法律不变的风险度量和信息分歧

事实上，它是最小惩罚函数，在这个意义上，任何其他惩罚函数α′对于ρ满足α≤ α′.注意，对偶表示（2.2）意味着最小惩罚函数是凸的，并且与总变差拓扑以及较弱的拓扑σ（PP）有关(Ohm), L∞).由于Kusuoka[27]的原因，并在[19,22]中进行了扩展，有一种替代的双重表示法更具体地描述了法律不变的风险度量，但我们将不使用它。备注2.3。请注意，我们可能会懒得考虑ρ将在等效类（即L的元素）上进行评估这一事实∞, 与特定的可测量函数相反。对于风险度量ρ，我们可以用可测量函数X的明显方式定义ρ（X）：=ρ（[X]）：Ohm → R通过查找等效类[X]∈ L∞X所属的。考虑到这一点，我们可以定义α（Q）：=∞ 对于Q∈ P(Ohm) 对于P不是绝对连续的，那么对偶公式（2.1）可以写成ρ（X）=supQ∈P(Ohm)等式[X]- α（Q）,对于有界可测函数X：Ohm → R.与凸风险测度的许多性质一样，法律不变性也可以用极小惩罚函数的性质来表征，这将是下一节更广泛讨论的一个基础。虽然[32，命题2]和[22，引理a.4]中出现了一个非常类似的结果，但这种描述似乎是新的。提议2.4。假设L上有一个风险度量ρ∞具有法头性质（见定理2.1）。那么ρislaw不变量当且仅当它有一个满足α（Q）的惩罚函数αso T-1) ≤ 每个Q的α（Q）∈ 聚丙烯(Ohm)对于每个可测量的T：Ohm → Ohm 满意的Po T-1=P。证据首先，假设ρ是定律不变的，并假设α是定理2.2提供的最小惩罚函数。让T：Ohm → Ohm 是一张满足P的可测地图o T-1=P。

然后Xo T和X有相同的定律，而我们ρ（X）=ρ（X）o T）每X∈ L∞. 因此α（Qo T-1） =supX∈L∞情商oT-1[X]- ρ（X）= 好的∈L∞等式[X]o [T]- ρ（X）o （T）≤ 好的∈L∞等式[X]- ρ（X）= α（Q）。为了证明相反，fix，Y∈ L∞用同样的法则。根据[23，推论6.11]（因为概率空间是非原子的），我们可以找到一个可测量的映射T：Ohm → Ohm 这样Po T-1=P和P（X=Y）o T=1。那么ρ（X）=supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[X]- α（Q）= supQ∈聚丙烯(Ohm)情商oT-1[Y]- α（Q）≤ supQ∈聚丙烯(Ohm)情商oT-1[Y]- α（Q）o T-1)≤ supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[Y]- α（Q）= ρ（Y）。通常，当F是集合E上的一组实值函数时，符号σ（E，F）指的是F连续元素上最粗糙的拓扑。6 DANIEL Lackerring演绎X和Y的角色完成了证明。备注2.5。从命题2.4的证明可以清楚地看出，ρ具有fatoupproperty的假设是不必要的。为了避免引入额外的术语，并避免详述涉及完全相加的度量的细节，我们仅说明这种更简单的形式。2.1. 分歧及其表征。现在，让我们利用法律不变性来构建相应的风险度量家族，我们称之为分歧。修正了这个假设的风险度量ρ不变。给定一个波兰空间E，le t P（E）表示E上的Borel概率测度集<< u表示ν相对于u是绝对连续的。如果有的话∈ P（E），writePu（E）：={ν∈ P（E）：ν<< u}. 定义C（E）、Cb（E）和B（E）分别为E上的连续、有界连续和有界可测函数集。

空间P（E）被赋予由映射u7生成的σ场→ u（A），其中A E是波雷尔；这等于弱收敛的拓扑结构，即σ（P（e），Cb（e））所定义的Borelσ-fi-le。给定抛光空间E和u∈ P（E），我们可能会发现（beca useOhm 是非原子的）一个可测量的函数x：Ohm → E使得Po 十、-1= u. 然后，我们可以定义L上的（法律不变）风险度量ρu∞（E，u）乘以ρu（f）：=ρ（f（X））。请注意，根据法律不变性，这个定义不取决于X的选择，只要Po 十、-1= u. Wecall（ρu）u，由ρ引起的一系列风险度量。这一系列风险度量满足一致性属性，即ρu（f）=ρν（g）o F-1= ν o G-1.（2.3）特别是，对于从一个波兰空间E到另一个F的任何可测映射T，我们有ρuoT-1（f）=ρu（f）oT）代表f∈ L∞（F，u）oT-1). 当E是任何标准的Borel空间时，同样的构造是有效的，但为了简单起见，我们坚持使用Polish空间。ρu的最小惩罚函数表示为α（·|u）：Pu（E）→ [0, ∞] 定义为α（ν|u）：=supf∈B（E）ZEf dν- ρu（f）= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0. （2.4）通过设置α（ν|u）=∞ 当ν与u不是绝对连续时。那么，对于f∈ B（E），ρ（f（X））=ρu（f）=supν∈P（E）ZEf dν- α(ν|u), 如果Po 十、-1=u，很容易检查（2.4）是否对ν有效∈ P（E）\\Pu（E）。（如备注2.3所示，我们不要过分注意区分可测函数及其等价类。）我们称α（·|·）为ρ引起的散度。注意，α（·|·）是为任意波兰空间上的概率测度对定义的。此外，α（·|u）对于总变量和拓扑σ（P（E），B（E））始终是凸的和下半连续的。

ρ引起的发散的另一个表达式是通过测量接受集A：=Po 十、-1:X∈ L∞, ρ（X）≤ 0 P（R）。实际上，我们可以写出α（ν|u）=supZEf dν：f∈ B（E），μo F-1.∈ A..发散满足与（2.3）相关的一致性属性，该属性的声明需要一些涉及核的符号。给定波兰空间E和F，从E到F的核是一个可测函数E x7→Kx∈ P（F）。给定u∈ P（E），写入uK:=REu（dx）Kx（·），用于P（F）中的平均测量值，即uK（A）=ZEu（dx）Kx（A），用于A 波雷尔。为了f∈ B（F），为B（E）中的函数Kf（x）=RFKx（dy）F（y）写入Kf。请注意标识yrff d（uK）=REKf du。法律不变的风险度量和信息分歧7命题2.6。设ρ为具有散度α的律不变风险测度。如果E和F是波兰空间，K是E到F的核，那么α（νK |uK）≤ α（ν|u），（2.5）表示所有u，ν∈ P（E）。特别是，如果T:E→ F是可测的，那么α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α（ν|u），如果T是可测逆的双宾语，则等式成立。证据请注意，通过设置K（x，dy）=δT（x）（dy），第二类im从第一类im开始。詹森的不平等很容易说明这一点o （Kf）-1.≤ （微克）o F-1所有f的凸序∈ B（F）；实际上，对于R上的每个凸函数φ，ZRφduo （Kf）-1=ZEφ（Kf）du≤ZEK（φo f） du=ZFφo fd（uK）=ZEφd（uK）o F-1.众所周知，（标准化的）定律不变风险度量相对于凸阶增加，例如增加[16，推论4.65]，因此ρuK（f）≥ ρu（Kf）。然后α（νK |uK）=supf∈B（F）ZFf d（νK）- ρuK（f）= supf∈B（F）ZE（Kf）du- ρuK（f）≤ 苏普格∈B（E）ZEg du- ρu（g）= α(ν|u).事实上，不平等性（2.5）足以从最初的风险度量家族中重建。这在以下方面是精确的：定理2.7。

假设给定函数族P（E） ν 7→ α(ν|u) ∈ [0, ∞], 对于每个抛光空间E和每个u∈ 假设下列条件成立：（1）α（u|u）=0。(2) α(ν|u) = ∞ 如果ν∈ P（E）对于μ不是绝对连续的。（3） α（νK |uK）≤ α（ν|u）∈ P（E）和从E到另一个波兰空间F的每个核K。对于每个抛光空间E和每个u∈ P（E），定义ρu（f）：=supν∈P（E）ZEf dν- α(ν|u), F∈ B（E）。（2.6）那么每个ρu都是一个法律不变的风险度量。此外，对于任何抛光空间F和G，任何u∈ P（F）和ν∈ P（G）和任何f∈ B（F）和g∈ B（G）带uo F-1= ν o G-1，我们有ρu（f）=ρν（g）。证据从定义开始，ρu就是一种风险度量。实际上，由于α（u|u）=0和α（ν|u）≥ 对于所有的ν，我们有ρu（0）=0。[16]的定理4.33表明ρu满足Fatou性质，因为其定义中的上确界仅包括可数相加测度。对于固定μ，我们从性质（3）和命题2.4推断ρμ是定律不变的。8 DANIEL LACKERIt仍需证明最后一项主张。假设目前我们可以找到一个从m F到g的核，即uK=ν和u（Kg=F）=1。那么ρν（g）=supη∈ P（G）ZGg dη- α(η|ν)≥ supη∈ Pu（F）ZGg d（ηK）- α（ηK |ν）= supη∈ Pu（F）ZFf dη- α（ηK |uK）≥ supη∈ Pu（F）ZFf dη- α(η|u)= ρu（f）。事实上，第二个不等式来自假设（3）。颠倒f和g的角色就完成了这个过程。为了证明这样一个核的存在性，我们引用了Strassen[33，定理3]的一个著名定理：用hφ（x）=supη定义F上的hφ∈ S（x）ZGφdη，其中S（x）：=η ∈ P（G）：ZGg dη=f（x）.如果S（x）对于每个x都是非空的∈ 如果hφ是可测的，那么Strassen的定理说，从F到G存在一个核K，满足uK=ν和u（Kg=F）=1当且仅当ifZGφdν≤ZFhφdu，适用于所有φ∈ Cb（G）。

（2.7）假设对于每个x，S（x）都是非空的∈ hφ是可测的，所以我们可以应用这个定理。在R上定义一个新函数hφbyehφ（a）：=supφ（g）-1（{a}））=sup{φ（y）：y∈ G、 G（y）=a}，使用通常的约定sup = -∞. 让我们检查一下φ（f（x））≤ hφ（x），u- a、 e.x∈ F、 （2.8）如果x∈ F hasehφ（F（x））=-∞, 没有什么可以证明的。假设x∈ F满足φ（F（x））>-∞. 对于fixed>0，我们可以选择y∈ 使得G（y）=f（x）和φ（y）≥ehφ（f（x））- . 然后，sinceRGg dδy=f（x），我们通过定义φ（y）≤ hφ（x）和thusehφ（f（x））≤ +hφ（x）。由于是任意的，这证明了（2.8）。最后，因为φ（x）≤所有x的ehφ（g（x））∈ G、 使用νo G-1= u o F-我们证明（2.7）：ZGφdν≤ZGehφo g dν=ZFehφo fdu≤ZFhφdu。仍需检查上面遗漏的技术要点。首先请注意，S（x）对于u-几乎每个yx都是非空的：如果S（x）为空，则f（x）不在g的范围内，因为g不能保持一组正的u-测量值oF-1= ν oG-1.修改S（x）使其等于空集合上的F，使其永远不为空S（x）6=.接下来，我们不需要证明hφ是普遍可测的，因为S（x）的图是解析的[7，命题7.47]，所以我们可以通过简单地将Borelσ-场重新放置在F上，并使其具有普遍的完备性，来应用Strassen定理。考虑到前面的结果，我们自然会做出以下定义：定义2.8。散度是一组凸的下半连续函数（关于总方差）P（E） ν 7→ α(ν|u) ∈ [0, ∞], 对于每个抛光空间e和每个u∈ P（E），满足定理2.7的性质（1-3）。给定偏差α，相应的（或诱导的）风险度量族为（ρu）u族，定义为（2.6）。相应的（或诱发的）风险度量是风险度量¨ρdefined on L∞= L∞(Ohm, F、 P）由ρ（X）：=ρPo十、-1（id），其中id表示R上的身份映射。

由于定理2.7，ρ得到了很好的定义。直接检查它的诱导散度正好是α，并且对于每个抛光空间E和μ，βρu=ρu∈ P（E）。法律不变的风险度量和信息差异92.2。简化了分歧。相对熵的一个重要性质是，它的对偶公式可以简化为连续函数的上确界：对于波兰空间和对于u，ν∈ P（E），H（ν|u）=supf∈B（E）ZEf dν- logZEefdu= supf∈Cb（E）ZEf dν- logZEefdu.对于我们在第三节中对发散的超可加性的刻画，对于我们来说，对于一般的发散有一个相似的结果是很重要的。这样的定义并不总是可能的，因此我们做出定义：定义2.9。由定律不变的风险度量ρ引起的发散性α被认为是简化的，前提是u，ν∈ P（[0，1]）我们有α（ν|u）=supf∈C（[0,1]）Z[0,1]fdν- ρu（f）！。等效地，对于每个u∈ P（[0,1]），mapα（·|u）是弱低连续的，其中“弱”指的是美国的弱收敛拓扑σ（P（E），Cb（E））。这一定义的一个重要原因是以下可测量性结果，如果没有额外的假设，我们很难证明这一点。引理2.10。每一个简化的散度α都是可联合测量的，即对于任何固定的波利斯空间E，在P（E）×P（E）上的散度α（···）是可联合测量的（关于弱收敛拓扑生成的Borelσ-场）。证据固定一个波兰空间E。Borel是同胚的（见[24，定理15.6]），存在一个可测的双射T:E→ [0,1]具有可测量的逆e。根据命题2.6，α（ν）o T-1|u o T-1） =α（ν|u），对于所有u，ν∈ P（E）。还请注意，映射为u7→ u o T-1是从P（E）到P（[0，1]）的可测双射，具有可测逆。

因此，为了证明α在P（E）×P（E）上是联合可测的，必须证明它在P（[0,1]）×P（[0,1]）上是联合可测的。由于α是简化的，我们有α（ν|u）=supf∈C（[0,1]）Zf dν- ρu（f）对于u，ν∈ P（[0,1]）。由于ρu是关于C（[0，1]）上的上确界范数的Lipschitz，并且C（[0，1]）是可分的，我们可以将上面的上确界减少为可数的。但是ν7→Rf dν对于每个HF都是可测量的∈ C（[0,1]），与u7一样→ ρu（f）感谢Le mma 2.14。2.3. 发散的半连续性。本节的其余部分研究α的下半连续性性质，部分是为了其内在利益，部分是为了一个可处理的条件，这将允许我们验证我们在第5节中讨论的所有发散示例确实都是简单的。我们没有发现双侧简单发散的OOD特征，即ρ，不过，下面的部分结果还是说明了这种情况。我们知道，对于任何散度α，映射α（·|u）相对于拓扑σ（P（E），B（E））是低连续的，对于任何固定的u，E。我们将在引理2中看到。15事实上，α（·|·）对于同一拓扑是联合下半连续的。另一方面，我们知道相对熵是低半连续的，具有弱收敛性，我们首先描述了具有这种性质的发散性。为此，有助于做出两个定义，其中第二个是众所周知的：定义2.1。

如果对于每个波兰空间E，关于弱收敛的拓扑，映射α（·|·）在P（E）×P（E）上是下半连续的，即P（E）与拓扑σ（P（E），Cb（E）相配，则称散度α是联合弱下半连续的。这种等价性是芬切尔-莫罗定理的一个简单应用：让M（[0，1]）表示[0，1]上的有界有限加性符号测度集，并通过设置‘αu（ν）=α（ν|u）来将α（·u）扩展到M（[0，1]）∈ P（[0,1]）和‘αu（ν）=∞否则把M（[0,1]）和C（[0,1]）放在对偶中。那么ρu是αu的凸共轭。由于‘αu是凸的且正确的，所以它是低半连续的当且仅当它等于它的双共轭。10 DANIEL LACKERDe定义2.12。我们说风险测度ρ是勒贝格连续的，如果∈ L∞是一个带Xn的统一绑定序列→ 我们有ρ（Xn）→ ρ（X）。这相当于当Xn，X∈ L∞与Xn↓ 我们有ρ（Xn）↓ ρ（X）（c.f.注释4.25和[16]中的练习4.2.2]）。这一部分的主要结果如下，并且在前面有一个对应的引理：定理2.13。设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。以下是等价的：（1）α是联合弱下半连续的。（2） 对于每个抛光空间E和f∈ Cb（E），地图u7→ ρu（f）是连续的。（3） 对于每个抛光空间E，每个u∈ P（E）和每个f，fn∈ Cb（E）与fn→ 在点方向上，当fn一致有界时，我们有ρu（fn）→ ρu（f）。（4） ρ是勒贝格连续的。如果这些条件保持不变，那么：（5）对于每个抛光空间E和每个ν，u∈ P（E）我们有α（ν|u）=supf∈Cb（E）ZEf dν- ρu（f）.引理2.14。设ρ是一个定律不变的风险度量。固定一个抛光空间E和一个函数f∈ B（E）。地图Φ：P（E）→ R由Φ（u）给出：=ρu（f）是可测量的。此外，如果f∈ Cb（E），那么Φ是低连续的。证据首先我们要证明第二项索赔。让我们→ P（E）中的μ。

通过Skorohod表示，我们可以找到定义在Ohm 和Po十、-1=u，Po十、-1n=un，和Xn→ 几乎可以肯定。然后f（Xn）→ f（X）几乎肯定，因为f是连续的，序列f（Xn）是一致有界的。因此，法图性质（定理2.1）意味着ρu（f）=ρ（f（X））≤ 林恩芬→∞ρ（f（Xn））=lim infn→∞ρun（f）。为了证明第一项索赔，请确定M>0，以便| f |≤ M，并写入ρu（f）=ρuoF-1（id），其中id表示地图上的身份[-M、 M]。根据前面的论证，M7→ ρm（id）是下半连续的，在P上是可测的([-M、 M]）。因为也有7个→ u o F-1.从P（E）到P的波雷尔测量([-M、 （很容易用[7，命题7.25]证明），我们看到Φ是两个可测映射的组合。定理2.13的证明。(1 => 2）首先假设E是紧的。让我们→ P（E）中的μ。从引理2.14可知ρu（f）≤ 林恩芬→∞ρun（f），所以我们展示了上半连续性。设>0，并为achn找到一些νn∈ P（E）满足ρun（f）≤ +Zf dνn- α（νn |un）。因为E是compac t，所以每个子序列E都允许另一个子序列{nk}，使得→ 对一些人来说∈ P（E）和α的下半连续性→∞ρunk（f）≤ +Zf dν- α(ν|u) ≤ +ρu（f）。这是林超恩→∞ρun（f）≤ ρu（f）。最后，如果E不一定是紧致的，则确定M>0，使得un（|f |≤ M） =1。自从[-M、 M]是紧凑的，之前的结果表明ρun（f）=ρunoF-1（身份证）→ ρuoF-1（id）=ρu（f），其中id是[-M、 M]。(2 => 3） 让fn，f∈ Cb（E）与fn一致有界→ fu-a.s.然后存在M>0，使得u（|fn |≤ M） =1表示所有n，因此ρu（fn）=ρuoF-1n（id）→ ρuoF-1（id）=ρu（f），其中id表示[-M、 M]。法律不变的风险度量和信息分歧11（3）=> 4） L e t X，Xn∈ L∞与Xn一致有界→ X a.s.发现M>0这样的≤ 文科硕士s、 为了所有人。