揭示非平稳随机变量的演化

因此，我们的Ansatz是通过将原始参数序列分解为它们的日常模式和函数来定义的：φ（t）=φ（t）+φ*（t） ，（6a）θ（t）=θ（t）+θ*（t） 。（6b）由于序列是非平稳的，我们考虑20天内的平均每日模式。通过从原始序列中删除20天移动平均线模式，提取了一系列波动。这是通过在原始系列的每个点上将窗口居中，然后减去该事件前后十天的平均点来实现的。图7显示了每个参数的每日模式，其中可以看到φ对一天时间的立方依赖关系，以及θ的相应二次依赖关系：\'\'φ（td）=aφtd+bφtd+cφtd+dφ，（7a）\'\'θ（td）=aθtd+bθtd+cθ，（7b）其中td=（t（mod 1440））- 540（分钟）。请注意，市场仅在6小时30分钟（39×10分钟）内开放正常交易，这意味着在正常交易期之外，我们将“φ”和“θ”定义为零。接下来，我们推导参数函数的演化，即去趋势变量φ的演化*θ*. 目标是提取两个描述他们革命的随机微分方程[2]。图8a和8b显示了变量φ和θ的边际概率密度函数（PDF），可以分别与去趋势变量进行比较（图8c和8d）。显然，去趋势对这两个参数的PDF形状没有显著影响。图8e显示了φ的接缝PDF*θ*. 这里我们看到-0,01 0,01 0,02φ*020406080-2e+0602E+064E+066E+06θ*1e-091e-081e-071e-060,96 0,98 1,02φ020460PDF0 5e+06θ1e-081e-071e-06pdf（c）（d）大道：1.02e-06Std.：5.89e-03大道：2.19e+03标准：6.32e+05Ske.：-1.59Ske.：1.74（b）（a）大道：2.56e+06标准：1.09e+06Ske.：1.64大道：0.980标准：7.74e-03Ske.：-0.906φ0.550.600.650.700.75θ0.0600.0620.0640.066（e）PDF0。0000.0010.0020.0030.0040.0050.006图。

8:（彩色在线）在detrend之前，将拟合参数（a）φ和（b）θ的概率密度函数（PDF）与它们的函数（c）φ的概率密度函数（PDF）进行比较*和（d）θ*, 删除趋势后（请参见文本）。在（e）中，绘制两个去趋势变量φ的联合PDF*θ*: 两个去渲染变量都可以被视为彼此独立（见正文）。这两个参数似乎是独立的。因此，我们考虑两个非耦合随机方程，每个去趋势变量一个。此外，由于观测到的θ变化在分布尾中不起重要作用，我们通过其每日模式θ（t）来近似参数θ~θ（td）。在这些假设下，要完全推导这两个参数（等式（6））的演化方程，只需另外定义方程φ*（t） 将根据朗之万流程进行建模*= D（φ*)dt+pD（φ*)dWt。（8） 式中D（φ）*) 和D（φ*) 分别是所谓的漂移系数和扩散系数，而dwt是一个维纳过程，满足hdWti=0和hdWtdWti=δ（t- t） 。这种方法的一个必要组成部分是：*-序列必须是马尔可夫的。为了测试马尔可夫性质，我们计算转移概率p（x，τ| x，τ）和p（x，τ| x，τ；x=0，τ）。在图9a中，我们展示了轮廓图2 1 0 1 2x1/σ21012x2/σ（a）3 2 1 0 1 2 3x2/σ0.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.016ave+0.4σ（c）3 2 1 0 1 2 3x2/σ0.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.016ave-0.4σ（b）图9：（在线彩色）（a）条件PDFp（x，τ| x，τ）（实线）和p（x，τ| x，τ；x=0，τ）（虚线）的等高线图，对于τ=τmin，τ=6τmin和τ=12τmin，τmin=10 min。hxi处的垂直虚线 0.4σ分别表示（b）和（c）中所示的切口。2 468 10 12 141618 20τ（x10 min）0,80911,11,21,31,41,51,6t值/t0值τlFIG。

10:Wilcoxon检验以验证φ的马尔科夫性质*时间序列，显示τl=60 min的马尔可夫长度。绘制τ=τmin、τ=6τmin和τ=12τmin的这两种概率图，其中τmin=10 min。等高线的接近性表明马尔可夫性质成立。此外，在图9b和9c中，为x的固定值提供了条件概率密度的两个切入点，即athxi±0.4σ，这似乎也支持这一说法。为了定量理解两个条件概率p（x，τ| x，τ）和p（x，τ| x，τ；x=0，τ）是否相等，采用了Wilcoxon秩和检验[24]。t-value/t-value=1表示该过程是马尔可夫过程。如图10所示，该测试似乎进一步证实了适当的马尔可夫长度τl=60分钟。对于马尔可夫随机过程，关联随机变量的演化由等式（8）中的两个函数定义，即：Dk（φ*) = limτ→0Mk（φ*, τ）k！τ~Mk（φ*, τl）k！τl，（9）对于k=1，2，其中条件力矩Mk（x，τ）为000010000000400050006m1（，）0612 18 24 303642 4854 60τ（x10 min）02e-054e-056e-058e-05M2（，）τφ*τφ*（a） （b）D1（）2D2（）φ*φ*图11：从φ的时间序列中提取的条件矩*.（a） 第一个条件力矩和（b）第二个条件力矩M，均为τ的函数，单位为10 min.-0015-0,01-0005000050,01φ*-2e-06-1e-0601e-062e-06D1-0,01-0005000050,01φ*01e-072e-073e-074e-075e-07D2（a）（b）σ2-kFIG。12：这里我们看到（a）漂移系数在φ中是线性的*而（b）扩散系数可以认为是常数。这两个系数表征了描述逆Γ分布尾部的参数φ的随机演化。定义为：Mk（φ*, τ）=D（Xt+τ）- Xt）kEXt=φ*. （10） 无花果。

11a和11b我们分别表示条件动量M和Mr，作为τ的函数。通过计算可变φ中每个料仓的Mand Mf斜率，可以对整个观测φ范围内的漂移和扩散系数进行完整定义*价值观图12a和12b分别显示了漂移和扩散。当扩散项的振幅几乎恒定时，漂移在φ上是线性的*以负斜率。因此φ的演化*遵循等式（8）并加上：D（φ*) = -kφ*, （11a）D（φ）*) = σ、 （11b）确定了φ的Ornstein-Uhlenbeck工艺*[1].V.评估非固定量价格的演变我们在本节中讨论的发现有两个重要的考虑因素。第一个涉及原始（非扭曲）φ参数的演变，假设分布逆Γ是最大批量价格下尾部的最佳模型。事实上，从图12andeq所示的结果来看。（11） 函数φ的演化*由：dφ控制*= -kφ*dt+σdWt，（12），其中k=2.02×10-4s-1是从市场到最大波动范围内扰动的逆响应时间，σ=1.34×10-4s-1/2测量这些函数本身的典型变化。请注意，k对应于响应时间1/k=5.0×10s，即约1小时20分钟，该值接近上一节中计算的马尔可夫长度。市场对扰动的响应时间尺度接近参数φ经历随机变化的时间尺度。如图13所示，φ的自相关*不遵循简单的指数衰减，但呈现两种不同的短期和长期状态。

我们将马尔可夫方法应用于中间区域，避免了短时尺度的非马尔可夫性质，即时间的自相关≈ 1/k与提议的Ornstein-Uhlenbeck工艺兼容。根据式（6a），我们现在可以根据dφ=d′φ+dφ写出参数φ的演化方程*, 式（12）显示：dφ=-k（φ）- φf）dt+σdWt，（13），其中φf是一个固定点，仅取决于平均尾坡φ：φf=\'φ+kd\'φdt。（14） 等式（13）使我们能够量化最大批量价格区域的影响。通过积分公式（13），我们得出结论，PDF尾部有一个斜率-φ - 1随机振荡-φf-1，振幅σ/（2k）=4.4×10-5.完整推导见附录A。从物理上讲，由于φf在一天中变化，这种尾振荡类似于一个双摆，一个是由等式（14）给出的纯确定性，另一个是振幅σ/（2k）的随机性。因此，如图14所示，一个0 5000 10000 20000 25000τ/s-110-1100ACFτs=0.2hτl=6.5hτi≈1.4图。13：φ的自相关*作为延迟τ的函数。存在短期和长期状态，自相关时间分别为τs\'0.2小时和τl\'6.5小时，虚线表示相应的指数。在我们的MarkovModeling的时间尺度上，存在与Ornstein-Uhlenbeck过程的时间尺度兼容的中间尺度τi=1/k\'1.4小时，连续线表示其时间尺度。1,6e+053,2e+06 6,4e+07S0010,11cdf-φf-σ2/2k-φf+σ2/2k-φfFIG。

14：（在线上色）由于表征参数φ演化的随机微分方程中的线性漂移系数，我们有一个谐波恢复力机制。现在可以为经验分布的尾部建立上下限，这可能有助于推导大型波动的风险度量。第二点是关于原始随机变量（非平稳）演化的描述，在这种情况下，是量价s。正如我们所看到的，尽管对于大值，逆Γ模型对其演化有一个良好且简单的描述，但对数正态分布对于量价分布的尾部以及中心区域都是一个很好的模型。同样，在这种情况下，表征对数正态分布的参数φ和θ（式（3））随时间变化。因此，定义良好的分布Pφ，θ（s）由φ和θ参数化，随时间变化，现在假设其所有时间依赖性都包含在这两个参数中。对数正态模型Pφ，θ（s）可以看作一个依赖于随机变量s和时间t的模型，P（s，φ（t），θ（t））。如果我们能够将s的所有矩写成分布参数φ（t）和θ（t）的函数，我们就能够充分描述s的非平稳演化。实际上，s的矩通常可以写成ashsni=Z+∞snP（s，φ（t），θ（t））ds≡ 当积分存在时，Fn（φ（t），θ（t）），（15）。在最一般的情况下，两个参数都可以被视为相互耦合的随机变量，因此服从朗之万方程组[2,25]：dφ=h（φ，θ）dt+g（φ，θ）dW+g（φ，θ）dW，（16a）dθ=h（φ，θ）dt+g（φ，θ）dW+g（φ，θ）dW，（16b）式中（h，h）（T）=D，ggT=D。公式（15）中的导出函数F通过微分公式（15）并使用其^o-Taylorexpansion和合并公式来提取所有统计矩的演化方程。

（16） 即[25]dhsni=An（φ（t），θ（t））dt+Bn（φ（t），θ（t））dW+Cn（φ（t），θ（t））dW（17）和An（φ（t），θ（t））=Fnφh+Fnθh+Fnφθ（gg+gg）+Fnφ（g+g）+Fnθ（g+g），（18a）Bn（φ（t），θ（t））=Fnφg+Fnθg，（18b）Cn（φ（t），θ（t））=Fnφg+Fnθg.（18c）方程（17）是一个具有随时间变化的“漂移”和“扩散”函数的随机微分方程。六、 讨论和结论在本文中，我们研究了在纽约证券交易所交易的资产的量价分布的随机演化，作为随机变量非平稳分布的一个典型例子。我们已经证明，这些分布是非平稳的，因为表征分布的参数本身就是随机变量。为了找到量价分布的最佳拟合，我们测试了四种常用于金融资产价格建模的双参数模型[16]，即Γ分布、逆Γ分布、对数正态分布和威布尔分布。为了根据某种密度函数对量价谱中的每个值进行加权，我们引入了尾部库尔巴克莱布尔散度，公式（5）。利用这一点，我们证明了逆Γ分布似乎是一个很好的模型，可以解释最高值的光谱区域。根据我们的发现，可以认为，量价分布的最佳模型可能是分布中心的对数正态和尾部的帕累托分布的组合，称为双帕累托对数正态分布[26–29]。这方面将是未来调查的主题。此外，考虑到在逆Γ分布中，两个参数是解耦的，我们重点研究了参数φ，它表征了量价分布的大波动。通过应用框架inRef。

[2] ，我们能够提取一个描述该参数演变的随机微分方程，公式（13），并允许推导最大波动的风险度量。我们还提供了一个推导非平稳变量随机演化的框架，假设它遵循一个双参数模型，该模型的参数本身就是随机变量，包含了非平稳过程的所有时间依赖性。通过计算所有矩作为这些分布参数的函数，可以充分描述随机变量的非平稳演化。特别是，在其他情况和应用中，例如在生物学中，当访问心脏间隙的演变或在能源科学中解决风力涡轮机发电中的非平稳测量系列时，这种方法可能会有所帮助。这些问题也将在未来的研究中加以考虑。感谢作者感谢Philip Rinn和David Bastine进行了有益的讨论，并为Wilcoxon测试和Langevin分析提供了源代码。感谢基金会在本项目开发期间提供的资金支持，以及德国奥尔登堡大学通过IPID4项目提供的跨学科研究金。PR和JPB感谢提供工作住宿的里斯本大学Ci^encias Faculdade de Ci^encias da Universidade de Lisboa。FR感谢Fundac,aopara a Ci^encia e a technologia（FCT）提供的研究金SFRH/BPD/65427/2009。PGL感谢德国环境部的财政支持。

PGL和FR感谢DeutscherAkademischer Austauschdianst（DAAD）和FCT双边合作DRI/DAAD/1208/2013提供的支持。附录A：分布尾的随机演化通过从经验数据中提取系数和数据，可以写出一个描述φ演化的随机微分方程，如式（13）所示，其中φfis是一个固定点，k和σ是常数。这也被称为Ornstein-Uhlenbeck过程[30]。式（13）的积分如下：φ=φe-k（t）-t） +Ztte-k（t）-s） （kφfds+σdWs）=φe-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）+σZtte-k（t）-s） dWs。（A1）根据等式（A1），φ的期望值遵循asE（φ）=E（φ）E-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）, 相应的方差由var（φ）=E（φ）给出- E（φ）（A3）并将φ和E（φ）替换为OFEQ的右侧。（A1）和（A2）。Var（φ）=Eφe-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）+ 2.φe-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）σZtte-k（t）-s） dWs+σZtte-k（t）-s） dWs!- E（φ）=Eφe-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）!+ EσZtte-k（t）-s） dWs!-E（φ）E-k（t）-t） +φf1.- E-k（t）-（t）!= EσZtte-k（t）-s） dWs!= EσZttZtte-k（t）-s） e-k（t）-s） δ（s）- s） DSD= Eσe-2ktZttZttekseksδ（s）- s） DSD= Eσe-2KTZTTE2KSD=σ2k1.- E-2k（t）-（t）. （A4）长期以来，t→ +∞, 一个脚趾（φ）→ φf（A5）和var（φ）→σ2k。（A6）[1]H.Risken，福克-普朗克方程（柏林斯普林格，1984）。[2] R.弗里德里希、J.佩因克、M.萨希米和M.塔巴尔，Phys。第506页，第87页（2011年）。[3] J.Ruseckas和B.Kaulakys，Phys。牧师。E 81031105（2010年）。[4] P.Gopikrishnan、V.Plerou、X.Gabaix和H.E.Stanley，Phys。牧师。E 62（2000年）。[5] D.德尔皮尼和G.博梅蒂，物理系。牧师。E 83041111（2011年）。[6] J.F.Muzy，R.Baile和E.Bacry，Phys。牧师。E 87042813（2013年）。[7] M.赞帕罗、F.巴尔多文、M.卡拉格里奥和A.L.斯特拉，Phys。牧师。E 88062808（2013年）。[8] A.Gerig，J.Vicente和M.A.Fuentes，Phys。牧师。E 80065102（R）（2009年）。[9] X.Gabaix、P.Gopikrishnan、V.Plerou和H。

斯坦利，自然杂志423267270（2003）。[10] P.Rinn，Y.Stepanov，J.Peinke，T.Guhr和R.Sch¨afer，《欧洲物理学通讯》11068003（2015）。[11] M.M–unnix、T.Shimada、R.Sch–afer、F.Leyvraz、T.Seligman、T.Guhr和H.Stanley，《科学报告》2644（2012年）。[12] J.H.Lienhard和P.L.Meyer，安。数学《美国统计》第25卷（1967年）。[13] I.Eliazar，Phys。牧师。E 86031103（2012年）。[14] P.Comtois，Aerobiologia 16171（2000）。[15] 夏X，分子生物学和进化中的数据分析，第1卷（北卡罗来纳州克鲁沃学术出版社，2002年），第254页。[16] S.Camargo、S.M.D.奎尔奥斯和C.Anteeodo，欧洲。菲斯。J.B 86159（2013年）。[17] 朱海平、夏晓霞、余春晖、阿阿德南、刘世福和杜耀光，BMC胃肠病学11（2011）。[18] 沈浩、布朗和中央统计学家支浩。医学。25, 3023 (2006).[19] E.Limpert，W.A.Stahel和M.Abbt，生物科学51341（2001）。[20] P.Rocha、F.Raischel、J.Cruz和P.G.Lind，第三届SMTDA会议记录（2015年）第619-627页。[21]P.Rocha，F.Raischel，J.Boto和P.G.Lind，J.Phys.：长官。574, 012148 (2014).[22]A.R.Admati和P.Pleiderer，《金融研究评论》第1、3期（1988年）。[23]S.Kullback和R.Leibler。数学《美国统计》第227986页（1951年）。[24]F.Wilcoxon，生物特征公报1，80（1945）。[25]V.V.Vasconcelos、F.Raischel、M.Haase、J.Peinke、M.W–achter、P.G.Lind和D.Kleinhans，Phys。牧师。E 84031103（2011年）。[26]方志强、王建军、刘伯强和龚文华，《复杂网络优化手册》，斯普林格优化及其应用，第57卷，泰国M.T.和帕达洛斯（美国斯普林格出版社，2012年）编辑，第55-80页。[27]K.Giesen，A.Zimmermann和J.Suedekum，《城市经济学杂志》68129（2010）。[28]M.Bee，利用概率加权矩和最大似然对对数正态帕累托分布进行统计分析，技术代表1208（意大利特伦托大学经济系，2012年）。[29]W。