相对性能考虑下的均衡定价

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英文标题：
《Equilibrium pricing under relative performance concerns》
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作者：
Jana Bielagk, Arnaud Lionnet and Goncalo Dos Reis
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We investigate the effects of the social interactions of a finite set of agents on an equilibrium pricing mechanism. A derivative written on non-tradable underlyings is introduced to the market and priced in an equilibrium framework by agents who assess risk using convex dynamic risk measures expressed by Backward Stochastic Differential Equations (BSDE). Each agent is not only exposed to financial and non-financial risk factors, but she also faces performance concerns with respect to the other agents.   Within our proposed model we prove the existence and uniqueness of an equilibrium whose analysis involves systems of fully coupled multi-dimensional quadratic BSDEs. We extend the theory of the representative agent by showing that a non-standard aggregation of risk measures is possible via weighted-dilated infimal convolution. We analyze the impact of the problem\'s parameters on the pricing mechanism, in particular how the agents\' performance concern rates affect prices and risk perceptions. In extreme situations, we find that the concern rates destroy the equilibrium while the risk measures themselves remain stable.
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中文摘要：
我们研究了一组有限代理人的社会互动对均衡定价机制的影响。非交易基础上的衍生产品被引入市场，并由代理人在均衡框架下定价，代理人使用倒向随机微分方程（BSDE）表示的凸动态风险度量来评估风险。每个代理人不仅面临财务和非财务风险因素，而且还面临其他代理人的绩效问题。在我们提出的模型中，我们证明了一个平衡点的存在性和唯一性，该平衡点的分析涉及完全耦合的多维二次BSDE系统。我们扩展了代表代理理论，证明了通过加权扩张下卷积可以实现风险度量的非标准聚集。我们分析了问题参数对定价机制的影响，特别是代理人的绩效关注率如何影响价格和风险感知。在极端情况下，我们发现关注率破坏了均衡，而风险度量本身保持稳定。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-9 11:59:46 上传

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关键词：相对性 Mathematical Differential Quantitative interactions

相对业绩下的均衡定价*柏林洪堡大学林登数学研究所610099BerlinGermanybielagk@math.hu-柏林。迪纳德·莱昂内特。N.S.CachanCMLA61 av。威尔森94235卡尚·塞德克斯法兰西诺德酒店。Lionnet@cmla.ens-卡坎。frGoncalo Dos Reis+爱丁堡大学数学学院，EH9 3FD，英国材料与应用中心（CMA），FCT，UNL，葡萄牙。dosReis@ed.ac.ukthSeptember，2018Abstracts，我们研究了一组特定因素的社会互动对均衡定价机制的影响。非交易基础上的衍生工具被引入市场，并由代理人在均衡框架下定价，代理人使用倒向随机微分方程（BSDE）表示的凸动态风险度量来评估风险。每位代理人不仅面临财务和非财务风险因素，而且还面临着与其他代理人相关的绩效问题。在我们提出的模型中，我们证明了一个平衡点的存在性和唯一性，该平衡点分析涉及完全耦合的多维二次BSDE系统。我们扩展了代表性代理的理论，证明了通过我们在错误的共同解决方案中进行放大，可以实现风险度量的非标准聚集。我们分析了问题参数对定价机制的影响，特别是代理人的绩效如何影响价格和风险感知。

在极端情况下，我们发现关注率破坏了平衡，而风险度量本身保持稳定。关键词：金融创新、均衡定价、社会互动、绩效关注、代表代理人、g-条件风险度量、多维二次BSDE、熵风险。2010年AMS学科分类：初级：91 A10，65C30；中学：60H07、60H20、60H35、91B69。JEL学科分类：G11、G12、G13、C73*J.Bielagk感谢来自HUBerlin女性平等和晋升基金的部分支持。+G.dos Reis通过UID/MAT/00297/2013项目（Centro de Matemát i ca e Aplicacoes CMA/FCT/UNL）感谢葡萄牙科学技术基金会（葡萄牙科学技术基金会）的支持。1引言在经济和社会学研究中都强调了对人类行为的相对关注的重要性；当其他人都赚了2欧元时，如果其他人都损失了2欧元，那么赚1欧元的感觉就截然不同了。关于公关问题的各种文献以相对绩效关注的形式涉及某种形式的战略和/或社会互动：在[HRAY10]和[Ped13]中，社会互动部分以基于同伴的绩效惩罚形式出现，称为“最低回报保证”；这种比较通常是通过跟踪相关的市场指数进行的，这在养老金管理中是相当标准的。另一类性能问题出现在考虑代理消耗的问题中。

这里使用的效用函数表现出一种“与他人攀比”的行为，这种行为在[Due49]中介绍，并由[Abe90]、[Abe99]开发（详见[Gal94]、[CK01]、[Góm07]和[XZ09]）；换言之，生活水平的基准是人口的平均消费量，根据该基准计算个人的消费偏好。另一种类型的担忧是内部担忧，它使用代理人过去的消费作为当前消费的基准；[JH73]介绍了这种“习惯形成”方法。在[ET15]或[FDR11]中可以找到更详细的数学方法以及文献综述。最后两篇论文就是这篇论文的灵感来源。本文研究了经济时代社会互动对市场均衡、安全机制效率和全球风险的影响。我们考虑了一个由N个代理人组成的有限集合，这些代理人可以进入一个不完整的市场，该市场由一个具有外生定价的流动交易金融资产组成。这种不完全性源于一个不可交易的外部风险因素，比如这些因素所暴露的降雨量或温度。为了降低个人和整体市场风险，社会规划师向市场引入了一种写在外部风险源上的衍生工具，所有这些都是为了让代理通过交易来减少他们的风险敞口。结果市场的实际完整性问题已在文献中以某种概括性的方式进行了讨论，例如，我们参考[Sch15]。文献中曾多次探讨过有关非交易资产上此类证券的定价和收益的问题，我们特别提到[HPDR10]，其中新衍生工具的定价在均衡框架内，符合供求规则，更一般地说，符合[AR08]。

不完全市场的均衡分析通常适用于某些情况，如单代理模型（[HL93]、[GPP09]）、市场处于完全均衡状态的多代理模型（[DH85]、[HPDR10]、[KLS90]）、或具有特定商品类别（[JRW10]）或偏好的模型（[CFHP10]）。为了更好地概述市场不完全性导致的均衡问题以及一些解决方案，我们向读者介绍[KXZ15]及其参考文献。尽管我们遵循了与[HPDR10]中类似的想法，但我们的目标是了解当代理之间有相对的绩效因素时，这种先验机制和风险评估是如何受到影响的。每个特工∈ 根据这两个风险因素，A在[0，T]时间段内都有一个风险。她的投资策略πain股票和新推出的衍生产品产生了一个收益过程（增值税（πa））t∈[0，T]。对于给定的性能关注率λa∈ [0,1]代理人寻求将风险ρa降至最低哈+1.- λa增值税（πa）+λa增值税（πa）-N- 1Xb∈A\\{A}VbT（πb）, （1.1）其中ρais是一种风险度量（ρais将在下文进一步描述）。ρa中的前两个术语对应于一个孤立的代理a在市场上进行最佳交易的经典情况，以从市场波动中获利，并对冲Ha固有的财务风险。最后一项是相对绩效系数，对应于她自己的交易收益和她同伴s获得的平均交易收益之间的差异。直觉上，作为λa∈ [0，1]增加，经纪人不太关心与她的捐赠有关的风险，并且更关心她如何与A中其他经纪人的平均表现相比。例如，如果没有捐赠，如果λA=1/2，经纪人从交易中获得1欧元，而其他经纪人都获得2欧元，那么她认为没有任何收益。每个特工∈ A使用货币凸风险度量ρA。

[ADEH99]提出了货币、可能凸且可能一致的风险度量理论，后来[FS02]和[FRG02]对其进行了扩展。一类特殊的风险度量，即所谓的g条件风险度量，与所谓的g条件期望密切相关（参见[Gia06]），是通过反向随机微分方程（BSDE）定义的，参见[Pen97]、[ER09]和[BE09]。我们使用B SDE的动机有两个方面。首先，它通常允许解决随机控制问题，而不是通常的马尔可夫设置，即使用HJB方法结合PDE理论，参见例[Tou13]。第二个是，优化可以在不假设凸性的情况下进行，通常使用对偶理论，参见[HIM05]。我们使用的相对性能关注点的形式及其使用BSDEs c的研究可以追溯到[Esp10]和[ET15]。它们的设置与这里介绍的大不相同；作者证明了最优投资的纯互动博弈存在纳什均衡，没有特殊的投资禀赋（所有年龄的nts的Ha=0），并且当代理人在aBlack–Scholes股票市场中优化他们在个体约束下交易收益的预期效用时。这两部著作之后是[FDR11]，其中对平衡的存在性以及禀赋进行了一般性讨论，包括这种存在的反例。pape r.Al代理的方法和内容优化了（1.1）中给出的各自功能，并且，由于衍生工具是通过均衡框架进行定价的，外部风险的市场价格也是问题解决方案的一部分。

在我们的博弈中，均衡是一组投资策略和外部风险的市场价格，从而产生一定的鞅测度。在这项工作的第一部分中，我们展示了问题中纳什均衡的存在性，以及如何计算BSDE引起的一般风险。分析分两步进行。第一个问题涉及解决每个代理的个体优化问题，即所谓的最佳响应问题。第二点在于表明，可以同时找到所有最佳响应，从而使衍生产品的供求匹配，进而产生外部风险的市场价格。（我们通常认为一个衍生产品净供应量为零的市场；然而，该方法允许处理一些允许交易衍生产品的代理离开市场的情况，从而使处于非零头寸的（活跃）代理保持在一起）。然后，我们验证与最佳响应相关的外部风险的市场价格是否满足必要条件。最后一步更复杂。由于代理人使用BSDEs给出的动态风险度量来评估他们的风险，一般均衡分析导致了一个完全耦合的非线性多维BSDEs系统（可能是二次的）。我们接着扩展了代表性的agentapproach（见[Neg60]），其中，将代理聚合为单个经济体和最优帕累托风险共享相当于同时进行的个体优化。从[BE05]和[BE09]的工作中，我们将其内部卷积（短inf卷积）技术扩展到具有相互依赖效用函数的代理。这种方法产生了一个单一的风险度量，包括每个代理的风险偏好，通过它可以找到一个单一的代表性经济。

我们指出，为了应对由性能成本率引起的交叉依赖，标准的inf卷积技术不会带来单一的代表性经济。我们通过加权膨胀eac h代理的风险度量ρa（见[BE09]第3.2节和下文第4节），以非标准方式使用该技术；就我们所知，这类分析是全新的，具有独立的意义。最接近这一点的是[Rüs13]，其中出现了某种形式的加权inf卷积。这项工作的第二部分侧重于使用熵r isk测度s的代理的情况，可以更明确地处理这一情况，并允许对关注率的影响进行深入研究。在确定纳什均衡的过程中，我们得到了一个复耦合的多维二次BSDE系统，其分析通常非常复杂。基于[Esp10]和[ET15]的工作，[FDR11]的作者给出了几个反例来证明解的存在性；尽管如此，尽管n one非常普遍，但确实存在积极的结果，例如。[Tev08]、[CN15]、[Fre14]、[KP16]、[HT16]、[XZ16]、[JKL14]和[LT15]。在我们的例子中，我们能够解决这个系统。调查结果。在熵风险度量的情况下，我们详细研究了两个代理a和b的模型，它们对外部风险因素的暴露程度相反，因此一个有购买衍生产品的动机，而另一个有出售的动机。在这个模型中，我们可以指定平衡点的结构。使用分析方法和数值计算，当分析不可处理时，我们探索模型参数变化时代理的行为。

我们特别指出了相关的性能关注率，以及代理之间耦合的强度如何偏离非交互代理的标准情况（当λa=λb=0）。我们发现，随着任一代理的风险承受能力增加，其风险降低。如果任何关注率λ增加，则代理人参与的衍生品交易减少。这是因为一方购买的每一个衍生产品单元都是另一方出售的，因此一方的收益就是另一方的损失。因此，如果一个经纪人更关心相对表现，她将倾向于减少与其他人的交易。此外，正如预期的那样，我们发现，如果衍生品的买家关注价格上涨，那么衍生品的价格会下降，而卖家的价格会上升。非常有趣的是，我们发现，如果其他代理更关注其相对绩效，那么单一代理的风险会增加，但随着该代理的关注度增加，风险会降低。因此，如果经纪人反复玩这个游戏，并且他们的关注度随着时间的推移而变化，他们都会发现更加关注（或嫉妒）更有利。当它们都这样做时，衍生品的交易活动减少，但它们在股票中的活动增加并爆发——均衡不再存在。令人惊讶的是，这种行为主义根本没有被风险度量所捕获！在引入导数后，系统的这种非平凡且可能不可取的行为与[CMV09]和[CML13]模型中发现的行为并非没有相似之处。

这提醒我们，在评估金融创新的效益时，我们不应该把重点放在单个代理人的经济上（他们以降低风险的形式看到了明显的效益），而应该真正对新工具的影响有一个系统的看法。论文的组织。在第2节中，我们定义了我们考虑的一般市场、代理、优化问题和均衡。第3节和第4节致力于解决具有任意风险度量的一组代理的一般优化问题。在前者中，考虑到所有其他代理的策略，我们解决了每个代理的优化问题。在后者中，我们处理单个风险度量的聚合和代表性代理的识别，并解决整个系统的均衡。第5节和第6节包含代理商使用热带风险措施的特殊情况。在这一更易于处理的背景下，第5节从理论上探讨了各种参数对总体风险的影响，而第6节则侧重于一个模型，其中有2个因素具有相反的风险特性，并深入探讨了利率对个人行为、风险以及对整个系统的后果的影响。我们也给出了一些结果。第7节总结了本研究。致谢。作者要感谢两位匿名推荐人，感谢他们的直截了当和内容丰富的报告，这些报告使我们能够改进这项工作的几个方面。2模型我们考虑一个由N个代理组成的有限集合a，没有一般性损失a={1，2，…，N}，具有随机禀赋Ha，a∈ A、 在终端时间T处接收∞. 他们在由股票和新引入的结构化证券（称为竞争性证券）组成的金融市场上持续交易，旨在将风险降至最低。为了简单起见，我们假设资金可以以零风险利率借贷。