多维投资组合的最优再平衡频率

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英文标题：
《Optimal Rebalancing Frequencies for Multidimensional Portfolios》
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作者：
Ibrahim Ekren, Ren Liu, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study optimal investment with multiple assets in the presence of small proportional transaction costs. Rather than computing an asymptotically optimal no-trade region, we optimize over suitable trading frequencies. We derive explicit formulas for these and the associated welfare losses due to small transaction costs in a general, multidimensional diffusion setting, and compare their performance to a number of alternatives using Monte Carlo simulations.
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中文摘要：
我们研究了存在小比例交易成本的多资产最优投资问题。我们没有计算渐近最优的非交易区域，而是在适当的交易频率上进行优化。我们推导出了在一般多维扩散环境下，由于小交易成本导致的这些和相关福利损失的显式公式，并使用蒙特卡罗模拟将其性能与许多备选方案进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

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PDF下载：
--> Optimal_Rebalancing_Frequencies_for_Multidimensional_Portfolios.pdf (532.66 KB)

2022-5-9 07:49:02 上传

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关键词：投资组合 再平衡 Optimization proportional Quantitative

多维投资组合的最优再平衡频率*Ibrahim Ekren+Ren LiuJohannes Muhle Karbe.§2017年5月24日摘要我们研究了存在小比例交易成本的多资产最优投资。我们没有计算渐近最优的非交易区域，而是在适当的交易频率上进行优化。我们推导出了在一般多维差异环境下，由于小交易成本导致的这些和相关福利损失的显式公式，并使用蒙特卡罗模拟将其性能与许多替代方案进行了比较。数学学科分类：（2010）：91G10、91G80。分类：JEG11。关键词：交易成本、最佳交易频率、最佳投资、多重资产1简介资产管理中的一个基本问题是何时以及如何重新平衡投资组合。在这样做的过程中，贸易商需要在密切跟踪实现最佳风险回报交易效果的无摩擦目标投资组合和限制交易成本之间取得平衡，这使得所有过于频繁的交易都非常昂贵。在实践中，这个问题通常是通过指定一个“合适的”交易频率来解决的，比如每天、每周或每月重新平衡，或多或少是以一种特别的方式。然而，理论指出，这种方法不是最优的。事实上，对于比例交易成本——这对中等规模投资者来说是合理的假设——有大量文献证明，最优策略应该是“移动”，而不是“基于时间的”[28、10、11、38、43]。也就是说，再平衡时间的选择不应该是外在的，而应该是由投资者的实际投资组合偏离其无摩擦目标的内在决定的。

近年来，在这类问题上取得了重大进展，导致对单一风险资产的小额交易成本限制制度进行了相当完整的分析，并制定了明确的再平衡规则[39,40,29,23]。*对于有帮助的评论，我们感谢Kai Du、Paolo Guasoni、Yaroslav Melnyk和Max Reppen。我们还感谢后者慷慨地分享了他的研究成果。此外，感谢匿名裁判的相关评论。+ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，R¨amistrasse 101，CH-8092，Mathematik部门，电子邮件：ibrahim。ekren@math.ethz.ch.ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，CH-8092，R¨amistrasse 101，Mathematik部门，电子邮件：ren。liu@math.ethz.ch.§密歇根大学数学系，美国密歇根州安娜堡教堂街530号，邮编：48109，emailjohanmk@umich.edu.这项研究的一部分是在作者访问ETH Z¨urich的Forschungsinstitut f¨urMathematik（FIM）时完成的。相比之下，人们对许多风险资产这一事实上非常重要的案例知之甚少。对于二元Black-Scholes模型[34]有一些数值结果，但尽管最近在渐近分析[7,36]方面取得了一些进展，这类问题仍然相当棘手。因此，在本研究中，我们重新探讨了更简单的基于时间的方法。在一般的多维差异环境中，我们考虑最大化预期相对回报的投资者，因相应的（局部）差异和交易成本而受到惩罚。在对小交易成本的限制中，我们明确确定了最佳的“基于时间的再平衡规则”，在当前交易实施时，下一个交易时间已经确定。我们还提供了一个显式的渐近公式，用于量化与无摩擦状态相比的性能损失。

这些结果为（多维）投资组合的再平衡提供了新的思路。首先，对于单个风险资产，它们允许我们明确量化基于时间的再平衡规则相对于基于移动的再平衡规则的次优性[19,29,39,23]。结果表明，与无摩擦情况相比，相应的效用损失的比率是一个普适常数，与市场或偏好参数无关：（12/π）1/3≈ 1.56. 该数字应与常数21/3进行比较≈ 1.26将基于移动的最佳策略[15]（通过改变交易边界来实施）与一类策略中的最佳策略区分开来，一旦这些边界被打破，该类策略将立即交易回无摩擦目标[32]。因此，采用基于移动的策略会引入一个几乎相同大小的额外“次优因素”(≈ 1.24）立即回到无摩擦目标(≈ 1.26).第二，我们提供了一个明确的公式，用于在一般多维环境中评估简单基准策略的性能。在一维情况下，交易成本造成的福利损失的关键统计数据是无摩擦目标权重的扩散系数[43,19,23]。在我们的环境中，这个角色是由无摩擦StarGet与其买入和持有近似值之间差异的差异矩阵来扮演的。该数量通过（1.1）中定义的L2,1-范数确定最佳等待时间和相应政策的绩效，并通过跟踪范数与风险资产的扩散矩阵加权。第三，我们进行了大量数值测试，比较基于时间的交易规则与各种替代方案的性能。

对于具有恒定投资机会的Black-Scholes模型，我们发现，对于一种和两种风险资产，基于时间的最优再平衡规则的性能实际上与基于移动的最优投资组合一致。在这些情况下，1%交易成本的最佳交易频率低于每两年一次，因此，特定的再平衡方法并不起关键作用。为了说明随机投资机会模型中的这种变化，我们考虑了Kim和Omberg[24]模型的截断版本，其中预期收益是均值回复，最优策略是趋势跟踪类型。在这里，最佳交易频率增加到大约每半年一次，当可以明确计算单个风险资产时，基于移动的最佳策略会带来显著的改善。对于不止一种风险资产，以最优移动策略为特征的非交易区域不再明确已知，其计算的数值算法也不可用。然而，我们发现，即使是相关风险资产，单变量非交易区域的关联（对于具有固定或二次交易成本的不相关模型来说是渐近最优的）更容易处理，分别参见[2]或[12,9,33,17]，但对于非线性交易成本，例如许多实践者[1,41]倡导的平方根价格影响得出的交易成本，该问题只会加剧[40,29,12,15]中使用了标准。

在适当的可积条件下（例如[22]），我们的渐近结果可以推广到全局准则。一种特殊情况是之前文献中考虑的恒定交易频率，例如[5,18]；更一般地说，等待时间可能取决于当前的市场特征。处于高风险厌恶极限[16]）的风险资产仍优于基于时间的再平衡规则。这些结果传达的信息好坏参半。随着投资机会的不断增加，基于时间的平衡提供了几乎最优的结果，并为最优交易时间及其在任意维度的表现提供了明确的公式。因此，在这些环境中，它们是一种简单的替代方案，而不是易于驾驭的最优策略。相比之下，对于随机投资机会，例如，如果最优策略是趋势跟踪型的，我们的结果表明，即使是临时的多维非贸易区似乎也比基于时间的再平衡计划更适合。因此，这方面的进一步发展——可能在Gobet和Landon[14]中使用更明确的离散化方案——仍然是未来研究的一个具有挑战性的方向。本文的剩余部分组织如下：第2节介绍了模型和优化问题。我们的主要结果收集在第3节。随后，我们在不同的基线模型中对最优策略的性能进行了数值分析，并通过蒙特卡罗模拟将其与许多备选方案进行了比较。所有证据都收集在附录A中。在本文中，符号C代表一个通用的正常数，它可能因表达式而异。

b> 表示列向量b的转置∈ Rm，kbkRmits是Rm上的欧氏形式，bc是b的内积∈ Rmand c∈ Rm。我们用Mm×d（R）表示m×d矩阵的空间，实数项具有L2,1范数：kAk2,1：=mXi=1vuutdXj=1 | Aij |。（1.1）对于m×m矩阵A，tr（A）：=Pmi=1aii表示其轨迹。此外，我们还为m×d矩阵a的Frobenius范数编写了kAkF:=qPmi=1Pdj=1 | Aij |，并用（Ai）1表示≤我≤M∈ Rd是矩阵A的第i行。最后，对于E Rp和K=Rmor Mm×d（R），我们用Cjb（E；K），j表示∈ N一类k值有界j次可微函数，其导数高达j.2阶模型2。1.基于过滤概率空间的市场(Ohm, F、 P），我们考虑一个由m+1资产组成的金融市场：一个无风险资产，标准化为一，m个由d维布朗运动B=（B，…，Bd）>：dSitSit=ui（Yt）dt+mXj=1σij（Yt）dBjt，i=1，m、 这里，状态变量Y=（Y，…，Yp）>∈ RPI是一个自主扩散过程，dYit=bi（Yt）dt+pXj=1gij（Yt）dBjt。Gobet和Landon[14]研究了当价格增量存在于椭球体时，重新平衡策略的离散化误差。联合最小化交易成本，这种离散化误差更复杂，需要使用数值方法优化从RDR到R的函数，这些函数来自命中时间的预期。风险资产的预期超额收益通过向量估值过程u（Y）=（u（Y），um（Y））>；矩阵值过程σ（Y）中的条目σij（Y）描述了风险资产i在布朗运动b的第j分量引起的冲击方面的暴露。同样地，b（Y）=（b（Y），bp（Y））>∈ Rmand g（Y）=（gij（Y））1≤我≤p、 一,≤J≤D∈ Rp×状态变量的位移系数和扩散矩阵。自始至终，我们施加以下规则性条件：假设2.1。

让E Rpbe是状态变量Y的支持。（i） u∈ Cb（E；Rm），b∈ Cb（E；Rp），σ∈ Cb（E，Mm×d（R））和g∈ Cb（E，Mp×d（R））。也就是说，漂移系数和扩散系数是有界的，并且两次连续可微分有界导数。特别是supy∈对于某些常数Kσ>0，Ekσ（y）k2,1<Kσ。（ii）风险资产的协方差矩阵∑（Yt）：=σ（Yt）σ（Yt）>是一致椭圆的，因此其逆∑-1=（ξij）1≤i、 j≤mexists for all t∈ [0，T]且在E.2.2无摩擦优化上一致有界。为了设置阶段，我们首先简要概述了无摩擦情况，即投资组合再平衡是无成本的。为此，考虑一个初始财富v>0的投资者。如果她在时间t持有风险资产的fractionswt=（wt，…，wmt）>，她的财富具有以下动态：dVtVt=mXi=1witui（Yt）dt+σi（Yt）dBt, V=V.如[9,15]中所述，投资者将其预期相对回报最大化，并因相应的差异而受到惩罚。在连续时间限制中，这导致以下局部均值-方差标准：F（w）：=TEZTdVtVt-γZTd[V]tVt=TZTEhw（Yt）>u（Yt）-γw（Yt）>∑（Yt）w（Yt）idt→ 最大值！（2.1）在这里，风险规避参数γ>0与预期收益和方差的相对重要性进行权衡。逐点最大化很容易产生这个目标函数被梅顿投资组合最大化：w*（Yt）：=（w）*,1（Yt），W*,m（Yt））>=γ∑-1（钇）u（钇）。（2.2）通过将（2.2）插回（2.1）：F（w）获得相应的最佳无摩擦性能*) =TEZTu（Yt）>∑-1（钇）u（钇）2γdt.自始至终，我们假设默顿投资组合既不卖空安全资产，也不卖空风险资产，并且从不将所有基金投资于其中一项：假设2.2。0≤ W*,i（Yt）<1，i=1，m、 0<Pmi=1w*,i（Yt）≤ 1.第二个等式来自假设2.1（ii）。

[21]在无摩擦的情况下，以及[30,12,13,29]在交易成本的情况下，研究了财富过程绝对增量的类似标准。2.3引入交易成本，我们在优化问题（2.1）中加入比例交易成本ε>0。即使交易成本非常小，任何有限变化的策略都会导致立即破产。特别是，默顿投资组合（2.2）无法实施，因为相应的风险股数量一般遵循一个扩散过程。在这里考虑的一般多维环境中，即使在小交易成本的限制下，也不可能计算表征最优策略的非交易区域。因此，我们在这里关注的是在“基于时间的”再平衡策略类别中确定最佳交易频率这一不太雄心勃勃的目标，可以描述如下。在时间τ=0时，设置默顿投资组合w*（Yτ）从（2.2）中选择，并根据当前市场特征选择下一个再平衡日期τ。在时间τ之前，让投资组合不受控制地发展，然后再将其重新平衡到默顿投资组合w*（Yτ）atτ。然后，根据时间τ上的可用信息选择下一个交易时间τ，并重复操作，直到到达终端时间T。因为我们最终对极限ε感兴趣↓ 对于小交易成本，我们将连续交易之间的等待时间参数化如下：定义2.3。离散化规则是一个适应的、连续的、积极的过程ZTAtdt< ∞ 还有E输入∈[0，T]At< ∞. （2.3）与离散化规则A相关的交易时间和交易成本ε>0由以下停止时间的递增顺序给出：τ=0，τj=τj-1+εαAτj-1，j=1，2。

也就是说，参数α控制着如何在交易成本较低的情况下加快交易，而交易过程（At）t∈[0，T]结合了当前的市场特征。请注意，（2.3）中的第二个要求意味着到期前的交易数量为a.s.finite:N:=inf{j≥ 0:τj+1≥ T}≤ε-αTinft∈[0，T]At<∞ P-a、 s.（2.4）此外，利用a的连续性，（2.3）中的第一个要求得出thatlimε→0supj≤N{τj+1- τj}≤ limε→0εαsupt∈[0，T]At=0 P- a、 s.（2.5）也就是说，离散化的网格宽度确实由εα决定。给定一个离散化规则和初始财富，相应的财富过程可以递归地描述如下：只有当它恰好是买入并持有类型时，才会出现例外，因为它位于单位单纯形的一个角。在不考虑小成本限制的情况下，最优目标投资组合通常不同于无摩擦优化器，请参见[13]以了解更易于处理的二次成本模型中的详细讨论。在小成本限制下，差异消失，向默顿投资组合的再平衡变得渐近最优[33]。这与具有小比例成本的单资产模型的渐近结果类似，其中渐近最优策略也围绕无摩擦默顿投资组合对称[43,19]。在这里，我们不确定其他目标投资组合的次优性，以避免由此带来的额外技术问题，因为向默顿投资组合再平衡在实践中是标准的。定义2.4。确定初始财富v>0和离散化规则a。然后，美元金额vε，i（a），i=0，m投资于每项资产，反过来总财富Vε（A）=Pmi=0Vε，i（A）演变如下。在初始时间t=τ=0时，我们有vε，i（A）：=vw*,i（Y），i=1。