不完全市场下具有内生违约的最优税收

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此外，对于一般集合a，|a |表示住户a.B优化问题的基数。与住户问题相关的拉格朗日数由以下公式给出：{ct，nt，bt+1，νt，ut，ψt}∞t=0）≡∞Xt=0βtE∏（·|ω）u（ct（ωt），1- nt（ωt））-νt（ωt）{ct（ωt）- (1 - τt（ωt））κt（ωt）nt（ωt）+pt（ωt）bt+1（ωt）- %t（ωt）bt（ωt）-1） }+ψt（ωt）ct（ωt）+ψ1t（bt+1（ωt）- b） +ψ2t（b）- bt+1（ωt））,式中，ν和ψ是与预算约束和非负消费约束相关的拉格朗日乘数，ψiti=1，2是与债务限额相关的拉格朗日乘数。假设解的内部性，一阶条件（FONC）由以下公式给出：ct（ωt）：uc（ct（ωt），1- nt（ωt））- νt（ωt）=0nt（ωt）：- ul（ct（ωt），1- nt（ωt））+νt（ωt）（1）- τt（ωt））κt（ωt）=0bt+1（ωt）：pt（ωt）νt（ωt）- E∏（·|ωt）[βνt+1（ωt+1）%t+1（ωt+1）]=0。然后，用uj（ωt）表示uj（ct（ω），1- 带j的nt（ω）∈ {c，l}，它遵循（ωt）uc（ωt）=（1- τt（ωt））κt（ωt），（B.24）pt（ωt）=E∏（·ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）%t+1（ωt+1）. （B.25）根据%的定义，等式B.25意味着，对于φt=1，pt（ωt）=E∏（·|ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）（1）- dt+1（ω））+ E∏（·|ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）dt+1（ωt+1）qt+1（ωt+1）.对于φt=0，（在这种情况下，回想一下pt=qt）pt（ωt）=λE∏（·|ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）at+1（ωt+1）δt+1+E∏（·|ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）{1- λ + λ(1 - at+1（ωt+1））}qt+1（ωt+1）.C第3.2节的证明下一个引理将竞争均衡集描述为一系列约束，包括FONC和预算约束。证据放在本节末尾。引理C.1。假设假设3.1成立。

元组（ct、gt、nt、bt+1、pt）∞对于所有ωt，t=0，σ是给定a B=B的竞争平衡∈ Ohmt、 对于所有t，ct（ωt）=κt（ωt）nt（ωt）- gt，和Bt+1（ωt）=Bt+1（ωt），（C.26）κt（ωt）τt（ωt）=κt（ωt）-ul（ωt）uc（ωt）, （C.27）Zt（ωt）+φt（ωt）{pt（ωt）Bt+1（ωt）- δtBt（ωt）}≥ 0，（C.28）式中，pt（ωt）=E∏（·|ωt）βuc（ωt+1）uc（ωt）%t+1（ωt+1）, （C.29）如果φt（ωt）=0，Bt+1（ωt）=Bt（ωt）-1).定理3.1的证明。我们现在展示“=>” 方向考虑结果路径（dt、at、Bt+1、nt）∞t=0这是一致的。这意味着引理C.1表示元组（ct、gt、nt、bt+1、pt）∞对于所有ωt，t=0，σ是给定a B=B的竞争平衡∈ Ohmt、 对于所有t，方程式C.26、C.27、C.28和C.29均成立。方程式C.27和C.29表示方程式3.4-3.5。方程式C.27-C.29暗示条件3.9。我们现在展示“<=” 方向现在假设结果路径满足所有ωt∈ Ohmt、 下列方程式：2.1、3.4、3.5和3.9。我们可以用公式（t，t）扩大结果∞t=0。显然，限制。26、C.27和C.29暂停。通过替换3.9中的方程式3.4和3.5，很容易看出方程式C.27也成立。C.1补充引理的证明对于引理的证明C.1我们需要以下引理（证明被降级到本节末尾）。引理C.2。假设假设3.1成立。那么一阶条件3.4和3.5也很有效。引理C.1的证明。取σ和（ct、gt、nt、bt+1）∞t=0，以及满足方程式的价格表（pt）。很容易看出可行性和市场清算是成立的（条件3和4）。

此外，通过引理C.2，住户的适宜性也得到了满足。为了检查ZF政策的可实现性（条件2），观察方程C.26-C.28对所有ωt的含义∈ Ohmt、 gt+φt（ωt）δtBt（ωt）-1) - φt（ωt）pt（ωt）Bt+1（ωt）≤ κt（ωt）τt（ωt）nt（ωt）。最后，我们检查家庭的最优性。我们首先检查序列是否满足预算约束。通过方程式C.26-C.28观察-ct（ωt）+κt（ωt）nt（ωt）+φt（ωt）{δtBt（ωt-1) - pt（ωt）Bt+1（ωt）}≤ κt（ωt）τt（ωt）nt（ωt）。如果φt（ωt）=1，那么等式C.28意味着所有t的bt+1（ωt）=bt+1（ωt）（对于bwe，假设它等于B），因此- ct（ωt）+κt（ωt）nt（ωt）+δtbt（ωt-1) - pt（ωt）bt+1（ωt）≤ κt（ωt）τt（ωt）nt（ωt）。这与家庭的预算限制不谋而合。如果dt（ωt）=1，但at（ωt）=0，等式C.26和C.28意味着bt（ωt-1） =bt+1（ωt）=0表示所有t，所以-ct（ωt）+κt（ωt）nt（ωt）=κt（ωt）τt（ωt）nt（ωt），这是家庭的预算约束。取σ和（ct、gt、nt、bt+1、pt）∞t=0是一种竞争均衡。然后很容易看出它满足方程式。引理C.2的证明。在假设3.1下，家庭优化问题的目标函数是严格凹的。预算约束和债务约束形成了一组凸约束。因此，如果横截性条件成立，则FONC是有效的；这源于Stokey等人[1989]第4.5章中的结果的简单改编。为了验证横截性条件，必须证明对于任何ζt（ωt），bt（ωt）+ζt（ωt）∈ B、 极限→∞βTE∏[uc（κT（ωT）nT（ωT）- gT，1- nT（ωT））%T（ωT）ζT（ωT）]=0，这源自Magill和Quinzii[1994]定理5.2，因为债务受假设约束。第4节的D证明在本节中，我们提供了集合S（h，φ）和Ohm（h，φ）在ZF问题的递归表示中引入。

我们还提供了定理4.1的证明。S（h，φ）的形式定义。不管怎样∈ H和φ∈ {0，1}，let（h，φ）≡γ :  （ht，φt）∈ Ht×{0，1}，γ|（Ht，φt）渲染（dτ（γ），aτ（γ），Bτ+1（γ），nτ（γ））∞τ=t∈ CEφt（ωt，B），其中B=（δtφt+（1- φt）Bt（γ）（ht-1，φt-1（γ）（ht）-1)).与Chang[1998]类似，通过从S（h，φ）中提取策略γ，我们确保在（h，φ）之后的任何历史记录之后，延续策略提供了竞争均衡分配。稍后，当在φ中做出违约/还款决定时，违约管理局会在其备选行动方案后评估福利。为了计算任意φ的效用，要考虑的候选策略γ必须属于相应的S（h，φ）。正式定义Ohm（h，φ）。回想一下，对于自给自足（φ=0），消费的“承诺”边际效用被平衡ZF预算和最大化每期报酬的劳动力选择所束缚；i、 例如，对于任何g∈ G、 消费的“承诺”边际效用等于mA（G）≡ uc（κn*（g）- g、 一,- N*（g） ）在哪里*（g） =arg maxn∈[0,1]{u（κn）- g、 一,- n） ：z（κ，n，g）=0}。我们现在开始正式定义我们的兴趣对象。对于任意h=（φ-1，B，g，δ）∈ H和φ∈ {0，1}，让我们Ohm（h，φ）={（u，v）∈ R+×R: γ ∈ S（h，φ）和（Vτ（hτ，0），Vτ（hτ，1））hτ，τ，如果φ=0，则u=mA（g），且u=uc（n（γ）（h）- g、 一,- n（γ）（h））如果φ=1，v=v（h，φ）（vτ（hτ，φ））hτ，τ满足任何φ的表达式4.10∈ {0,1}，γD|h，φ（γ）由表达式4.11确定- 4.12,从技术上讲，φt=1的情况可能是这样的，但该时期的债务太高，无法在竞争平衡中偿还。

在这种情况下，我们只需将每个周期的支付设置为任意大的负值，从而确保φtwill的选择不会作为ZF问题最优解决方案的一部分出现。引理D.1（1）确保n*（g） 存在并对所有g唯一。对于每个初始历史，集合Ohm（h，φ）由时间零点的边际效用值和终身效用值的所有值给出，这些值可以在竞争均衡中维持，其中，从下一阶段开始，默认当局的反应最佳。每对（u，v）对时间0的劳动力分配以及时间0的寿命效用施加限制，给定φ。最后，请注意Ohm（h，φ）当φ是ZF选择的值时，包含可沿均衡路径交付的承诺边际效用（和效用值），而Ohm（h，φ）当φ是ZF未选择的值时，包含有效平衡边际效用。信件Ohm 是一个内生确定的平衡物体，根据Abreu等人[1990]的精神，可以使用数值方法作为适当构造的对应运算符的最大固定点进行计算。从今往后，我们继续制定和解决规模权威的递归问题，就好像我们已经知道一样Ohm.定理4.1的证明下一个引理是ZF剩余函数的特征，证明被推到本节末尾。引理D.1。Let（κ，n，g）7→ z（κ，n，g）=κ -ul（n）-g、 一,-n） 加州大学（北）-g、 一,-n）N- g、 然后：1。arg maxn∈[0,1]{u（κn）- g、 一,- n） ：z（κ，n，g）=0}存在且唯一。2.假设假设5.1成立，并让‘n（g）=arg maxn∈[0,1]z（1，n，g）。然后，N7→ z（1，n，g）是减缩的，对于所有n都是严格凹的∈ [n（g），1]为了证明定理4.1，我们需要下面的引理，其证明被放在本节末尾。引理D.2。

如果，对于任何h=（1，B，g，δ）∈ H和φ∈ {0, 1}, γ ∈ S（h，φ），然后是γ| ht，φ∈ 对于任何ht，S（ht，φ）∈ Htandφ∈ {0, 1}. 此外，z（κφ，n（γ）（h），g）u（γ）（h）+φ{Pφ（g，B（γ）（h，φ），u（γ）（h，h（·）））B（γ）（h，φ）- Δu（γ）（h）B}≥ 0其中κφ=κ（1- φ） +φ和h（·）≡ 对于t=0，1ut+1（γ）（ht，ht+1（g））=uc（nt+1（γ）（ht，ht+1（g））- g、 一,- nt+1（γ）（ht，ht+1（g）））定理4.1的证明类似于单体情况下最优性原理的标准证明，例如Stokey等人[1989]中的定理9.2。定理4.1的证明。通过定义V*, 五、*和V*, 因此h=（φ-1，B，g，¨δ）和φ=0V*（g，B）=supγV（γ）（h，0）（D.30）受制于γ=（γF，γD）∈ S（h，0）（D.31）γD | h，φ=0由（4.12）确定- （4.11）（D.32）uc（κn（γ）（h）- g、 一,- n（γ）（h））=mA（g）（D.33），类似地，h=（1，B，g，1）和u∈ R+和φ=1V*（g，B，u）=supγV（γ）（h，1）（D.34）受制于γ=（γF，γD）∈ S（h，1）（D.35）γD | h，φ=1由（4.12）确定- （4.11）（D.36）uc（n（γ）（h）- g、 一,- n（γ）（h））=u。（D.37）最后，h=（0，B，g，δ）和φ=1V*（g，δB）=supγV（γ）（h，1）（D.38）受制于γ=（γF，γD）∈ S（h，1）（D.39）γD | h，φ=1由（4.12）确定- (4.11). （D.40）第一个（顺序）问题包括从t=1开始选择符合竞争均衡和默认权限最优性的γ，以最大化家庭的终身效用，条件是h=（φ）-1，B，g，δ）和φ=0。解由V给出*（g，B），不依赖于δ或u。条件D.33确保当前边际效用等于之前定义的自给自足价值。问题D.34类似于问题D.30，φ=1和φ-1=1。

在这种情况下，我们通过条件D.37施加当前边际效用为u。从今往后，我们将满足上述计划限制的策略视为可接受的。我们还假设至高无上的地位已经实现；这个假设是为了简化解释，如果不是这样的话，证明仍然通过利用上确界的定义进行。根据定义，V*（g，δB）≥ V（γ）（0，B，g，δ，1）表示所有γ∈ S（0，B，g，δ，1）和γD | h，φ=1由（4.12）-（4.11）确定。通过定义Ohm（0，B，g，δ，1），这意味着对于所有（u，v）∈ Ohm（0，B，g，δ，1），V*（g，δB）≥ v、 另一方面，假设存在一个达到上确界的策略γ，则必须存在一个μ，使得（μ，v*（g，δB））∈ Ohm（0，B，g，δ，1）。因此，V*（g，δB）=max{v |（u，v）∈ Ohm（0，B，g，δ，1）}。（D.41）很容易看出，相同的结果适用于任何时间t和任何历史（ht，0，B，g，δ）（而不仅仅是t=0和h=（0，B，g，δ））。让h≡ (φ-1，B，g，δ）和φ=0。假设存在一种策略^γ，以实现程序D.30中的最高目标。那么，V*（g，B）=u（κn（^γ）（g）- g、 一,- n（^γ）（g））+βλZGZmax{V（γ）（h，0，B，（g，δ），1），V（γ）（h，0，B，（g，δ），0）}π（dδ）πG（dg | G）+β（1）- λ） ZGV（γ）（h，0，B，（g，δ），0）πg（dg | g）。注意，对于任何g∈ G、 V（^γ）（h，0，B，（G，δ），0）相对于δ是常数。另外，请注意，引理D.2允许^γ| h，φ。对于任意策略γ和任意策略（h，g，δ），V（γ）（h，0，B，（g，δ），0）=V（γ）（0，B，（g，δ），0）。ThusV（^γ）（h，0，B，（g，’δ），0）=V*（g，B），G∈ G

（D.42）因此*（g，B）=u（κn（^γ）（g）- g、 一,- n（^γ）（g））（D.43）+βλZGZmax{V（^γ）（h，0，B，（g，δ），1），V*（g，B）}π（dδ）πG（dg | G）+β（1）- λ） ZGV*（g，B）πg（dg | g）。从今以后，我们滥用符号，用n（γ）（g）代替n（γ）（h）。通过构造，n（^γ）（g）=n*（g） 因此，V*（g，B）=u（κn）*（g）- g、 一,- N*（g） ）+βλZGZmax{V（^γ）（h，0，B，（g，δ），1），V*（g，B）}π（dδ）πG（dg | G）+β（1）- λ） ZGV*（g，B）πg（dg | g）。观察到在（h，φ=0，B，g，δ，φ=1）时，一个“新的”规模权限从时间t=1开始。通过构建，这一规模权威开始时没有关于消费边际效用的约束性承诺。由于^γ是最优的，因此V（^γ）（h，0，B，g，δ，1）=V*（g，δB）。因此，V*（g，B）=u（κn）*（g）- g、 一,- N*（g） ）+βλZGZ最大值{V*（g，δB），V*（g，B）}π（dδ）πG（dg | G）+β（1）- λ） ZGV*g（124g）g（124g）。我们现在考虑项目D.34。稍微滥用一点符号，让^γ成为程序D.34中实现最高值的策略。从今往后，让ut（γ）（ht）≡ uc（nt（γ）（ht）- gt，1- nt（γ）（ht））表示任何策略γ和历史ht∈ 嗯。注意，对于h=（1，B（^γ）（h，1），（g，1）），由于引理D.2，^γ| h，φ是允许的（取u为u（^γ）（h）），因为^γ| h，φ∈ S（h，φ）和γD | h，φ=1由表达式4.12-4.11确定。