Heston和Black Scholes的GLWB定价和套期保值

在第一个表格中，Black-Scholes-Hull-White车型的合理费用，包括诺拉切特或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。表12和表4列出了本试验所用的参数。vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv71.33±1.25 71.507.0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.70±13.04 57.255.6±5.5 5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5±5.5.5.5.5.5.5±5.5.5.5 5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 5 5 5 5 s 418 s 460 sD1903 s 1844 s 1690 s 1896稳定14：测试2-动态。在第一个表中，赫斯顿模型的公平费用，没有棘轮或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。

表12和表6中列出了用于本试验的参数。ρ无棘轮（αg=300）棘轮（αg=350）HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 8513±573 7951±557 8078 80978959±542 8279±551 8148 8200B 8220±347 8304±305 8081 8091 7922±324 8104±330 8151 8180C 8091±172 8146±161 8082 8073±428155±173 8120±162 8152 8163±38D 8089±108 8105±8152 816 816 816 816 816 819±758 819 816 819 819 816 816 816 816 818 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 818 81675317733±509 7379±667 7538 7539B 7685±257 7389±269 7517 7529 7640±259 7417±249 7527 7539C 7488±139 7443±150 7517 7514±317433±145 7604±137 7528 7530±29D 7428±90 7489±83 7517 7518 7523±87 7525±84 7528 7533A 7444±470 7612±491 7333 734269±421 7292±500 7304 7314 7357±137 7328 7328 7350 7368±221 738 738 738 738 738 7387201±124 7339 7336±287469±116 7293±112 7309 7307±26D 7270±78 7302±78 7340 7339 7291±70 7298±68 7310 7310ρ无棘轮（αg=75）棘轮（αg=100）HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 8181±472 7794±524 8436 84298349±293 8374±324 8477 8474B 8440±250 8383±223 8436 8436 8304±174 8527±154 8480 845 8437±19837±76 8479 8480±14D 8437±50 8472±53 8437 8438 8516±44 8501±43 8480 8480A 8756±626 8304±586 8329 83198751±758 8440±420 8341 8332B 8080±283 8345±394 8330 8327 8466±251 8184±217 8341 8339C 8313±148 8137±185 8330 8329±298303±106 8398±101 8341 8340±18D 8330 8330±8238±79 8330 8331 8343 8352 8345±747474A 7308 838 825±745 838 838 838 838 838 838 838 838 838 838 838 83582058244±736 8192±522 8191 8180B 8238±623 7919±416 8218 8215 8150±276 8213±229 8191 8189C 8143±145 7874±241 8218 8217±468216±133 8123±178 8192 8190±22D 8144±119 8131±108 8218 8219 8123±66 8195±77 8192 8191表15：测试3-动态。

Black-Scholes-Hull-White模型和Heston模型的增量计算，无棘轮或棘轮（每3年一次）；这些值必须乘以10-4.本试验使用的参数见表12、表4和表6。无棘轮棘轮MC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BM-7.59±1.49±1.37±0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 HPDE APDE BM-0.557.74 58.77 58.78 58.32 58.56 63.73 64.50 64.74 64.22 64.59±1.26±1.27±0.46±1.23±1.27±0.4653.08 53.77 55.57 55.07 55.76 59.86 61.17 61.79 61.22 62.11±1.45±1.46±0.58±1.51±1.59±0.59±0.546.33 46±0.19 50.50.50.50.50.66 55.66 55.67 54.79 57.29±5.76.01±1.87±1.76±1.85±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±。公平费用+10%死亡率冲击的影响。表12、表4和表6列出了本测试所用的参数。图5.1:BS HW模型和Heston模型在第一个事件时间（t=1）的最佳策略，假设B2+=100。模型参数见表4和表6。产品参数见表12，两种情况下的αg=135 bp。6结论在本文中，我们开发了四种方法来在不同条件下为GLWB合同定价。对于随机模型，考虑了随机利率和随机波动效应。关于投保人行为，考虑了静态和动态策略。由于GLWB可变年金是一种长期产品，随机利率和随机波动的影响不容忽视。

特别是，随机利率的影响似乎更为相关。[9]中的Forsyth和Vetzal也使用了同时具有随机利率和波动性的制度转换模型，但我们基于SDE的方法更现实，适合对冲。这四种方法在定价和增量计算方面都给出了兼容的结果。公平套期保值费用（即维持复制投资组合的成本）通过一系列参数的要求确定。PDE方法被证明不是非常昂贵，而MC方法被证明更昂贵。由于其收敛速度和结果的稳定性，混合偏微分方程似乎比其他偏微分方程表现得更好。此外，ADI PDE表现非常好，但实现起来比混合PDE更困难。在BS HW模型的情况下，标准MC由于其精确模拟而优于混合方法，而在赫斯顿模型的情况下，MC方法被证明大致等效，即使混合MC更容易实现。正如我们之前所说，PDE方法被证明比MC方法更有效，尤其是在动态情况下，在这种情况下，实施最优退出选择要简单得多。相似性约简将问题维度降低为二维问题，因此PDE方法表现良好。

无论如何，我们必须指出，MC方法为结果提供了一个置信区间，它们在风险度量计算中很有用（例如VAR或ES），而且由于它们对情景的理解，保险公司更喜欢它们。可以处理的未来发展是将随机利率和随机波动性结合起来：组合模型可以成为更现实的元素。最后，我们指出，我们的方法非常灵活，因为它们可以适应各种各样的投保人退出策略，例如基于效用模型的退出策略。参考文献[1]A.阿方西（2010）。CIR过程的高阶离散化方案：应用于有效项结构和Heston模型。《计算数学》，第79卷，第269号，第209-237页。[2] E.Appelloni，L.Caramellino A.Zanette 2014。利用Cox-Ingersoll-Ross利率模型对美式期权进行定价的稳健树方法。IMA J管理数学首次在线发布2014年1月15日OI:10.1093/imaman/dpt030。[3] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里、E.皮塔科（2011）。可变年金：一种统一的估值方法。《保险：数学与经济学》49，第285-297页。[4] M.Briani，L.Caramellino，A.Zanette（2014）。Hestonmodel的杂交树有限差异方法。预印本，arXiv:1307.7178v2。[5] M.Briani，L.Caramellino，A.Zanette（2015）。赫斯顿船体白色模型的数值近似。预印本，arXiv:1503.03705。[6] A.Belanger，P.Forsyth，G.Labahn（2009）。在部分提款的情况下评估最低死亡保障福利条款。应用数学金融16，第451-496页。[7] D.Brigo，F.Mercurio（2006年）。利率模型理论与实践。柏林斯普林格。[8] 陈志强，K.维特扎尔，P.福赛斯（2008）。

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