全球回报溢出：一种网络方法

和下午3:00时的市场j（时区调整），我们使用t–1时市场i的回报来解释t时市场j的回报。同样，如果市场j在下午5:00收盘，我们现在使用t时市场i的回报来解释t时市场j的回报。如果没有适当的回报调整，我们：（a）通过测试j结束≠> 我，而不是我想要的≠> j、 或者（b）我们使用市场i上更古老的数据关联市场j时间的回报，这降低了我们找到有意义关系的能力。我们还必须考虑其他可能导致收益不一致的来源：a.我们考虑交易时间的变化，特别是与交易时间有关的变化。似乎大多数使用日常数据并执行某种形式的数据同步的研究只报告了当前的关闭时间。未考虑关门时间的可能历史变化。这个问题对于格兰杰因果关系检验很重要，因为在分析的时间段内的一些变化也会导致不同的收益率调整。例如，market i可以在市场j之前结束其交易日，但在交易时数发生变化后，市场i在市场j收盘后结束其交易日。因此，人们需要“符号化”≠>” 表示格兰杰非因果关系，即应理解为“非格兰杰原因”。注意，这是给j的≠> 我需要一个不同的返回路线。检查营业时间的变化，并相应地更改退货调整流程。b、 一些国家没有使用夏令时（更不用说一个国家内的一些地区可能会使用夏令时，而另一些地区可能不会）。一些国家正在逐年确定夏令时（如阿根廷）。

此外，调整时间的日期逐年不同，可能并非所有国家都相同。所有这些变化也被考虑在内。c、 确定最后一个价格所属的确切时间并不总是简单的。市场采用不同类型的收盘拍卖。对于某些市场，在收盘拍卖期间价格不会发生变化，只会确定数量。对于某些市场，价格可能会在交割期间发生变化，和/或最后一个价格所属的时间是未知的，因为接受订单的时间段是根据日常情况随机确定的。在后一种情况下，我们使用了最后可能交易的收盘时间，即最晚收盘拍卖结束的时间。如果收盘拍卖不是基于常规交易期间最后一次已知的价格，我们总是尝试在收盘拍卖后使用收盘时间。3.应用方法学3。1 Granger因果关系检验我们通过Granger因果关系检验构建了回报溢出网络（Granger因果关系见Granger 1969、1980）。在时间t，时间序列yti的信息集表示为asIyt。类似地，对于时间序列xtit被表示为Ixtand It={Iyt，Ixt}。我们说xtis Grangerytin就Itif而言意味着：  11Ttyttiye（1）在本文中，我们将使用Granger因果关系检验，最初在Cheung和Ng（1996）中提出，作为方差中的Granger因果关系检验。根据Hong（2001）的建议，对较小样本的测试统计数据进行了调整，测试统计数据也将进行调整。除了搜索股票市场主页和网络搜索外，我们还通过联系样本中的所有证券交易所对我们的发现进行了双重检查。

在第一次调查中没有回应的交易所在一个月后再次联系。总体而言，我们在审查期内的所有分析市场中发现了33项变化（延长或减少交易时间）。考虑可能的同期因果关系，并将在滚动样本中计算。Cheung和Ng（1969）检验的目的是检验标准化条件平均回报率的交叉滞后相关系数的显著性。首先，通过合适的ARFIMA-GARCH模型过滤每个系列的回报RTI。平均方程定义为： TQJJJTDPIIITTLZLZR 11111(2) 1,0~，iidtttt式中，ηt遵循约翰逊-苏分布（约翰逊，1949a，b），概率密度函数：   22/122zJexf（3） 其中z=-1（sinh-1（x）–λ）和J=-1（x+1）–1/2。这里λ和是参数，用于确定分布的偏度和峰度。这种分配选择考虑了不对称和极端的尾部市场事件（例如Choi和Nam，2008）。其他非线性可以通过允许方差σ由阿加奇过程建模来捕捉。除了Bollerslev（1986）的标准GARCH模型外：SLLTLRKKT12122（4） 考虑了其他几个模型；AVGARCH（Taylor，1986年）、NGARCH（Higginsand Bera，1992年）、EGARCH（Nelson，1991年）、GJR-GARCH（Glosten等人，1993年）、APARCH（Ding等人，1993年）、NAGARCH（Engle和Ng，1993年）、TGARCH（Zakoian，1994年）、FGARCH（Hentschel，1995年）、CSGARCH（Lee和Engle，1999年）。均值和方差方程都是在一步内估计的——似然函数。

整个分析在R软件中使用rmgarch（Ghalanos，2012a）和rugarch（Ghalanos，2012b）软件包进行。对于每个系列，根据以下步骤选择首选规格。首先，在p、q、r、s=1、2和d=0的所有组合下，对包括所有不同方差方程规格的ARFIMA（p、0、q）-GARCH（r、s）模型进行估计。第二，只保留了此类规范，其中Pe~na和Rodríguez（2006）使用蒙特卡洛临界值进行的测试（见Lin和McLeod，2006）表明标准化残差中没有自相关和条件异方差。这些测试在残差中进行了多达20个滞后，即大约一个交易月。第三，我们选择了参数数量最少（p、q、r、s之和）的模型，因为我们更倾向于更简洁的表示。如果保留了多个模型（通常情况下），则根据贝叶斯信息准则（BIC，Schwartz，1978）选择最终的模型规格。然而，如果没有确定合适的规格，则按照之前的步骤执行步骤1-3，但现在是d≠ 0.如果仍然没有模型符合我们的标准，我们根据BIC从所有ARFIMA-GARCH模型集中选择首选规范。假设我们检验从市场j到市场i，j的格兰杰非因果关系的零假设≠> 我

首选规范中的标准化条件平均回报率（st=εt/σt）用于计算交叉滞后相关性：     0^0^^jjiijckck（5） 在哪里 0,1^1kssTkCTktkjtitij（6）应注意的是，在计算交叉滞后相关性之前，标准化条件下的平均回报率按照下一节2的规定进行了调整。格兰杰非因果关系的零假设（j≠> i） 使用Hong（2001）提出的测试数据进行测试：              1141121122//11/12//1^/TKTKMKKKKKKMKWTMQ（7） 我们使用Bartlett加权方案：1,01,1ZZMJZW（8）在Hong（2001）的经验模拟中表明，M和核函数WD的选择对测试的大小没有影响，而功率的影响很小。在nullNote下，k有时可能（除了等式9所描述的情况）等于0，并且对于检验假设j仍然有效≠> i、 最小k值取决于标准化条件平均回报率的一致性（见第2节）。至少在使用非均匀加权方案时，例如Bartlett或二次谱。假设Q（M）遵循（渐近）标准化正态分布（这是单侧检验）。请注意，（7）是针对给定（预先确定的）带宽M计算的。我们决定使用M=5，因为它对应于一个交易周。选择M=3也被认为会导致几乎相同的结果。对于几个市场（大部分在欧洲），时区调整后的关闭时间是相同的。在这些情况下，我们关注Lu等人。

（2014）并通过允许k=0计算交叉滞后相关性，考虑从市场j到市场i的瞬时回报溢出，即：              1141122022//11/12//1^/TKTKMKKKKKKKWTMQ（9） 我们测试了样本中所有可能对的回报是否存在格兰杰因果关系。这导致了1560次统计测试，错误率可能很高。我们决定在安全方面犯错误，并通过使用显著性水平0.01/（N（N–1））采用了相当保守的Bonferroni调整，其中N是股票市场的数量。为了实现时间变化，我们对12个月的滚动子样本应用了上述程序。12个月的选择是任意的，反映了我们希望能够在下文所述的空间概率模型中测试某些经济变量（可提供年度数据频率）的可能影响。漂移参数等于1。在2006年1月至2014年12月的样本中，我们获得了97个子样本。这种方法类似于Lu等人（2014）提出的方法。3.2股票市场网络建模不是计算一小部分市场的格兰杰因果关系检验，而是对一组40个市场进行分析。这创造了一个相当复杂的关系系统。我们使用图形作为数学构造来提取有意义的信息，例如，哪些市场与其他市场最相关？随着时间的推移，这些关系有多稳定？形式上，定义一个有向图Gt=（V，Et）在时间t处，顶点集为V  N与个别指数相对应。边集 V×V包含指数i，j的所有边（i，j）∈ 其中i=>j，即。

在给定的Bonferroni调整显著性水平下，构建了从市场i到市场j的有向优势，即市场i上的收益残差Granger因果关系市场j上的收益残差。评估网络中市场重要性的最简单方法可能是计算其程度。度–（i）定义为基数：度–（i）={（j，i）∈ Et；J∈ 五} |（10）类似地，向外度定义为：deg+（i）=|{（i，j）∈ Et；J∈ 五} |（11）顶点度作为结构重要性度量的概念也可以从以下事实中看出，即它相当于所谓的“度中心”。中心顶点定义为顶点度数最高的顶点。Billioet al.（2012）也使用了类似的测量方法，他们使用格兰杰因果关系的程度作为边与所有可能边和连接数（标准化的输入和输出度）之和的比率。市场的程度是一个地方性的衡量标准，因为它只考虑了它的直接联系。Billio et al.（2012）还使用了一种全局中心性度量，即封闭性，但它不适用于非强连接的图（与其他市场没有任何关系的分段市场）或节点不可到达的图（格兰杰导致其他市场的市场，但不是由其他市场引起的市场）。调和中心度是一种相对较新的度量方法，可以避免上述缺陷。继Boldi和Vigna（2014）之后，市场i的和谐中心性可以定义为：   其中d（i，j）是从顶点i到顶点j的最短路径。如果不存在这样的路径，d（i，j）=∞, 我们将1/d（i，j）=0。

市场的和谐中心度越高，给定网络中的市场就越中心，或者换言之，信息流动的市场就越重要。顶点中心性的概念可以进一步适用于整个网络。我们将提到集中化等措施。根据弗里曼（1979）的观点，有两种完全不同的方法来理解网络的集中化。第一种方法是基于网络紧性的概念，这导致集中度量，它试图度量顶点之间的距离。本研究中使用了两种这样的集中措施。标准化平均出/入学位：  1deg1iviv（13） 平均谐波中心度： 1iVHiV（14） 第二种方法基于最中心的顶点与网络中所有其他顶点之间的相对差异的直觉，即更集中的网络（就中心性而言）更受一个或一小群顶点的支配。为此，我们使用了外学位和内学位集中：      最大deg deg21jiVjinn(15)      最大deg deg21jiVjinn（16） 最后，使用Onnela等人（2003b）中的生存率来考虑网络的稳定性，这只是生存边的比率。将ETA称为时间t时格兰杰因果网络的一组边。时间t时的一步生存率定义为： STTEETSSR ,1（17）时间t的多步存活率为： sttTeeetSSR...,1（18）式中，s为步数。3.3空间益生菌我们认为每一条边缘都代表着一种关系的存在或不存在，因此分析与边缘产生相关的特征是很有趣的。

例如，较大市场的指数回报率是否更有可能格兰杰导致其他市场指数的回报率？还有哪些因素有助于解释边缘的产生？对网络中边的存在/不存在进行建模，自然会产生一个logit/probit类型的模型，带有一个二元因变量。我们复制了V'yrost等人（2015）中使用的空间益生菌方法。当我们同时考虑网络中所有可能的边缘时，会出现一些问题。例如，可以合理地假设可能存在一些边缘聚类。因此，在任何两个市场之间形成优势的可能性可能取决于顶点的性质，以及它们现有联系的数量。这种依赖性在边缘创建的建模中引发了一些内生性问题——显然，单个边缘不能被视为彼此独立。为了解决这个问题，我们估计了McMillen（1992）和LeSage（2000）提出的空间概率模型，其中考虑了边缘之间的相互依赖性（有关空间模型的概述，请参见LeSage，2010）。为了构建模型，我们首先定义了因变量和自变量。在我们的设置中，感兴趣的变量对应于给定节点之间存在的链接。如果（i，j），我们设置eijt=1∈ Et，否则eijt=0。我们称E为所有边缘指标的矩阵eijt。为了获得因变量（指定为y），我们首先对边指标矩阵进行向量化（通过计算vec（E）），然后排除与E的对角线对应的元素，因为我们对建模循环不感兴趣——这些在格兰杰分析中没有经济意义。

因此，我们得到了长度为N（N–1）的向量y。接下来，我们定义空间权重矩阵，以指示相邻观测值，从而对空间相关性进行建模。在我们的例子中，我们必须为y中的所有潜在边定义空间权重矩阵W，因此W是阶数为N（N–1）×N（N–1）的矩阵。一般来说，对于任意两条不同的可能边（i，j）∈  V×V和（k，i）∈  V×V如果可能的边共享传出或传入顶点（i=k或j=l），我们将W的对应元素设置为1，否则设置为0。空间滞后模型（SAR）的形式如下（LeSage，2000年，2010年）： )1(2**,~,NNI0NεXβWyy（19） 这里，y*代表一个未观察到的潜在变量，它通过以下方式与我们的边缘指标y的变量相关联：0,00,1**iiyyy（20）对于i=1,2，…，N（N–1），从（19）中可以看出，一条边的存在是由矩阵W的非零元素以及外生变量X定义的其他相邻边的存在来建模的。模型参数包括向量β，以及与空间自相关相关的标量ρ。为了估算，我们使用了W的行标准化版本，其中每行元素的总和等于1.4个经验结果和讨论4。1格兰杰因果网络第3.1节中描述的可用性测试产生了97个子样本（从2006年12月到2014年12月）的格兰杰因果网络。每个子样本用于研究过去12个月的回报溢出。回报溢出的最大数量为1560。在我们的经验应用中，平均值为823（相当于平均值/度中心度的52.8%或0.528，见图2）。