基于宏观经济的无套利通货膨胀证券估值

最后，有人指出，泰勒公式是针对^ni+1定义的，正如其他变量所解释的，这是名义汇率与其平衡水平的百分比偏差。Bullard&Mitra[11]用更现实的时间假设分析了类似的规则（央行可能会对缺口和通货膨胀的未来预期做出反应，或者可能会考虑它们的滞后值）。此外，正如Woodford[43]所建议的，短期利率可以通过将（8）与自回归过程相结合来平滑。这个框架在某种程度上很简单，因为央行并没有优化任何目标函数：然而，它解释了美联储在过去几十年的行为，如Clarida、Gali&Gertler[14]所示。最后，这个线性规则可以看作是最优策略解的良好线性近似。2.3系统稳定性如果将泰勒规则（8）插入（7）和（6），我们得到以下系统：西皮=σ+δx+kδπσ 1 - βΔπkσk+β（σ+δx）工程安装xi+1pi+1+K（i）- 六）. （9） 通过定义A=σ+δx+kδπ，符号变得更加紧凑σ 1 - βΔπkσk+β（σ+δx）K=σ+δx+KδπKξi=西皮wi=（σui）- vi）。利用上述定义，我们得到了一个更简洁的系统表达式：ξi=AEiξi+1+Kwi。（10） 我们研究了稳定条件，这相当于询问什么样的反应函数——以参数Δπ和Δx为特征——使经济保持在稳定路径上。例如，如果中央银行只响应通货膨胀（即δx=0），我们会问δπ是否必须大于或小于1，即。

如果中央银行必须将短期利率提高到其均衡水平以上，或高于或低于实际汇率。Clarida、Gali和Gertler[14]表明，Δπ>1是沃尔克任期内（美国20世纪80年代早期）美联储的典型特征，其特点是较低的通货膨胀率和产出波动率。经济直觉是，接近于1的反应参数意味着名义汇率以相同的通货膨胀量增加，从而保持实际汇率不变，不会刺激经济。Bullard&Mitra[11]发现，一般来说，当且仅当ifk（Δπ）时，系统是稳定的- 1) + (1 -β） δx>0。（11） 他们通过要求一个圆的两个特征值都位于单位圆内来获得这个规则。Blanchard&Khan[6]也提出了该请求，Flashel&Franke[21]或Walsh[42]也使用了该请求。3使用DSGE进行定价3。1无套利定价引入的设置是标准的（我们遵循了Walsh[42]），但它允许人们使用DSGE宏观经济模型在无套利框架下对通胀衍生品进行定价，只需进行一些小的更改。

总的来说，例如君士坦丁堡[16]中讨论的定价核ψi属性，使我们能够将一个衍生工具的当前值以如下形式书写：hi=EP[ψNHπN | Fi]ψi。在这里，我们建立了一个基于DSGE模型的离散时间玩具定价模型。3.1.1宏观经济模型的使用：投入和产出我们区分投入参数（DSGE模型的结构参数、均衡名义利率、通货膨胀预期、产出缺口预期）和校准参数（波动率和风险的市场价格，稍后介绍）。在衍生工具定价中，校准风险的市场价格不是一个常见的程序，因为现实世界的漂移不是为未定权益定价的经典Black-Scholes框架的输入：然而，DSGEmodel将预期（在P度量下）作为输入。由于这些预期在（10）中起到了撤资的作用，我们需要同时采用通货膨胀预期和市场隐含水平（例如，从零耦合通货膨胀掉期）来校准风险的市场价格。对通货膨胀的预期是一种自我充实的预言：如果有对通货膨胀的预期，那么通货膨胀就会上升。这项工作对通货膨胀市场特别有用，因为人们经常观察到通货膨胀预测和预期与远期计算的通货膨胀水平有显著差异。这种差异可能是由于风险规避和市场供求因素造成的：市场在很大程度上可能是一条“单行道”，总体上是“空头”。换句话说，市场参与者总体上希望对冲通胀。

特别是，养老基金负债必须得到偿付。使用市场预测作为模型输入的想法，虽然在标准衍生定价中不常用，但可以使用理论上一致的宏观经济模型来为流动衍生产品定价。我们建议的算法可以同时校准名义期限结构和零息票流动性指数掉期（ZCII），这样就有很大的灵活性可以根据市场价格进行校准。为了实现这一点，我们探索了主要经济变量的统计特性，正如上面介绍的DSGE模型所暗示的那样。3.1.2流入率的统计特性从方程式（10）中，我们明确地写出了流入率的动力学：pi=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+Kwi。（12） 这里Ai，jis是矩阵A的第（i，j）个元素。该方程表明，通货膨胀动态取决于对产出缺口和通货膨胀的未来预期，加上产出缺口动态和央行行为引入的随机噪声项：我们可以安全地假设其他因素，如测量误差，价格指数篮子再平衡或本框架中未直接建模的任何其他特殊因素，可能会给通货膨胀动态增加噪音。基于这些考虑，我们添加了另一个独立的随机性源，用适应过程{zi}i=0,1我们要求这个过程有零均值，独立于它过去的实现，独立于{ui}i=0,1，。。。和{vi}i=0,1，。。。，以及有限方差Var（zi）、三阶和四阶矩（分别为倾斜（zi）和库尔特（zi））。流入率的新表达式为：pi=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+Kwi+zi。

（13） 因此，其均值、方差和自方差为：E[pi]=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1Var（pi）=（K）（σVar（ui）+Var（vi））+Var（zi）Cov（pi，pi+j）=0，j6=0。我们注意到，波动过程的方差是三个方差的线性组合。如果认为第三个随机性源不建议包括在内，则假设其值始终为0，概率为1。正如人们在以下发展中注意到的，第三个随机性来源主要用于校准阶段，以获得额外的自由度，并且对模型的理论发展没有影响。进程{ui}i=0,1，。。。，{vi}i=0,1，。。。和{zi}i=0,1，。。。。最后，我们计算中心三阶矩和四阶矩：为了更完整地分析它们的分布，可能需要这些矩：Eh（pi- E（pi））i=（K）σ歪斜（ui）- （K） 歪斜（vi）+歪斜（zi）（14）Eh（pi）- E（pi））i=（K）σKurt（ui）+（K）Kurt（vi）+Kurt（zi）+6（K）σVar（ui）Var（vi）+6（K）Var（vi）Var（zi）+6（K）σVar（ui）Var（zi）。（15） 3.1.3短期名义利率的统计特性名义利率定义为¨n（1+^ni）（16），其中¨n是均衡名义利率，即如果泰勒规则要求的调整为零，中央银行将选择的短期利率，如下所示（8）。随后定义了^n，即实际速率和平衡速率之间的对数线性差异。我们将均衡名义利率n作为一个常数输入，可以从研究中获得，因此不会校准到任何交易资产。我们假设短期利率用于贴现不同交易对手之间的付款，即它起到伦敦银行同业拆借利率的作用：这种假设虽然很强，但大大简化了问题。如果我们将泰勒规则（8）插入到（16）中，我们将重写名义速率asni+1=`n（1+δxxi+δπpi+vi）。

（17） 我们可以通过引入向量δ来压缩符号=δxΔπ; ξi=西皮.因此，利率可以写成ni+1=`n（1+δTξi），其中（x）是向量的转置。随机性Vi的来源包括在ξi的动力学中，如（10）所示。最后，利用（10）和（13）我们得到：ni+1=`n（1+δTAEiξi+1+δTKwi+δTezi），其中eT=0 1.利用这个表达式，我们计算了名义利率的均值、方差和自方差：E[ni+1]＝n（1+δTAEξi+1）Var（ni+1）=（n）（δTK）σVar（ui）+（n）（δTK）Var（vi）+（n）ΔπVar（zi）Cov（ni，ni+j）=0，j6=0。我们注意到利率过程的方差是三个过程的方差的线性组合{ui}i=0,1，。。。，{vi}i=0,1，。。。和{zi}i=0,1，。。。。我们将均衡利率、产出缺口和通货膨胀预期作为输入：它们可能由宏观经济研究提供，也可能只是贸易者观点的表达。我们记得，在连续时间内，短速率n（t）=f（t，t）=limT→0F（t，t，t+T） 其中，远期利率定义为F（T，S，T）=（P（T，S）/P（T，T）- 1） /（T）- S） T>S。在离散时间内，我们定义ni=fi，i=F（ti，ti，ti+1），因此得到ni=（1/P（ti，ti+1）- 1） /τi+1。因此，只要银行间市场不存在信用问题，短期利率可以用作伦敦银行同业拆借利率。类似于可以对通货膨胀率进行的计算，我们还可以计算居中的第三和第四动量：为了以更完整的方式分析它们的分布，需要这些动量：Eh（ni- E（ni））i=[（δTK）σ歪斜（ui）- （δTK）歪斜（vi）+（δπ）歪斜（zi）（\'n）（18）Eh（ni）- E（ni））i=[（δTK）σKurt（ui）+（δTK）Kurt（vi）+（δπ）Kurt（zi）+6（δTK）σVar（ui）Var（vi）+6（δTKδπ）Var（vi）Var（zi）+6（δTK）（σΔπ）Var（ui）Var（zi）]（\'-n）。

（19） 最后，我们计算名义利率ni+1和波动率pi之间的协方差，两者都是可测量的：Cov（pi，ni+1）=nK（δTK）σVar（ui）+（nK（δTK））Var（vi）+nδπVar（zi）。（20） 协方差取决于泰勒规则参数向量δ，这明确了我们建模方法的原理：名义利率和通货膨胀之间的任何依赖性都不是特定的，而是央行反应函数的结果。此外，如果泰勒规则中没有不确定性，即Var（vi）=0，如果Var（zi）=0，则相关性变为1：在这种情况下，中央银行会对经济的任何变化做出决定性的反应。另一个有趣的极限情况是，当输出缺口确定性地演化时，即Var（ui）=0，δTK<0，Var（zi）=0：速率随机演化，相关性变为-1.随着利率的增加，产出缺口决定性地减小（因为需求曲线（7）），根据菲利普斯曲线（6）降低了通货膨胀。在这种情况下，随机性的唯一来源是泰勒规则导致的短速率演化中的不确定性。根据中央银行的反应函数和随机性来源的具体情况，用泰勒规则扩充的DSGE模型允许这种相关性取-1到1之间的值：这可以被认为是模型的一个有趣的特征，因为它不会对相关性范围施加任何约束。3.1.4根据利率和浮动微笑进行校准：正常情况下，经纪人或投资银行（例如彭博pages VOLS或RILO）可以提供不同罢工和到期日的名义利率和浮动上限/浮动的价格：因此，我们可以推导出浮动上限/浮动的价格。与其他标的期权不同，浮动期权是以价格报价的，而不是以隐含波动率报价的。

通过对名义汇率和通货膨胀进行一些分布假设，我们仅使用几个参数就得出了分布。例如，我们可以假设一个正态分布，并将其波动性与每种性质的期权价格相匹配：从分析角度（获得期权价格的闭合公式）和从业者的角度来看，这种假设都很方便：如果利率是正态（而非对数正态）分布，则其相对增量的分布是倾斜的，（和黑色模型中的高斯分布不同）。在这种情况下，我们校准{ui}i=0,1，。。。，{vi}i=0,1，。。。，和{zi}i=0,1，。。。获取货币交易的名义利率和汇率的市场化差异。我们计算{ui}i=0,1，。。。，{vi}i=0,1，。。。，和{zi}i=0,1，。。。鉴于市场隐含的利率/通货膨胀率/通货膨胀率差异。应该发出警告，因为不能保证从这个基本算法中获得正方差。负方差可能为零，或者可以使用更复杂的根搜索算法。3.1.5正态假设下的测量变化在这一阶段，我们将测量变化过程{ui}i=0,1，。。。明确地使用真实世界的预期，在风险中性度量中对衍生产品进行定价。我们将度量变化过程定义为离散采样指数高斯鞅：通过这种策略，我们可以得到一个正鞅。在Appelbaum[2]中可以找到指数L’evy鞅的一般介绍。为了简化表示法，我们重写了方程2.3，包括矩阵格式的变量zi：ξi=AEiξi+1+Kwi+ezi=AEiξi+1+Kσui- Kvi+ezi。

（21）将矩阵C定义如下：=σK-KσK-K并在定义为εi的三维向量ε中压缩所有三个随机性源=尤维齐,该符号进一步简化为ξi=AEiξi+1+CεTi。我们注意到，向量εiis的方差-协方差矩阵写为：∑εi=Var（ui）00 Var（vi）00 Var（zi）=Var（εi）00 Var（εi）00 Var（εi）.此时，我们引入三维确定性向量过程{λi}i=0,1，。。。定义为：λi=λuiλviλzi.上面定义的数量用于指定测量变化过程{ui}i=0,1，。。。，追随并推广什里夫[38]。因此，测量值变化过程被定义为多元高斯指数，形式为：dQdP | Fi=ui=e-iλi-1/2λTi∑εiλi.One要求u=1，风险向量过程的市场价格{λi}i=0,1，。。。对于测量变化过程{ui}i=0,1，。。。是正鞅（即它的期望总是有限的）和平方可积。转移到风险中性度量Q，我们得到新的过程νi=εi+λi是一个在Q下独立实现的零均值高斯过程。

在这项措施中，我们也写了欧盟*i=ui+λui，v*i=vi+λvi，z*i=zi+λzi，w*i=σu*我- 五、*i、 一旦从P到Q的测量变化完成，我们重写宏观经济变量（产出缺口和通货膨胀）的表达式：ξi=AEiξi+1+Cνi=AEiξi+1+Cλi+CεTi。非正式地说，我们可以将风险市场价格的线性函数λ视为一个“楔子”，它被矩阵C中的一些系数乘以，然后添加到预期AEξi+1的确定性线性函数中，以便根据名义债券和流动盈亏平衡的交易价格校准模型（通过名义债券、实际债券和流动零息掉期之间的关系）。最后，我们找到了名义短期利率nian和通货膨胀率piq的简洁表达式：ni+1=\'n（1+δTξi）=\'n（1+δT（AEiξi+1+CνTi））=\'n（1+δT（AEiξi+1+Cλi+CεTi））pi=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+Kw*i+z*i=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+σKu*我- 千伏*i+z*i==A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+σK（ui+λui）- K（vi+λvi）+（zi+λzi）=A2,1Eixi+1+A2,2Eipi+1+hνt其中向量h被定义为h=σK-K.3.1.6校准到名义期限结构我们展示了如何通过进行一些近似，将模型校准到市场观察到的名义利率。我们使用单期折扣系数的市场价格来提供一些用于校准的表达式。我们写：P（t，ti+1）=EP[ψi+1]=EQiYj=0（1+nj+1τj+1）-1.~=EQhe-Pij=0nj+1τj+1，其中最后一次线性化产生了一些误差，可以通过在时间网格上校准模型来减少误差。术语τi+1是年份分数：τi+1=tt+1- ti。