进一步注意evN，Mα- vMα+(1 - α） NvMα- evN，Mα《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。App-6 H.Zh u、T.Liu和E。

周+（1）- α） NNXi=1hevN，Mα- vMα1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i=（1）- α)evN，Mα- vMα“NNXi=11{bHM（θi）≤ evN，Mα}- α#=(1 - α)evN，Mα- vMα“NNXi=11{U（θi）≤ U（θ（αN））}- α#=(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））- α△= (**).注意(*) = (**) + (***), 我们只需要证明这一点(**) 及(* * *) 两者都是Oa的理论基础。s、 （N）-1log N）适用于所有M。通过[Ser fling 2009]中的引理2.5.4B，我们知道，对于足够大的N（可以倾斜），这对所有M都是一致的，如（.14））|evN，Mα- vMα|≤efM（vMα）N-（日志N）。（.15）此外，通过应用[Ser fling 2009]中关于U（θ）的定理2.5.1和引理2.5.4B，我们得到了足够大的N | bFNu（α）- α|=2 N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（.16）在[Ser fling 2009]onU（θ）中应用引理2.5.4B和引理2.5.4E（c=2，q=1/2），我们有足够大的N | bFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）|=2N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。（.17）结合（.16）和（.17），我们有足够大的N | bFNu（U（θ（αN）））- α| ≤ 4N-（logn）+Oa。s、 （N）-3/4（日志N）3/4）。与（.15）相结合，我们有足够大的N（所有M都是统一的）(**) =efM（vMα）N-1（logn）+Oa。s、 （N）-5/4（日志N）5/4）鉴于supM1/efM（vMα）<∞, 我们有(** ) 在Oa的背景下。s、 （N）-1日志N）对所有M都是一致的。剩下的是显示(* * *) 也符合Oa的顺序。s、 （N）-1log N）适用于所有M|(* * *)| =(1 - α） NNXi=1bHM（θi）- vMαh1{bHM（θi）≤ vMα}- 1{bHM（θi）≤ evN，Mα}i≤(1 - α)evN，Mα- vMαNNXi=11{bHM（θi）≤ vMα}-NNXi=11{bHM（θi）≤ evN，Mα}=(1 - α)evN，Mα- vMαNNXi=11{U（θi）≤ α} -NNXi=11{U（θi）≤ U（θ（αN））}=(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）.ACM建模与计算机模拟事务，第0卷，第1期。

0，第0条，出版日期：2017年。在输入不确定性App–7By（.15）和（.17）下的随机模拟中，我们有足够大的N（所有M都是均匀的）(**) ≤(1 - α)evN，Mα- vMαbFNu（U（θ（αN）））-bFNu（α）=efM（vMα）N-1（logn）+Oa。s、 （N）-5/4（日志N）5/4）.同样，考虑到supM1/efM（vMα）<∞, 我们有(* * *) 按照A的顺序。s、 （N）-1log N）适用于所有M。《建模与计算机模拟ACM交易》，第0卷，第0期，第0条，出版日期：2017年。