收益率、波动率和交易之间的去趋势交叉相关性

3显示了少数股票的R-V对的代表性结果。它们从WMT和HDT的FqXY中较差的窄范围幂律依赖性，到CVX和AIG的不稳定的非标度函数依赖性。这里值得一提的是，幂律互相关的缺失伴随着R和V中建立良好的幂律自相关（比较图1）。在本节的剩余部分中，我们将集中讨论具有明确分形特征的P-ir：T-V。然而，即使在这种情况下，与不同股票对应的结果也存在巨大差异。图4（a）中收集了在T-V互相关中表现出明确功率r定律的样本股票。在每种情况下，标度扩展至少20年，相应的指数hxy（q）和λ（q）在很大程度上重叠。有时，由于q的一些最小值（即最负值）在最小尺度上的不稳定行为，其结果会被忽略。另一方面，有些股票的规模在某种程度上被扭曲了。这类结果如图4（b）所示。在每种情况下，在一些种类中可能会发现近似的幂律行为，但a fit的质量比图4（a）中的差得多。然而，该问题并不影响hxy（q）和λ（q）的令人满意的符合性。通常，标度指数的可变性范围T-V中的λ（q）约为0.1，且不超过0。2（仅在少数情况下接近该值）。

这使得要得出关于数据的单分形或多重分形的任何决定性结论即使不是不可能的，也是困难的，因为λ（q）可以通过cr ossp-4修正股票市场公司的回报、波动性、交易活动和交易量之间的交叉相关性来获得-1s-1s-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4XOMJPMINTCIBM（a）-1s-1s-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-2024q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4HPQMMCSCOAIGQ（b）图4：互相关函数FqX Y（s）（主图）和标度指数：hxy（q）（红色/灰色，插图）和λ（q）（黑色，插图）计算的交易活动时间序列和交易量t=1和-4.≤ Q≤ 4对于不同的股票：（a）具有明确的互相关标度行为的样本股票，以及（b）具有不太明确的幂律互相关的样本股票。为了使绘图更具可读性，删除了当q为负值时，在几个尺度上出现的FqX Y（s）负值。在这种情况下，定义了相应的指数λ（q），此处未显示。由于数据的广泛概率分布函数（相关讨论见[28]），或者如果存在实际但弱的多重分形，则相关性实际上是单分形的，只有伪多重分形。在λ（q）不是t单调的情况下（如图4（b）的三个面板所示），分形类型根本不可能确定。上述结果是在所考虑的时间尺度中最短的时间尺度下获得的t=1分钟。但是，较长的时间尺度：t=5分钟和t=10分钟，结果在质量上相似。无花果

5显示了在两个样本库存（XOM和HPQ）的情况下，为此类长标度计算的函数FqXY。这些结果必须放在respec的背景下-1s-1s-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.45 minHPQ10 min5 minXOM10 minFig。5：互相关函数FqX Y（s）（主图）和标度指数：hxy（q）（红色/灰色，插图）和λ（q）（黑色，插图）计算的交易活动和交易量的时间序列t=5分钟和t=10米，带-4.≤ Q≤ 4对于两种代表性股票：XOM（定义明确的缩放比例，顶部）和HPQ（缩放比例更差，底部）。这些结果必须与图4的相应面板进行比较。N去除FqX Y（s）的负性值。如图4所示。事实上，在不同的t表示时间尺度上的缩放质量几乎没有依赖性，至少在考虑的范围内是如此t、 此外，指数xy（q）和λ（q）彼此非常相似。最后，我们加入代表相同等式（T或V）和相同时间尺度的时间序列通过这种方式，我们获得了更长的信号，可以用来确定这两个量之间的交叉相关性的平均行为。图6所示的结果表明，平均比例的q值类似于图6所示的曲线图。4-5从短到长有明显的改善t、 在为单个股票获得的结果中几乎检测不到的特征。函数Sfqxy（s）还显示，对于s>L，它们的曲线图趋于弯曲，标度指数λ（q）减小到零。

这种行为是由季节性成分[33,34]的存在引发的，这与影响大多数库存的市场演变的长期趋势有关。这种趋势不能通过式（5）中的第m次多项式P（m）完全消除，因此它们会阻止趋势消除过程，并将其自身表现出来。越强，不平等性s>L越强。正如预期的那样，hxy（q）和λ（q）之间没有差异。总结–我们研究了美国股市的高频数据，其中包括2008年至2011年3.5年期间在inDJIA上市的31只股票。我们对四个数量感兴趣：对数回报率R、波动率R、交易活动T和交易量V。在初步阶段，对时间序列进行了定义，以消除每日的季节性。然后，在我们研究的适当情况下，我们通过MFDFAp-5R进行了验证。Rak等人-1s-1s-1.-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.410分钟5分钟1分钟。6：互相关函数FqX Y（s）（主图）和标度指数：hxy（q）（红色/灰色，插图）和λ（q）（黑色，插图）计算的交易活动和交易量的联合时间序列，从n=31只股票中获得t=1分钟（长度：L（N）≈ 10） ，5分钟（长（北）≈ 2×10）和10min（L（N）≈ 10） 计算-4.≤ Q≤ 4.如图4所示，去除了FqX Y的负值。方法：表示所有这些质量的时间序列至少近似为幂律自相关，对于q=2，Hurst指数h（q）>0.5。接下来，我们应用MFCC A方法对代表相同但不同数量的信号进行配对，发现交易活动和交易量的幂律互相关最强，而回报和其他三个数量中的任何一个的幂律互相关最弱。

由波动性和交易活动或波动性和交易量组成的配对代表了介于两者之间的行为。从定性角度来看，这些结果是典型的，但在幂律标度的质量或分形或多重分形性质方面，我们也对股票之间的差异进行了量化。Wealso发现这些结果在时间单位的变化下大致不变我们观察到，交易活动t和交易量V之间存在最高的幂律互相关，这表明这些数量之间存在强统计耦合。特别是，它也支持这样一种观点，即高交易量是由大量的小交易产生的，而不是由大量的个体交易产生的，正如Gabaixet a l.提出的模型假设之一[31,32]。感谢–这项工作得到了自然科学和工程知识创新与转移中心（俄勒冈州大学）的部分支持。参考文献[1]J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，Phys。代表。515 (2012) 115.[2] 英中杰，《计量经济学》34（1966）676。[3] R.L.克劳奇，Am。经济部。牧师。60 (1970) 199.[4] C.M.琼斯，G.考尔，M.L.利普森，Rev。鳍螺柱。7(1994) 631.[5] 陈国强，W.-M.方，J.芬。经济部。57 (2000) 247.[6] F.Lillo，J.D.Farmer，R.N.Mantegna，《自然》421（2003）129。[7] M.Potters，J.-P.Bouchaud，Physica A 324（2003）133。[8] J-P.Bouchaud，Y.Gefen，M.Potters，M.Wyart，Quant。财务4（2004）176。[9] 林先生，科金斯先生。财务5（2005）365。[10] 周文轩，定量。财务12（2012）1253。[11] R.Rak，S.Dro˙zd˙z，J.Kwapie\'n，P.O\'swi,ecimka，ActaPhys。波尔。B 44（2013）2035。[12] B.Podobnik，D.Horvatic，A.M.Petersen，H.E.Stanley，Proc。纳特尔。阿卡德。Sci。美国106（2009）22079。[13] 袁彦，庄X-T，刘志勇，Physica A 391（2012）3484。[14] D-H.Wang，Y-Y.锁，X-余伟民。

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