具有期权和期权的指数Levy模型的效用最大化

设X=（Xt）0≤T≤t过程X（1）和X（2）的线性映射，即t∈ [0，T]（16）Xt=ρX（1）T+ρX（2）T涉及非随机可逆矩阵ρ和ρ。如前所述，过程X是在正则概率空间上考虑的(Ohm, F、 F，P）过滤F=（英尺）0≤T≤满足通常性质的。我们还介绍了扩大的空间(Ohm ×路，F σ（X（2）T），G），对应于放大过滤G=（Gt）的耦合（X，X（2）T）≤T≤Twore for 0≤ t<TGt=\\s>tFs σ（X（2）T）和GT=FT σ（X（2）T）。我们在空间上说(Ohm, F、 P）过程X显然是一个征税过程。现在，如果我们装备(Ohm ×路，F B（Rd），G）概率为P×α，其中α是X（2）T的定律，那么过程X仍然是具有相同三元组的Levy过程。我们记得，与之前一样，12效用最大化我们使用符号P表示（X，X（2）T）的联合定律，并在给定X（2）T=v.3.2的情况下，使用Pv表示X的条件所有。假设1和2。在本小节中，我们展示了第2节中的假设1和2将根据以下关于列维过程的假设进行验证。假设H1：过程X和X（2）分别在[0，T]和[0，T]上可积。假设H2：过程（X，X（2））具有两个σ-有限测度η和η在Rd上的跃迁密度w.r.t.a乘积η=η×η，并且X和X（2）w.r.t.η和η的边际跃迁密度f和f（2）分别严格为正。备注2。应该注意的是，在η和ηareLebesgue测量的情况下，假设H2相当于X（1）和X（2）过程中存在严格正的边缘跃迁密度。这一事实源于X（1）和X（2）的独立性。提议4。

在假设（H1）和（H2）下，假设1和2满足，并且存在函数Fv:[T-T、 T]×Rd→ R+取决于参数v∈ Rd，使得（17）dαtdα（v）=Fv（T- t、 此外，dαtdα=E（M）乘以M=（Mt）0≤T≤这是一个（P，F）-鞅，使得mt=Zt>βv，PsXcs+ZtZRdl（x）（Yv，Ps（x）- 1） dK（x）dS，其中（βv，P，Yv，P）是将度量P转换为Pv的Girsanov参数，K是x的Levy度量。如果Fv∈ C1,2b（[T- T、 T]×Rd）和c是可逆的，那么可以通过以下公式来计算所提到的吉萨诺夫参数（βv，P，Yv，P）：>βv，Ps= ln Fvx（T）- s、 Xs-), ··· , ln Fvxd（T）- s、 Xs-)x的效用最大化∈ Rd\\{0}Yv，Ps（x）=Fv（T- s、 Xs-+ x） Fv（T- s、 Xs-).证明：有条件地，对于X（2）T=v，过程X被分配为ρX（1）+ρv（2），其中v（2）是X（2）的Levy桥，从（0，0）开始，在（v，T）结束。在假设（H2）下，根据[12]，V（2）t的定律为0≤T≤（X（2）t）0定律是绝对连续的≤T≤Tand（18）dPV（2）dPX（2）（T，v）=f（2）（T）- 电视- X（2）T）f（2）（T，v）。由于过程X（1）独立于X（2），也独立于V（2），在测度P下，X给定X（2）的条件分布和X给定V（2）的条件分布作为映射重合。让我们用q（A，x），A来表示这张地图∈ 英尺，x∈ 那么，P（A）=ZRdP（ρX（1）+ρX（2）∈ A |X（2）=X）dPX（2）（X）=ZRdq（A，X）dPX（2）（X）和pv（A）=P（ρX（1）+ρV（2）∈ A） =ZRdP（ρX（1）+ρV（2）∈ A | V（2）=x）dPV（2）（x）=ZRdq（A，x）dPV（2）dPX（2）（T，V）dPX（2）（x）。最后，如果P（A）=0，那么q（A，x）=0（PX（2）-A.s.），因此Pv（A）=0。因此，假设1得到了验证。假设1和条件密度的Bayes公式给出了：P（X（2）T∈ dv | Xt=y）=P（X（2）T∈ dv，Xt∈ dy）P（Xt）∈ dy）=P（Xt∈ dy | X（2）T=v）P（X（2）T∈ dv）P（Xt∈ dy）。这意味着假设2得到了验证。

使用马尔可夫性质我们写：αt（dv）=P（X（2）t∈ dv | Ft）=P（X（2）T∈ dv | Xt）=P（X（2）T- X（2）t+X（2）t∈ dv | Xt）=P（~X（2）T-t+X（2）t∈ dv | Xt）14效用最大化其中X（2）是一个独立于X（1）和X（2）的过程，并以X（2）的形式分布。然后，我们看到αt（dv）是t的函数-t、 Xt和参数v，表示为Fv（t- t、 Xt）。同时α（dv）=α（dv）=Fv（T，0），因为F={, Ohm}. 它给了我们（17）。现在，我们使用伊藤公式来获得Fv（T- t、 Xt）=Fv（t，0）-ZtFvs（T）- s、 Xs-) ds+dXi=1ZtFvxi（T）- s、 Xs-) dXis+dXi=1dXj=1ZtFvxixj（T）- s、 Xs-) d<Xi，c，Xj，c>s+X0<s≤tFv（T- s、 Xs）- Fv（T- s、 Xs-) -dXi=1Fvxi（T）- s、 Xs-) 希斯。在Pvt<p，αt<t的条件下∈]0，T]，我们从Jacod引理（参见[14]）得知，Dαtdα0≤T≤这是一个（P，F）鞅。让我们来投票吧∈ [0，T]，pvt=dαtdα（v）。然后，我们将上述表达式除以fv（T- t、 通过Fv（t，0），我们确定了它的连续鞅部分。我们得到pv，ct=Fv（T，0）dXi=1ZtFvdxi（T- s、 Xs-) 因此，<pv，c，Xj，c>t=Fv（t，0）dXi=1Ztci，jFvdxi（T- s、 Xs-) ds。此外，根据Girsanov定理，<pv，c，Xj，c>t=dXi=1Ztci，j（βv，Ps）ipvs-ds。由于c是可逆的，这意味着βv，Pt的公式。现在，我们计算pv的跳跃：pvt=Fv（T- t、 Xt）- Fv（T- t、 Xt-)Fv（T，0）效用最大化pvtpvt-=Fv（T- t、 Xt-+ Xt）Fv（T）- t、 Xt-)- 1.然后，根据定理3.24，p.159，第三章[16]Yv，Pt=Fv（T- t、 Xt-+ x） ）Fv（T- t、 Xt-)证明了这个命题。23.3. 条件局部等价鞅测度。与第2节结果应用相关的主要困难在于假设3的验证。验证的第一步是完整描述条件等价鞅测度集。这一步可以通过使用半鞅演算来完成。我们记得过程X由（16）定义。

如前所述，我们用（βv，P，Yv，P）表示将测量值EP变为Pv的Girsanov参数。我们还用M（Pv）表示局部等价于Pv鞅测度Qv的集合。我们用（βv，Yv）表示测量值pv变为Qv的Girsanov参数。我们注意到Xis（Pv，F）-半鞅，因此，（Qv，F）半鞅。在下面的命题中，我们给出了X w.r.t.Qv的三重可预测特征。提议5。X相对于（Qv，F）的可预测特征（Bv，Cv，νv）的三元组由以下表达式给出：Bvt=（ρb+ρb）t+ρcRtβv，Psds+ρRtRRd→l（x）（Yv，Ps（ρ）-1x）- 1） （K）o ρ-1） （dx）ds+RtRRd→l（x）（Yvs（x）- 1） Kv，Ps（dx）ds+（ρc>ρc>ρ）Rtβvsds，Cvt=（ρc>ρc>ρ）t，dνv（x，s）=YvsKv，Ps（dx）ds，其中Kv，Ps（dx）=（Koρ-1） （dx）+Yv，Ps（ρ）-1x）（Koρ-1） （dx）。此外，一个等价于PvTmartingale测度qvts满足：∈ [0，T]（19）ρb+ρb+ρcβv，Ps+ρZRd→l（x）（Yv，Ps（ρ）-1x）-1） （K）oρ-1） （dx）16效用最大化+ZRd→l（x）（Yvs（x）-1） Kv，Ps（dx）+（ρc>ρ+ρc>ρ）βvs=0。证明：我们使用Girsanov定理来连续改变度量：P→ Pv→ Qv。为此，我们首先写出X:Xt=Bt+Xct+ZtZRd的半鞅分解→l（x）（ux（dx，ds）-νX（dx，ds））+Xs≤t(Xs-l(这里B是半马尔廷格尔分解的漂移部分，xc是它的连续鞅部分，ux和νx是跳跃及其补偿器的度量，l是截断函数，l（x）=x1{| | x |}，x∈ Rd.应该注意的是，在前面的表达式中，rdi上的积分是以一个分量一个分量的方式进行的，即对于每个x∈ Rdandl（x）=>（l（x），·ld（x））积分ztzrd→l（x）（ux（dx，ds）- νX（dx，ds））是一个含有分量sztzrdli（X）（uX（dx，ds）的向量- νX（dx，ds））其中1≤ 我≤ D

我们使用符号→l（x）强调这一特殊性。同时我们对过程X（1）和X（2）进行了半鞅分解：X（1）t=bt+X（1），ct+ZtZRd→l（x）（ux（1）（dx，ds）- K（dx）ds）+Xs≤t(X（1）s- l(X（1）s）X（2）t=bt+X（2），ct+ZtZRd→l（x）（ux（2）（dx，ds）- K（dx）ds）+Xs≤t(X（1）s- l(具有截断函数l（X）=x1{| |ρX的X（2）s）||≤1} l（x）=x1{| |ρx||≤1} 分别。我们现在比较上面给出的过程X（1）和X（2）的正则分解与X的正则分解的线性组合。我们可以很容易地确定X的漂移部分，即效用最大化17（ρb+ρb）t，t≥ 0和X的连续鞅部分，它等于ρX（1），c+ρX（2），c。因为X（1），c和X（2），c与二次变化无关≥ 0和ct，t≥ 0，X的连续鞅部分的二次变化等于（ρc>ρ+ρc>ρ）t，t≥ 对于跳跃部分，我们写下过程X的跳跃度量：uX（ω，dt，dx）=Xs{Xs（ω）6=0}δ{（s，Xs（ω））}（dt，dx），其中δ是Rd+1中的狄拉克δ函数。此外X=ρX（1）+ρX（2），l(十） =ρl(X（1））+ρl(X（2））。我们知道，两个独立的征税过程不可能同时进行。事实上，Levy过程的跳跃是完全不可接近的。如果我们假设过程X（1）和X（2）的跳跃发生在τ和τ的时间，τ=τ（P-a.s.），那么对于allA∈ RdP（{τ）∈ A}∩ {τ∈ A} ）=P（{τ）∈ A} ）=P（{τ）∈ A} ）。然后，P（{τ∈ A} ）=0或1，τ定律只能是Diracmeasure。然后，就有了t∈ R+使得P（τ=t）=1，但这与τ不可访问的事实相矛盾。

这个事实给了我们P- a、 美国{Xs（ω）6=0}={ρX（1）s（ω）6=0}∪{ρX（2）s（ω）6=0}={ρX（1）s（ω）6=0}∩{X（2）s（ω）=0}∪{X（1）s（ω）=0}{ρX（2）s（ω）6=0}。因此，uX（ω，dt，dx）=Xs{X（1）s（ω）6=0}δ{（s，ρ）X（1）s（ω））}（dt，dx）+Xs{X（2）s（ω）6=0}δ{（s，ρ）X（2）s（ω））}（dt，dx）=μρX（1）（ω，dt，dx）+μρX（2）（ω，dt，dx）。现在，过程ρX（1）和ρX（2）是Levy过程，具有Levymeasures K（ρ-1A）和K（ρ-1A）分别∈ B（路）。因此，Xis的可预测特征（B，C，ν）的三元组由以下公式给出：Bt=（ρB+ρB）t，Ct=（ρC>ρ+ρC>ρ）t，dν（x，t）=（K）o ρ-1） （dx）+（K）o ρ-1） （dx）dt。18效用最大化接下来，我们写出Levy桥V（2）的三元组（BV，CV，νV）：BVt=bt+cRtβV，Psds+ZtZRd→l（x）（Yv，Ps（x）- 1） K（dx）ds，CVt=ct，dνV（x，t）=Yv，Pt（x）K（dx）dt。为了写出X（1）和V（2）的线性组合的特征，我们考虑了过程X（1）和V（2）在Pv下保持独立的事实。然后，我们将测量值pv的变化产生的附加漂移加到Qvand中，并将相应的Levy测量值乘以因子Yvs。这给了我们特征的公式。过程X是（Qv，F）-鞅当且仅当其在qvis下的漂移项等同于零，它给出了我们提到的恒等式。23.4. 条件信息处理。为了简化Girsanov参数（βv，*, 伊夫，*) f-散度最小等价鞅测度Qv，*, 我们使用符号：b=ρb+ρb，c=ρc>ρ+ρc>ρ我们记得（b，c，K）是Levy过程X在“历史”测度P下的参数。定理3。

假设u（x）=ln（x），假设（H1）和（H2）成立。如果存在一个可预测的过程λv=（λvs）0≤s≤t中的值，如所有s∈ [0，T]（20）b+cλvs+ρcβv，Ps+ρZRd→l（x）[Yv，Ps（ρ-1x）- 1] （K）o ρ-1） （dx）+ZRd→l（x）>λvsl（x）1->λvsl（x）Kv，Ps（dx）=0，这样1->λvsl（x）>0（Kv，P-a.s.），则f-散度极小鞅测度Qv的Girsanov参数，*验证：βv，*s=λvs，Yv，*s（x）=1->λvsl（x）。相应的信息处理*（v） 由（9）给出，相应的熵等于（10）。如果熵是有限的，相应的测度将是f-散度最小等价鞅测度。效用最大化19证明：为了找到相应的f-发散最小鞅测度的Girsanov参数，我们最小化了PvT的相对熵：I（PvT | QvT）=EPvT（IT（v）），其中IT（v）=ZT>βvscβVSD-ZTZRd（ln Yvs（x）- Yvs+1）Kv，Ps（dx）ds，受约束：用于s∈ [0，T]（21）R（βvs，Yvs）=0。在该约束条件下，函数R（βvs，Yvs）定义如下：R（βvs，Yvs）=b+ρcβv，Ps+ZRd→l（x）[Yv，Ps（ρ-1x）- 1] （K）o ρ-1） （dx）+cβvs+ZRd→l（x）（Yvs（x）- 1） Kv，Ps（dx）。根据传统的极小化过程，我们引入了函数G，其中G（βvs，Yvs）=>βvscβvs-ZRd（ln（Yvs（x））- Yvs+1）Kv，Ps（dx）->λvsR（βvs，Yvs），其中λvsR是拉格朗日因子。该函数为凸连续可微函数，其极值点为驻点，即方程的解：>Gβ（βvs，Yvs）···Gβd（βvs，Yvs）= c（βvs- λvs）=0，GY（βvs，Yvs）=ZRd1.-Yvs（x）->λvsl（x）Kv，Ps（dx）=0。显然，βvs=λvs是第一个方程的解。一般来说，第二个方程有多个解，但由于G的凸性，信息处理的相应值将是相同的。第二个方程的一个解由yvs（x）=1给出->λvsl（x），我们假设它是正的。

最后，我们将βv和yv的表达式放入鞅条件（20），以确定λv，从而确定βv，*还有伊夫，*.20效用最大化函数G的凸性给定sg（βvs，Yvs）- G（βv，*s、 伊夫，*（s）≥>Gβ（βv，*s、 伊夫，*s） ,···Gβd（βv，*s、 伊夫，*（s）（βvs-βv，*（s）+GY（βv，*s、 伊夫，*s） （Yvs）-伊夫，*s） =0。证明相应的测度是f-散度极小的，即i（PvT | QvT）≥ I（PvT | Qv，*T） 我们对上述不等式w.r.T.s进行积分，并对测度PvT.2Theorem 4进行期望。设u（x）=x ln（x）+x- 假设（H1）和（H2）是有效的。如果存在可预测过程λv=（λvs）0≤s≤两个RDS中的值，以便∈ [0，T]（22）b+cλvs+ρcβv，Ps+ρZRd→l（x）[Yv，Ps（ρ-1x）- 1] （K）o ρ-1） （dx）+ZRd→l（x）[exp（>λvsl（x））- 1] Kv，Ps（dx）=0当f-散度最小鞅测度Qv的Girsanov参数，*验证：βv，*s=λvs，Yv，*s（x）=exp（>λvsl（x））。此外，相应的信息处理*（v） 由（11）给出，库尔贝克-莱布尔信息由（12）给出。如果此KullbackLeibler信息是有限的，则相应的度量将是f-发散最小等价鞅度量。证明：为了找到f-散度最小鞅测度QvT的Girsanov参数，我们在给定PvT:I（QvT | PvT）=EQvT（IT（v））的情况下最小化QvT的相对熵，其中IT（v）=ZT>βvscβvsds+ZTZRd（Yvs（x）ln（Yvs（x））- Yvs+1）Kv，Ps（dx）ds，受约束（21）。为此，我们引入函数G，使得G（βvs，Yvs）=>βvscβvs+ZRd（Yvs（x）ln（Yvs（x））- Yvs+1）Kv，Ps（dx）->λvsR（βvs，Yvs）与拉格朗日因子λvs。

该函数是凸的连续可微分函数，因此，该函数的最小值是通过将一组固定点的效用最大化来实现的，这验证了：>Gβ（βvs，Yvs）···Gβd（βvs，Yvs）= c（βvs- λvs）=0，GY（βvs，Yvs）=ZRdln（Yvs（x））->λvsl（x）Kv，Ps（dx）=0。第一个方程的解是βvs=λvs。我们注意到第二个方程有多个解，但信息处理的相应值将是相同的。第二个方程的一个解由yvs（x）=exp（>λvsl（x））给出。为了找到λv，我们将βv和yv的表达式放入鞅条件（22），它给出了βv的表达式，*还有伊夫，*.我们显然有：G（βvs，Yvs）- G（βv，*s、 伊夫，*（s）≥>Gβ（βv，*s、 伊夫，*s） ,···Gβd（βv，*s、 伊夫，*（s）（βvs-βv，*（s）+GY（βv，*s、 伊夫，*s） （Yvs）-Yvs）=0。为了证明相应的测度是f-散度极小，我们将这个不等式积分为w.r.t.s，并取关于QvT的期望值。然后，我（QvT | PvT）≥ I（Qv，*T | PvT）。定理5。设u（x）=xp，p<1，假设（H1）和（H2）满足。如果存在可预测过程λv=（λvs）0≤s≤两倍于RDS中的值，以便∈ [0，T]和q=pp-1b+cλvsq（1- q） +ρcβv，Ps+ρZRd→l（x）[Yv，Ps（ρ-1x）- 1] （K）o ρ-1） （dx）+ZRd→l（x）”1.->λvsl（x）qQ-1.- 1千伏，Ps（dx）=0，这样1->λvsl（x）q>0（Kv，P-a.s.），则f-散度最小鞅测度Qv的Girsanov参数，*验证：βv，*s=q（1）- q） λvs，Yv，*s（x）=1.->λvsl（x）qQ-1.22效用最大化此外，Hellinger型工艺h（q），*（v） 由（13）定义，相应的海林格型积分由（15）给出。

如果这个Hellingering积分是有限的，则相应的测度是f-散度最小等价鞅测度。证明：为了找到f-散度最小鞅测度QvT的Girsanov参数，我们最小化了QvT的Hellinger积分和PvT:H（q）T（v）=ERvTexp(-h（q）T（v）），其中h（q）T（v）=q（1-q） RT>βvscβvsds-ZTZRd（（Yvs（x））q- q（Yvs）- 1) - 1） Kv，Ps（dx）受约束（21）。为此，我们引入函数G viaG（βvs，Yvs）=q（1）- q） >βvscβVSD-ZRd（（Yvs（x））q- q（Yvs）- 1) - 1） 千伏Ps（dx）->λvsR（βvs，Yvs），其中λvsR再次是拉格朗日因子。该函数是凸连续可微函数，因此，驻点验证：>Gβ（βvs，Yvs）···Gβd（βvs，Yvs）= c（q（1）- q） βvs- λvs）=0，GY（βvs，Yvs）=-ZRd[q（Yvs（x））q-1.- q+>λvsl（x）]Kv，Ps（dx）=0。从第一个方程中，我们发现βvs=q（1- q） λvs.第二个方程的一个解由yvs（x）给出=1.->λvsl（x）qQ-1.接下来，我们将βv和yv的表达式置于鞅条件（22）中，以确定λv，然后，βv，*沙伊夫，*s、 因为G是凸的，所以G（βvs，Yvs）- G（βv，*s、 伊夫，*（s）≥>Gβ（βv，*s、 伊夫，*s） ,···Gβd（βv，*s、 伊夫，*（s）（βvs-βv，*（s）+GY（βv，*s、 伊夫，*s） （Yvs）-Yvs）=0。效用最大化23然后，我们积分这个不等式w.r.t.s，我们利用指数是凸函数的事实，最后，我们对RvT取期望值，以证明H（q）t≥ H（q），*T、 也就是说，测量Qv，*这是f发散极小。24.具有相关布朗运动的Black Sholes模型（W（1），W（2））是独立的标准布朗运动。让我们来看看∈ R和σ>0，σ>0。我们计算X（1）t=u+σW（1）t，X（2）t=u+σW（2）t，对于参数|ρ|≤ 1，letXt=p1- ρX（1）t+ρX（2）t。那么，X将是漂移系数u=p1的布朗运动- ρu+ρu，扩散系数σ=（1）- ρ） σ+ρσ，以及Xt和X（2）之间的相关系数等于ρ。