法律不变的风险度量和信息分歧

对于抛光空间E和u∈ P（E），注意ρu（f）=supη∈ Q[u]Zf dη，其中Q[u]：=Qo 十、-1:X∈ L(Ohm; E） ，Q∈ Q、 Po 十、-1= u Pu（E）。给我(Ohm; E） 表示可测量函数的集合Ohm 让我们用命题3.8（5）来看看ρ何时是可接受一致的。设E和F是抛光空间，设u∈ P（E），让我们来看看∈ P（F）和letf∈ B（E×F）。然后，如果X表示E上的单位映射，ρu（ρu（f（X，·））|X=X）=supη∈ Q[u]ZEη（dx）ρu（f（x，·））=supη∈ Q[u]ZEη（dx）supη′∈Q[u]ZEη′（dy）f（x，y）=supη∈ Q[u，u]ZE×Ff dη，（5.3），其中我们定义Q[u，u]：={m（dx）Kmx（dy）∈ P（E×F）：m∈ Q[u]，Kmx∈ Q[u]适用于所有x}。事实上，（5.3）的最后一行来自一个众所周知的可测量选择论证[7，命题7.50]。因此，当且仅当ifsupη时，ρ是可接受的∈ Q[u×u]ZE×Ff dη≤ supη∈ Q[u，u]ZE×Ff dη，适用于所有f∈ B（E×F），因为左边的side正好是ρu×u（F）。但这相当于包含Q[u×u]的Q[u，u]闭合凸壳。对于每一对u，u是一个非常严格的要求，我们无法进一步澄清。它适用于极端情况，当Q为单体或Q=PP时(Ohm). 没有证据表明上述讨论对稳健熵风险测度ρ（X）=supQ同样有效∈质量控制-1对数等式[ecX]，c>0。附录A.引理3.11的证明保留引理3.11的符号。对于e ach x∈ 我们有α（Kνx | Kux）=supf∈B（F）ZFf dKνx- ρKux（f）,这显然意味着（回想一下，\'ν：=ν（dx）Kνx（dy））thatZEν（dx）α（Kνx|Kux）≥ supf∈B（E×F）ZE×Ff d′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·））.其余的证明致力于建立更复杂的不等式：ZEν（dx）α（Kνx | Kux）≤ supf∈B（E×F）ZE×Ff d′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·））. （A.1）F=[0,1]的证明。首先假设F=[0,1]。

由于α是简化的，对于每个x∈ 我们有α（Kνx | Kux）=supf∈C（[0,1]）Z[0,1]f dKνx- ρKux（f）！。法律不变的风险度量和信息分歧现在需要注意的是∈ C（[0，1]），在上面右边的上确界内x的函数是可测的。事实上，我们在引理2.14中证明了u7→ 当f连续且有界时，ρu（f）是可测量的（实际上是下半连续的）。由于具有上确界范数的C（[0,1]）是一个波兰空间，对于固定的>0，我们可以（通过[7，命题7.50]）找到一个普遍可测的映射E x7→ gx∈ C（[0，1]），这样，对于每个x∈ E、 Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）≥（α（Kνx | Kux）- ifα（Kνx | Kux）<∞1/如果α（Kνx | Kux）=∞.（A.2）我们可能会找到一个符合ν-A.e.和x7的Borel可测量图→ gx，我们滥用符号，用x7再次表示→ gx。根据Lusin定理，对于每个δ>0，都存在一个比较集sδ E使得ν（Scδ）≤ δ和约束Sδ x7→ gx∈ C（[0，1]）是连续的。在不失去普遍性的情况下，假设是δ 只要δ<δ′，Sδ′。定义gδx:=gx或x∈ Sδ和gδx:=0（零函数）表示x/∈ 注意gδ是从E到C（[0,1]）的有界可测函数。定义gδ：E×[0,1]→ R乘以gδ（x，y）=gδx（y），注意gδ是联合可测的（得益于[3]中的定理4.55和引理4.51），且有界。案例1。假设首先是ν（dx）α（Kνx|Kux）<∞. 然后，对于足够小的δ，我们有zscδν（dx）α（Kνx | Kux）≤ .然后是nzeν（dx）α（Kνx | Kux）≤ +ZSΔν（dx）α（Kνx | Kux）≤ 2+ZSΔν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#=2+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#=2+ZE×[0,1]gδd′ν-ZEν（dx）ρKux（gδ（x，·））≤ 2+supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·）））。第二行使用了（A.2），第三行使用了gδ的定义。由于>0是任意的，我们得到（A.1）。案例2。假设seti:={x∈ E：α（Kνx | Kux）=∞} 有ν（I）>0，所以reν（dx）α（Kνx | Kux）=∞.那么对于足够小的δ，我们有ν（Sδ）∩ （一）≥ ν（I）/2>0。

然后，再次使用（A.2）和gδ的定义，0<ν（I）2≤ν（Sδ）∩ 一） =ZSδ∩I-1ν（dx）≤ZSδ∩Iν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#≤ ν（Ic）+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#≤ ν（Ic）+supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·）））。（A.3）倒数第二个不等式来自Zicν（dx）Z[0,1]gδxdKνx这一事实- ρKux（gδx）≥ -ν（Ic），通过定义gδ。发送↓ （A.3）中的0表示（A.1）的右侧也存在缺陷。26 DANIEL LACKERCase 3。最后，假设ν（dx）α（Kνx | Kux）=∞ 但ν（I）=0，I定义为Ca se 2中的值。自α≥ 0，单调收敛定理意味着limδ↓0ZSΔν（dx）α（Kνx | Kux）=∞.修正M>0。求δ，使其为δν（dx）α（Kνx | Kux）≥ M然后，再次使用（A.2），ν（I）=0，以及gδ，M的定义≤ +ZSΔν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#=+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#≤ +supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-由于M>0是任意的，这表明右侧是有限的，验证（A.1）。一般F的证明。最后，我们去掉了F=[0，1]的假设，现在只假设它是波兰语。通过Borel-isomor-phis m（见[24，定理15.6]），我们可以找到一个可测的双射T:F→ [0,1]具有可测逆。注意，命题2.6产生α（Kνx | Kux）=α（Kνx）o T-1 | Kuxo T-1). 应用上述结果证明（A.1）：ZEν（dx）α（Kνx | Kux）=ZEν（dx）α（Kνxo T-1 | Kuxo T-1） =supf∈B（E×[0,1]）ZEν（dx）“Z[0,1]Kνxo T-1（dy）f（x，y）- ρKuxoT-1（f（x，·））#=supf∈B（E×[0,1]）ZEν（dx）ZFKνx（dy）f（x，T（y））- ρKux（f（x，T（·）））≤ supf∈B（E×F）ZEν（dx）ZFKνx（dy）f（x，y）- ρKux（f（x，·））.承认错误。感谢Igor Cialenco、Andrew Papanicolaou，特别是Stefan Weberf的宝贵讨论和参考，以及Kavita Ramanan对早期草案的仔细反馈。

这项研究的一部分是在作者访问美国国家科学基金会资助的纯数学与应用数学研究所（IPAM）时进行的。参考文献1。B.Acciaio和I.Penner，动态风险度量，金融高级数学方法，斯普林格，2011年，第1-34.2页。B.Acciaio和G.Svindland，分布上的法律不变风险函数是凹的吗？，依赖模型1（2013），54-64.3。C.Aliprantis和K.Bor der，《有限维分析：搭便车指南》，第3版，斯普林格出版社，2007.4。P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融9（1999），第3203-228.5号。A.Ben Tal和M.Teboulle，《随机非线性规划中的预期效用、惩罚函数和对偶》，管理科学32（1986），第11期，1445–1466.6。，凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物，数学金融17（2007），第3449–476.7号。D.Bertsekas和S.Shreve，《随机最优控制：离散时间案例》，雅典娜科学出版社，1996.8。P.Cheridito和M.Kupper，《离散时间内时间一致的动态货币风险度量的构成》，《国际理论与应用金融杂志》第14期（2011），第01期，第137–162.9页。I.Csisz\'ar，《信息测度的公理化表征》，熵10（2008），第3期，261–273.10。F.Delbaen，《一般概率空间上的一致风险度量》，金融和随机学进展，斯普林格，2002年，第1-37.11页。K.Detlefsen和G.Scandolo，《条件和动态凸风险度量》，金融与随机9（2005），第4539–561号。法律不变的风险度量和信息分歧2712。D.Fil ipovi\'c和G.Svindland，法律不变凸风险度量的标准模型空间是L，MathematicalFinance 22（2012），第3585–589.13号。霍尔默和我。

Penner，《凸风险度量及其惩罚函数的动态》，统计与决策24（2006），第1/2006号，第61–96.14页。H.F¨ollmer和A.Schied，《风险和交易约束的凸度量》，金融与随机6（2002），第4429-447.15号。，稳健偏好和风险凸度量，金融和随机研究进展，斯普林格，2002年，第39-56.16页。，《随机金融：离散时间导论》，沃尔特·德格鲁伊特，2011.17。M.Frittelli和E.R.Gianin，《在风险度量中排序》，《银行与金融杂志》第26期（2002），第7期，1473-1486.18。，动态凸风险度量，《21世纪的风险度量》（2004），227–248.19。，法律不变凸风险度量，《数理经济学进展》，斯普林格，2005年，第33-46.20页。N.Gozlan和C.L\'eonard，《运输不平等》。调查，arXiv预印本arXiv:1003.3852（2010）。21。D.Heath和H.Ku，《具有一致风险度量的帕累托均衡》，数学金融14（2004），第2期，第163–172.22页。E.Jouini，W.Schachermayer和N.Touzi，法律不变风险度量具有Fatou属性，数学经济学进展，Springer，2006，第49-71.23页。O.Kallenberg，《现代概率基础》，斯普林格科学与商业媒体，2002.24。A.Kechris，经典描述集理论，第156卷，斯普林格科学与商业媒体，2012.25。S.Kullback和R.A.Leibler，《信息与效率》，数理统计年鉴（1951年），79-86.26。M.Kupper和W.Schachermayer，《法律不变时间一致性函数的表示结果》，数学与金融经济学2（2009），第3期，189–210.27。S.Kusuoka，《关于法律不变的一致风险度量》，数理经济学进展，斯普林格，2001年，第83-95.28页。D.Lacker，《流动性、风险度量和度量集中度》，预印本（2015年）。29。丽莎和我。

Vajda，关于统计学和信息论中的分歧和信息，信息论，IEEETransactions On 52（2006），第10期，4394–4412.30。F.Riedel，《动态一致风险度量，随机过程及其应用》，第112期（2004），第2期，第185–200.31页。B.Roorda和J.M.Schumacher，《可接受性度量的时间一致性条件及其在尾部风险价值中的应用》，保险：数学与经济学40（2007），第2209–230.32号。A.Shapiro，关于法律不变风险度量的Kusuoka表示，运筹学数学38（2013），第1期，142–152.33。V.Strassen，《给定边缘概率测度的存在》，数理统计年鉴（1965），第423-439.34页。《凸风险度量的更新规则》，量化金融8（2008），第8期，第833-843.35页。《分布不变风险度量、信息和动态一致性》，数学金融16（2006），第2419–441.36号。G.Winkler，Choquet order and simplices:在概率模型中的应用，第1145卷，Springer，1985年。布朗大学应用数学系，地址：国际扶轮社普罗维登斯乔治街182号02906电子邮件地址：daniellacker@brown.edu