复杂期权定价

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英文标题：
《Pricing complexity options》
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作者：
Malihe Alikhani, Bj{\\o}rn Kjos-Hanssen, Amirarsalan Pakravan, and
  Babak Saadat
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider options that pay the complexity deficiency of a sequence of up and down ticks of a stock upon exercise. We study the price of European and American versions of this option numerically for automatic complexity, and theoretically for Kolmogorov complexity. We also consider run complexity, which is a restricted form of automatic complexity.
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中文摘要：
我们考虑的期权支付了股票行权时一系列涨跌波动的复杂性。我们从数值上研究了欧洲和美国版本的自动复杂性，并从理论上研究了科尔莫戈罗夫复杂性。我们还考虑了运行复杂性，它是自动复杂性的一种受限形式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Complexity        计算复杂度
分类描述：Covers models of computation, complexity classes, structural complexity, complexity tradeoffs, upper and lower bounds. Roughly includes material in ACM Subject Classes F.1 (computation by abstract devices), F.2.3 (tradeoffs among complexity measures), and F.4.3 (formal languages), although some material in formal languages may be more appropriate for Logic in Computer Science. Some material in F.2.1 and F.2.2, may also be appropriate here, but is more likely to have Data Structures and Algorithms as the primary subject area.
涵盖计算模型，复杂度类别，结构复杂度，复杂度折衷，上限和下限。大致包括ACM学科类F.1（抽象设备的计算）、F.2.3（复杂性度量之间的权衡）和F.4.3（形式语言）中的材料，尽管形式语言中的一些材料可能更适合于计算机科学中的逻辑。在F.2.1和F.2.2中的一些材料可能也适用于这里，但更有可能以数据结构和算法作为主要主题领域。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Formal Languages and Automata Theory        形式语言与自动机理论
分类描述：Covers automata theory, formal language theory, grammars, and combinatorics on words. This roughly corresponds to ACM Subject Classes F.1.1, and F.4.3. Papers dealing with computational complexity should go to cs.CC; papers dealing with logic should go to cs.LO.
涵盖自动机理论，形式语言理论，文法，和词的组合学。这大致相当于ACM主题类F.1.1和F.4.3。处理计算复杂性的论文应该上CS.CC；处理逻辑的论文应该去CS.LO。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Logic        逻辑
分类描述：Logic, set theory, point-set topology, formal mathematics
逻辑，集合论，点集拓扑，形式数学
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2022-5-8 19:57:57 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Computation appropriate mathematics

定价复杂度选项新泽西州新泽西州立大学罗格斯大学计算机科学系Malie Alikhanid分校08854Bjorn Kjos Hanssen*夏威夷大学数学系马萨诸塞州马诺诺卢分校，华盛顿特区华盛顿大学华盛顿分校金融部96822米拉萨兰·帕克拉万德，华盛顿特区华盛顿州华盛顿州华盛顿州西好莱坞西北诺尔，邮编：20052Babak SaadatKash Co625，邮编：900692018年6月28日摘要我们考虑的期权在行使时支付股票的u-p序列和下跌周期的复杂性。我们研究了该选项的欧洲和美国版本的价格，从数值上考虑了自动复杂性，从理论上考虑了科尔莫戈罗夫复杂性。我们还考虑了RUN复杂性，它是自动复杂性的一种受限形式。关键词：自动复杂性；科尔莫戈罗夫复杂性；选择；选项优先级内容1简介21.1动机。21.2自动复杂性和复杂性效率的概念。31.3期权类型：永久、美国、欧洲。42科尔莫戈罗夫复杂度52.1普通复杂度C。52.2 x-fre前复杂度K与C风格设计。62.3 Pre Fix-Free complexity K及其自然的效率概念。72.4使用运行。8.*通讯作者：比约恩·克霍斯·汉森，夏威夷大学马诺亚分校数学系，檀香山，H i 96822。电子邮件：比约恩。克约斯-hanssen@hawaii.edu.电话。编号+1（808）956-8595。传真号+1（808）956-9139.3复杂度的可计算形式103.1自动复杂度。103.2运行复杂性。

144稳健性175增强内容181简介在本文中，我们考虑美式和欧式期权的定价，以支付金融证券上下波动序列的复杂性、效率或直观的复杂性。我们考虑的复杂性包括罕见的普通和无x前Kolmo gorov复杂性、不确定性自动复杂性和运行复杂性。1.1动机我们认为，对价格路径的复杂性有所了解可能有助于提高财务价值。例如，经纪人可能希望为股票投保过于复杂或过于简单的定价路径。一条非常简单或复杂的路径可能意味着正在发生的事情是nt时代所不知道的。天气在某种程度上是周期性的，自动复杂性在某种程度上衡量周期性。因此，复杂性选项可用作天气衍生工具。赌场老板可能希望确保他们的赌场是真正随机的，以避免意外损失。一般来说，任何对随机性做出假设的人都可能希望避免这种情况，因为真正的随机性不容易保证，甚至不容易完全定义。自动复杂性：介于两个极端之间。当然，我们可以用简单的方法确保某些类型的非随机性。我们可以通过卖空股票来确保股价大幅下跌。这与运行复杂性相对应（第3.2节）。另一方面，不能使用科尔莫戈罗夫复杂性（第2节）作为安全性的基础，因为使用科尔莫戈罗夫复杂性是不可计算的。

不确定性的自动复杂性，既强大到足以识别各种模式，同时又可计算单指数时间，可能是一个很有前途的折衷方案。1.2自动复杂性和复杂性的概念Kolmogorov复杂性是一个重要的概念，在某种程度上，它是复杂性，就像图灵可计算性是可计算性一样。它是可计算逼近的，但不幸的是不可计算。作为补救措施，[SW01]定义了有限二进制字符串x=x的自动复杂性。XnO是确定性有限自动机M的状态数AD（x）的最小值，因此x是M所接受的语言中唯一的长度n字符串。自动复杂性是可计算的，但它确实有一些令人尴尬的特性，这让我们想要调整它的定义。首先，许多用于见证复杂性的自动机都有一个死状态，其唯一目的是吸收任何不相关或不可接受的转换。第二，一些stringsx=x。xn的复杂程度不同于它们的反面xn。x、 例如[HKH14，HKH15]，AD（011100）=4<5=AD（001110）。我们通过引入不确定性来调整自动复杂性的定义。定义1（[HKH15]）。单词w的非确定性自动复杂度AN（w）是接受w的NFA M（没有转换）的最小状态数，使得在长度为| w |的M中只有一条接受路径。qstartqq。qmqm+1xxxxxmm-1xm+1xm+2xm+3xn-3xn-2xn-1X图1：一个不确定的有限自动机，只接受一个字符串x=xxxx。xnof长度n=2m+1。此外，对于本论文来说，最重要的是，ANgives提出了复杂性效率概念的一个典型例子：定理2（[Hyd13，HKH15]）。长度为n（x）的字符串x的非确定性自动复杂性≤ b（n）：=n/2 + 1.校样草图。

证据基本上包含在图1中，尽管如果x的长度相等，我们必须稍微修改图片。定义3。stringx的n非确定性自动复杂性损失由DN（x）=b（n）定义- AN（x），b（n）如定理2所示。有时我们写D（x）代表Dn（x）。通过实验，我们发现大约一半的字符串的Dn（x）=0[HKH15]。在这里，我们称这些字符串为复杂字符串，而其他字符串为简单字符串。1.3期权类型：根据个人、美国、欧洲，我们将提供以下类型的期权及其价格。五、这是永久期权的价格，当我们在一个时间n行使期权时，它会支付效率Dn（x）。（永久期权在这里意味着我们可以在以非负整数标记的任何时间步行使期权。）当使用τ时，永久期权的价格是预期收益的最高值。没有限制τ是可计算的（尤其是，没有限制在下一个市场时间步出现之前有足够的时间来计算τ），但如果这成为一个问题，可能会相应地改变定义。越南。这是美式期权的价格，我们可以在0到n.Wn之间的整数标记的任何时间段行使。这是到期日为n的欧式期权的价格。在这种情况下，我们必须在时间n行使期权，如果有的话。所以Wn=E（max{Dn，0}）。在这里，以及在本文的其余部分，我们总结了潜在的概率分布是由公平硬币度量给出的。在金融环境中，它通常可以通过astock price过程确定的风险中性度量给出。我们已经≤ Wn≤ 越南≤ 五、 第四项。supnEDn≤ supnVn≤ 五、≤ E supnDn。证据对于第一个不平等性，必须证明≤ Vfor每个n。

这是因为一个可行的锻炼策略是无论发生什么，在n时间锻炼的静态策略。对于第三个不等式，有两种情况。案例1：supnDnis几乎肯定是有限的。请注意，dn是整数值，sosupndn将在某个特定阶段实现。让我们神奇地调用preciently策略，等待supndn实现，然后执行该选项。相反，锻炼政策应该是一个停止时间，也就是说，它不应该取决于未来的结果。我们发现，Magically撤销策略的回报比任何行使策略都要高≤ 在这件事上，我支持你。案例2:P（supnDn=∞) > 0 . 那么E supnDn=∞ 我们就这样结束了。备注5。在定理4的情形2中，如果P（supnDn=∞) = ε>0那么我们甚至可以断言V=∞. 的确，如果V<∞ 然后我们可以购买期权，等待Dn>V/ε+1。预期收益至少为（ε）（V/ε+1）=V+ε>V，这将产生套利。在第2节和第3节中，我们将考虑几个复杂度概念，包括o无x前Kolmogorov复杂度K、o普通Kolmogorov复杂度C和o非确定性自动复杂度A。对于每个概念，我们首先定义一个或多个合适的效率概念Dn（x）：例如，Dn（x）=n+cC- C（x）表示一个合适的常数，对于C，和dn（x）=n/2 + 1.- A（x）代表A。对于这些效率概念，以下问题是很自然的：o欧式期权的价格是否倾向于∞?o 美式期权的价格是否趋于稳定∞?o 美式期权是否有有效的可计算行使政策？2科尔莫戈罗夫复杂性2。1简单复杂度CLet cct是最小常数，使得C（x | n）≤ n+cC适用于任意长度的所有字符串x。如果我们定义Dn（x）=n+cC- C（x | n）表示长度为n的x，然后是dn（x）≥ 所有x为0，并且Dn（x）=0会发生。这在理论上是令人愉快的。效率为非负，可以为零。

当然，C取决于我们使用的普通长度条件科尔莫戈罗夫复杂度C（·|·）的版本。在这种情况下，我们有定理6。supnEDn<∞.证据修正n。对于任何a，只有2a+1-1个二进制字符串，长度为mosta。所有见证复杂性的描述（给定n）最多只能包含在其中，因此最多只能包含2a+1-1许多结构都具有大气a的复杂性（给定n）。（这是一个标准参数，参见[DH10，命题3.1.3]）将其应用于a=n+cC-k、 最多2n+cC-k+1-1字符串x（尤其是长度为n的大多数字符串）满足Dn（x）≥ k、 也就是P（Dn（x）≥ （k）≤ 2cC-k+1。那么我们已经=∞Xk=0kp（Dn=k）=∞Xk=1P（Dn≥ （k）≤∞Xk=1cC-k+1=2cC+1。事实证明，对于在时间n到期的期权，有一个比等待到最后的静态策略更好的执行策略：定理7。对于普通Kolmogorov复杂度，supnVn=∞, 即使我们需要有效计算行使政策。证明的思想是使用复杂度振荡，首先由[ML71]观察到：当字符串x的初始部分是长度为x的二进制编码时，x的普通Kolmogorov复杂度将较低。证据[ML71]表明，所有实数的效率都是无界的：对于每个X和b，e是一个n和D（X） n） >b.我们可以通过计算识别出这样的神经网络。众所周知的想法是，我们先做一个准备 M将其视为长度的二进制表示l < 2米；然后考虑σ=X l. 由于σ的开始仅由σ的长度可知，因此σ是可压缩的。这转化为我们选择的行使政策：在授予日期m，我们决定l 我们将在这里锻炼。因此，在g rant日期，我们的期权风格从美国转变为欧洲。备注8。

自C（x | n）≤+C（x），定理e m 7同样适用于长度条件的普通Kolmogorov复杂度，如果我们考虑非长度条件的普通Kolmogorov复杂度，定理6也同样适用。2.2无x前的复杂度K和C-风格的复杂度K表示无x前的Kolmogorov复杂度。Dn（x）=n- K（x），在这种情况下没有限制性的效率分布（或者可以说效率在限制范围内）-∞ 几乎可以肯定）。即K（w）≥ |w|-c代表几乎所有的w，代表任何c。实际上，代表每个c∈ Z、 林恩→∞|σ ∈ 2n:K（σ）≥ N- c | n=1，这很容易用pσ表示-K（σ）<1。如果补码的lim sup是δ>0，那么对于每个ε>0，都存在1≥Xσ-K（σ）=XnX |σ|=n-K（σ）>Xkδ（1）- ε） 2Nk-（Nk）-c） =（1）- ε)δ∞Xkc=∞.定理9。设K表示前自由科尔莫戈罗夫复杂度K和效率Dn（x）=n- K（x）表示长度为n的字符串x。支付Dn的个人期权的价格- a最多21岁-a、 证据。通过[DH10，引理6.2.2]，P（supnDn- a>c）=P(nk（X） n） <n- C- （a）≤ 2.-C-a、 设D+n=max{Dn- a、 0}。因为我们不会行使给予负回报的期权，所以它会跟随电视≤ E（支持+n）=∞Xc=0cpsupnD+n=c=∞Xc=1c PsupnD+n=c=∞Xc=1PsupnD+n≥ C=∞Xc=1PsupnDn- a>c-1.≤∞Xc=1-（c）-1)-a=21-a、 2.3无x前复杂性K及其自然的效率概念定理10（基于K上界的效率）。如果我们假设一个恒常的常数，比如对于前自由科尔莫戈罗夫复杂度K，K（x）≤ n+K（n）+cK表示任意长度n的所有x，且letDn（x）=n+K（n）+cK- K（x）≥ 0，则EDnis有界，但Vn→ ∞.证据与定理6相同的证明，但使用类似的性质证明EDnis有界。然而，在这种情况下，sup Dn（X n） 将会是∞ 对于almostall X∈ 2ω.

事实上，Li和Vit\'anyi显示Dn（X n） >几乎所有X的完整manyn的对数n。Solovay显示lim inf Dn（X n） 将是最后的[MY11]。V=∞ 在这种情况下，因为我们可以简单地等待足够高的Dnvalue。那Vn呢？考虑一个任意常数，为了便于解释，我们将取它等于17。当然会有一个n和Dn（X） n）≥ 17.因此，对于每个ε，都有一个nsuch thatP[n≤n{Dn（X） n）≥ 17} ≥ 1.-ε和so Vn≥ 17(1 -ε). 此外，Vn≤ Vn+1美国选项。所以Vn→ ∞在这种情况下。演习策略是等待Dn=17发生，然后进行演习。效率期权价格概述见表1。备注11。当然，我们不需要只考虑效率问题。可以考虑支付K（x）的期权-n、 该值将以整数形式显示，但速度有多快？如果我们不能使用K，我们的锻炼政策是什么？另一种可能性是考虑与Kolmogorovstructure函数[VV04]及其自动复杂性变量[KH15a]相关的复杂性下降。2.4使用runsRemark 12。一位匿名仲裁人建议采用以下方法获得表格Vn的结果→ ∞. Le t Rnbe是一系列长度n中最长的0，Le t E和Var表示关于{0，1}n上均匀分布的期望和方差。现在，如果U是一个通用的无x机器，我们可以通过以下算法定义另一台机器M：输入x*, 模拟eu，如果U（x*) = x、 thenM（x）*) = f（x）：=x0对数| x|-c对于固定常数c，M的域等同于U的域，因此M也是一个无x的机器。图斯克（x0对数| x|-c）≤+K（x）。现在让m=|f（x）|=|x |+对数| x| - c和y=f（x）。

自K（n）≤+K（m）通过选择m，我们得到了K（y）≤ n+K（n）+cK≤+n+K（m）+cK=（m+K（m）+cK）- （m）- n） andC（y）≤+n+cC=m+cC- （m）- n） 。现在，我们采用了交易策略，即等待输入为x0log | x形式|-c、 然后锻炼。根据下面的定理13，|E（Rn）- logn |和Var（Rn）均以常数c为界。由第3节中的ar gument为界。2.我们很有可能会锻炼身体。因此，对于美国选项而言，支付（x）n+K（n）+cK-K（x）或cC-C（x），我们得到→ ∞.定理13（[Boy72]）。设Rn为长度为n的二进制序列中的最长行程，根据参数为1/2的伯努利分布进行分布。让log=ln。ThenE（Rn）=logn+γln2-+ ε（logn/log2）+r（n），其中ε（α）是满足|ε（α）|<2×10的周期1的函数-6对于所有α，r（n）=O（n-1（对数n））→ 此外，Var（Rn）=+π6（log2）+ε日志nlog 2+ O（n）-1（对数n）），其中ε（α）具有周期1，且|ε（α）|<10-4对于所有α3可计算形式的复杂性3。1自动复杂性现在的目标是对欧洲/美国期权定价，以支付期权行使时从时间0到时间n的股票运动的非确定性自动复杂性。我们怀疑确定准确价格是一个计算上难以解决的问题，这既是因为计算自动复杂性（HKH15）的猜测难以解决，也是因为需要考虑的价格路径的指数数量。利率r可以设置为0或正值。