法律不变的风险度量和信息分歧

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英文标题：
《Law invariant risk measures and information divergences》
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作者：
Daniel Lacker
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  A one-to-one correspondence is drawn between law invariant risk measures and divergences, which we define as functionals of pairs of probability measures on arbitrary standard Borel spaces satisfying a few natural properties. Divergences include many classical information divergence measures, such as relative entropy and $f$-divergences. Several properties of divergence and their duality with law invariant risk measures are developed, most notably relating their chain rules or additivity properties with certain notions of time consistency for dynamic law invariant risk measures known as acceptance and rejection consistency. These properties are linked also to a peculiar property of the acceptance sets on the level of distributions, analogous to results of Weber on weak acceptance and rejection consistency. Finally, the examples of shortfall risk measures and optimized certainty equivalents are discussed in some detail, and it is shown that the relative entropy is essentially the only divergence satisfying the chain rule.
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中文摘要：
在律不变风险测度和发散之间建立了一一对应关系，我们将其定义为满足一些自然性质的任意标准Borel空间上概率测度对的泛函。发散包括许多经典的信息发散度量，如相对熵和$f$发散。发展了散度的若干性质及其与律不变风险度量的对偶性，最显著的是将其链式规则或可加性性质与动态律不变风险度量的某些时间一致性概念（称为接受和拒绝一致性）联系起来。这些性质还与分布水平上接受集的一个特殊性质有关，类似于韦伯关于弱接受和拒绝一致性的结果。最后，详细讨论了短缺风险度量和优化确定性等价物的例子，结果表明，相对熵本质上是满足链式规则的唯一散度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-9 09:05:24 上传

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关键词：风险度量 风险度 Applications distribution Quantitative

法律不变的风险度量和信息分歧。在定律不变的风险度量和发散之间绘制了一对一的对应关系，我们将其定义为满足一些自然性质的任意标准Borel空间上概率度量对的泛函。发散包括许多经典的信息发散度量，如相对熵和f发散。发展了散度的若干性质及其与律不变风险测度的对偶性，最显著的是将它们的链式规则或可加性性质与动态律不变风险测度的某些时间一致性概念联系起来，这些动态律不变风险测度被称为可接受性和可加性一致性。这些性质还与分布水平上接受集的一个特殊性质有关，类似于韦伯关于弱接受和拒绝一致性的结果。最后，对短缺风险度量和优化确定性等价物的例子进行了详细讨论，结果表明，相对熵本质上是满足链式规则的唯一散度。1.引言本文深入分析了法律不变风险测度及其与概率测度的散度型泛函的关系。在整篇论文中，一个非原子的标准Borel空间(Ohm, F、 P）是固定的，风险度量定义为凸函数ρ：L∞:= L∞(Ohm, F、 P）→ R满足：（1）不知名度：如果X，Y∈ L∞还有X≤ Y a.s.然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（2） 现金可加性：如果X∈ L∞c∈ R然后ρ（X+c）=ρ（X）+c.（3）归一化：ρ（0）=0。函数X7→ ρ(- 十） 通常被称为标准化凸风险度量；一些作者使用术语可接受性度量[31]来表示我们所选择的风险度量。

凸风险度量首次出现在[14,17,21]中，扩展了Artzner等人[4]的论文中介绍的一致风险度量的类别（另见[10]）。如果ρ（X）=ρ（Y），只要X具有相同的定律，风险度量ρ就是定律不变的。本文中有三个标准示例将指导我们：第一个是众所周知的熵风险度量ρ（X）=η-1对数E[EηX]，η>0。第二，给定一个非减量凸函数l : R→ [0, ∞) 具有l（0）=1，相应的短缺风险度量值（由F¨ollmer引入，并在[14]中给出）为ρ（X）=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1} .最后，给出一个非减量凸函数φ：R→ 带φ的R*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0，相应的优化确定性等价物（由Ben Tal和Teboulle在[5,6]中介绍）为ρ（x）：=infm∈R（E[φ（m+X）]- m）。我们构造了如下分歧：固定一个定律不变的风险度量ρ。给定一个波兰空间E，设P（E）表示E上的Borel概率测度集。对于任何波兰空间（或任何标准Borel空间）和任何μ∈ P（E），我们可以定义一个新的法律不变风险度量ρu：L∞（E，u）→ R乘以ρu（f）：=ρ（f（X）），其中X是Ohm 与法律Po 十、-1= u. 的确，这样一个X的存在是因为eOhm 是非原子的，由于定律不变性，这个定义与选择X无关。这种风险度量满足一致性，即ρu（f）=ρν（g）o F-1= ν o G-1.（1.1）本材料基于美国国家科学基金会（NSF）资助的工作，授予号为DMS-1502980.2的DANIEL LACKERLetα（·|u）表示与ρu相关的最小P（e）函数，即ρu：α（ν|u）=supf对P（e）的限制∈L∞（E，u）ZEf dν- ρu（f）= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0.我们称α为ρ引起的散度。

总之，函数α（·|·）是为任何波兰空间（或标准Borel空间）上的概率度量对定义的，非常类似于类相对熵和其他信息散度，如f散度。实际上，当ρ是熵ris k度量时，α只不过是通常的相对熵（也称为库尔贝克-莱布尔散度）H（ν|u）=Zlogdνdudν代表ν<< u, ∞ 否则当ρ是响应函数的短缺风险度量时l, 诱导发散度为α（ν|u）=inft>0t1+ZEl*tdνdudu, 为了ν<< u, ∞ 否则，在哪里l*（t） =sups∈R（圣- l（s） ）是f的凸共轭l. 最后，当ρ是与函数φ对应的最优确定等价时，诱导散度是φ*-散度α（ν|u）=Zφ*dνdudu，表示ν<< u, ∞ 否则实际上，我们可以从[0]开始，∞]-值函数α=α（ν|u），为概率测量对（ν，u）定义∈ P（E）对于任何抛光空间E，使得对于每个抛光空间E和每个u∈ 我们有以下几个方面：（1）α（u|u）=0。(2) α(ν|u) = ∞ 如果ν∈ P（E）与spect至u并非绝对连续。（3） 地图7→ α（ν|u）是凸的，相对于总变化是下半连续的。（4） α（νK |uK）≤ α（ν|u）∈ P（E）和从E到另一个波兰空间F的每个核K，其中uK（dy）：=REu（dx）K（x，dy）∈ P（F）。我们把这样的函数称为散度，我们知道，对于任何散度，都对应于在原始空间上定义的唯一不变风险度量(Ohm, F、 P）；我们通过显示定义ρ（f（X））：=ρu（f）：=supν来证明这一点∈P（E）ZEf dν- α(ν|u),在（1.1）的意义上，当E是一个抛光空间时，f∈ B（E）和u=Po 十、-1对于someX：Ohm → E

这个性质（4）正好对应于一致性性质（1.1），在信息论中被称为数据处理不等式，至少当α是通常的相对熵时是这样。本文的主要关注点是与众所周知的相对熵链规则有关的发散性质的表征，该规则读取sh（ν（dx）Kνx（dy）|（dx）Kux（dy））=H（ν|u）+Zν（dx）H（Kνx | Kux），并保持两个波兰空间乘积上的所有（分解）概率测度u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy）。更重要的是，如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））的散度α是超可加的≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx | Kux）。（1.2）如果逆不等式成立，我们说α是次可加的。我们用相应风险测度ρ的各种性质来描述这一点。本研究的原始动机来自对ρ（λX）形式的集中不等式的张量化性质的长期研究≤ γ（λ），对于llλ≥ 0，（1.3）式中γ：[0，∞) → [0, ∞]. 在后续论文[28]中，我们研究了与流动性风险相关的集中度不等式（1.3）。当ρ是熵风险测度时，不等式（1.3）只是法律不变风险测度和X的信息发散3矩母函数的一个界。在这种情况下，张力化大致意味着ρ（λh（X，Y））λ的界≥ρ（λf（X））λ上的界≥0和ρ（λg（Y））λ≥0，对于两个给定的（通常是独立的）随机变量X和Y以及各种（类）函数f、g、h。通常使用链规则证明张量化属性（详情参见[20]），尤其是位置1。

因此，我们寻求链式规则的替代方案，以便理解如何将这些思想推广到m（1.3）的一般集中不等式。结果表明，超加性（1.2）的对偶形式是所谓的纠正风险度量ρ的时间一致性性质，我们在Weber[35]的构造基础上对其进行了描述：通过ρ（P）定义P（R）上的函数ρo 十、-1） =ρ（X），这当然是由于定律不变性而定义的。对于任何σ-场G F英寸Ohm 还有任何X∈ L∞, 考虑G-可测随机变量ρ（X | G）（ω）：=ρ（P（X∈ · | G） （ω），其中P（X）∈ · | G） 表示给定G的X的正则条件定律。如果ρ（X），我们说ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G））每X∈ L∞以及任何σ场G F.如果相反的不等式成立，我们说ρi是一致的。如果ρ是交流接受度和拒绝度一致的，我们说它是时间一致的。我们证明了ρ的可接受性本质上等同于诱导散度α的超加性，并且我们提供了一个关于度量可接受集a性质的额外表征：=Po 十、-1:X∈ L∞, ρ（X）≤ 0 P（R）。这些不同的特征被用来发现这些函数l 和φ，对应的短期风险度量和优化的确定性等价物是一致的。从Kupper和Schachermayer[26]的结果可以看出，熵风险度量本质上是唯一的时间一致性风险度量，作为推论，我们发现相对熵是满足链式规则的唯一散度（高达一个标度倍数）。最终，我们发现，除了熵度量或其适度扰动外，没有多少法律不变的风险度量是接受一致的（或拒绝一致的）。换句话说，在相对熵之外没有多少发散是超加的。

虽然我们的结果在这方面有些负面，但风险度量引起的分歧的构造和表征本身就很有趣，它们似乎是研究法律不变量风险度量的有用工具。此外，我们发现，理解上述应用程序中分歧的局限性有一定的价值。我们还简要回顾了韦伯[35]的相关结果。假设ρ（X）弱相容≤ 0ρ（X | G）≤ 0 a.s.，代表X∈ L∞和σ-场G F.Weber证明了这在本质上等同于度量接受集A的凸性。我们证明了弱接受一致性也等同于比超加性更弱的质量：α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））≥Zν（dx）α（Kνx | Kux）。到目前为止，已经对动态风险度量的时间相关性进行了深入研究[30,11,18,13,34,8]。Acciaio和Penner[1]的nice调查将是一个有用的参考，尽管我们将主要研究Weber在[35]中构建的动态法律不变风险度量类型。考虑到这些丰富的文献，我们关于时间一致性的结果中最新颖的是在度量接受集的移位凸性中描述接受一致性，这很好地补充了韦伯关于weakacceptance一致性的结果。从理论上讲，我们可以从[1]中的结果推断出我们在超辐射性（1.2）方面的特征，但这并非无关紧要：关键的区别在于，以前关于这个主题的论文（包括[1]）在定义条件风险度量的最小惩罚函数方面具有重要的优势。我们纯粹使用逐点定义，虽然这种区别在很大程度上是技术性的，但两者之间存在一个不小的差距，这源于一个微妙的可测量选择论点。

详见第3.4节。以上结果必须经过验证：超加性和接受一致性的等价性仅在额外假设下得到证明，即α（ν|u）=supf，即散度α是简化的∈C（[0,1]）Z[0,1]fdν- ρu（f）！，我们没有试图将我们对相对熵的描述与文献中已有的许多描述相协调（参见Csisz\'ar[9]的调查），但我们至少可以确信，我们获得相对熵的技术是新的，尤其是避免了函数方程。每u，ν4 DANIEL Lacker∈ P（[0,1]）。这个额外的假设无疑有些令人讨厌，如果没有它，超可加性的主要结果是否成立，这是不明确的。虽然我们没有为这个条件确定一个很好的对偶特征，但我们已经确定了一个常见的更强的条件：即，只要ρ是连续的，α就被简化，在这个意义上，ρ（Xn）→ ρ（X）当Xn为均匀边界且Xn→ Xa。s、 这是一个强有力的假设，但它适用于短缺风险度量和优化确定性等价物的主要示例。此外，我们还证明了ρ的Lebesgue连续性实际上等价于诱导散度α的联合下半连续性（与弱收敛有关）。最后，第4节我们研究了发散的各种性质。首先，α的联合凸性被证明在概率测度的水平上等价于ρ的凹性（即上文定义的ρ的共凸性），这是Acciaio和Svindland[2]对每一个优化确定性等价物进行了详细研究的一个性质。第二，作为离散性定义属性（4）的一个有趣的决策理论结果，请注意如果T:E→ F是可测的，那么α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α(ν|u); 我们证明了如果T是{u，ν}的有效统计量，则等式成立。

最后，我们证明了在某种意义上，简化的分歧可以通过它们在有限集上的投影来近似。论文的结构如下。在引入分歧并研究其最本质的性质之前，第2节回顾了法律不变风险度量的基本定义和对偶结果。命题2.6和定理2.7给出了法律不变风险度量中分歧的主要特征。第2.2节接着介绍了s隐含散度的概念，作为一个重要的例子类别，我们随后阐明了风险度量的连续性属性与诱导散度的联合低连续性之间的联系。这是第3节的一个有用的准备步骤，第3节将讨论时间一致性和超可加性。主要定理3.5从诱导散度的可加性和度量接受集的移位凸性两方面刻画了一个律不变风险度量的时间一致性。第4节研究了与凸性有关的其他结果，以及对分歧的一些更多信息理论用途，应该注意的是，本节完全独立于第3节。最后，第5节将该理论应用于空头风险度量和优化确定性等价物的示例。这篇简短的附录专门用来证明一个技术问题。2.风险度量和差异首先，让我们定义一些符号。纵观报纸(Ohm, F、 P）是一个极大概率空间，我们称之为非原子标准Bor el空间。缩写为Lp=Lp(Ohm, F、 P）通常用于上的P-可积实值可测函数集（等价类）Ohm. 让P(Ohm) 表示上的一组可能性度量(Ohm, F） ，然后让PP(Ohm) 表示由相对于P绝对连续的度量组成的子集。

正如引言中所述，对我们来说，风险度量是一个凸非减（关于a.s.订单）函数ρ：L∞→ R满足ρ（0）=0和ρ（X+c）=ρ（X）+c的所有X∈ L∞, C∈ R.再次注意，这与标准定义有所不同，标准定义中ρ为非递增[16]。定律不变风险度量具有一些很好的附加结构，特别是[22]和[12]的结果，尽管我们不需要Latter。定理2.1（文献[22]中的定理2.1]）。每个定律不变风险度量ρ都满足Fatou性质，这意味着∈ L∞一致有界且收敛于a.s∈ L∞, 那么ρ（X）≤林恩芬→∞ρ（Xn）。让我们回顾一个经典的对偶结果，但要注意，呈现的细节有些不寻常：我们说的是一个函数α：PP(Ohm) → [0, ∞] 是ρ的惩罚函数，如果它保持ρ（X）=supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[X]- α（Q）. （2.1）（请注意，s upremum只涉及可数加法度量，我们不会提及不确定性。）这里，EQdenotes期望w与概率Q有关。参考测度P下的期望简单地表示为E，而不是其他空间上的积分Ohm 用更明确的测量理论符号表示。定律不变的风险度量和信息分歧5定理2.2（文献[16]中的定理4.33]）。假设ρ是一个定律不变的风险度量。然后是函数α：PP(Ohm) → [0, ∞] 定义为α（Q）：=sup等式[X]：X∈ L∞, ρ（X）≤ 0= 好的∈L∞等式[X]- ρ（X）（2.2）是ρ的惩罚函数。