收缩率=因子模型

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英文标题：
《Shrinkage = Factor Model》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Shrunk sample covariance matrix is a factor model of a special form combining some (typically, style) risk factor(s) and principal components with a (block-)diagonal factor covariance matrix. As such, shrinkage, which essentially inherits out-of-sample instabilities of the sample covariance matrix, is not an alternative to multifactor risk models but one out of myriad possible regularization schemes. We give an example of a scheme designed to be less prone to said instabilities. We contextualize this within multifactor models.
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中文摘要：
收缩样本协方差矩阵是一种特殊形式的因子模型，它将一些（通常是风格）风险因子和主成分与（块）对角因子协方差矩阵相结合。因此，收缩本质上继承了样本协方差矩阵的样本外不稳定性，它不是多因素风险模型的替代品，而是无数可能的正则化方案中的一种。我们给出了一个设计成不易发生上述不稳定性的方案的例子。我们将其置于多因素模型中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Shrinkage_=_Factor_Model.pdf (93.58 KB)

2022-5-9 12:06:01 上传

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关键词：Quantitative Applications Optimization QUANTITATIV Multifactor

收缩率=系数模型Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯戴维·阿格马什内贝利巷，0159，Georgia（2015年10月25日）AbstractShrink sample covariance matrix是一种特殊形式的因子模型，它将一些（通常是风格）风险因子和主要成分与（块）对角因子协方差矩阵相结合。因此，shrin kage本质上继承了样本协方差矩阵的样本外不稳定性，它不是多因素风险模型的替代品，而是众多可能的监管方案中的一种。我们给出了一个方案的例子，该方案旨在减少上述不稳定性。我们将其置于多因素模型中。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的唯一目的，是按照出版物中的惯例表明其专业能力。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类文件，且不代表QuantigicSolutions LLC网站www.quantigic的观点。com或他们的任何一家公司。在他关于共同基金业绩的开创性著作中，Sharpe[1966]雄辩地指出：“投资组合分析师对wo rld的看法中的关键因素是他对预期收益和风险的强调。”股票交易组合的构建可以被认为包括两个步骤。首先，你会得到一些交易领域股票的预期回报。这推动了投资组合中的“rewa r d”部分。第二，根据这些预期收益构建投资组合持有量。

这一阶段主要涉及“风险”部分。第二步的许多体现，包括均值-方差优化[Markowitz，1952]及其众多变化，Sharpe比率[Sharpe，1994]最大化等，都需要反转收益的协方差矩阵。当一个订单中的股票数量很大，且历史收益时间序列中可用（相关）观测的数量有限时，基于这些历史收益的样本协方差矩阵（SCM）是（严重）奇异的。因此，如果M+1是时间序列中观测的数量，N是端口中的库存数量，如果M<N，则为单数。此外，除非M>> N、 这在实践中是很少见的，如果有的话，SCM的有效诊断元素不是样本外稳定的。通常用于缓解这些问题的一种方法是所谓的收缩[Ledoit and Wolf，2004]。它被认为是多因素风险模型的“替代品”。然而，我们在下面讨论的是，收缩供应链管理实际上是一个基于一些风险因素和主成分组合的特殊m因素模型。收缩背后的想法很简单。与其使用SCM Cij，不如使用它与另一个矩阵的加权线性组合（“收缩目标”），称之为ij:eCij=qij+（1）-q） Cij（1）这里的重量（“收缩常数”）为0≤ Q≤ 1.矩阵假设ijis为阳性定义，且（相对而言）在样本外稳定。我们必须有ECII=Cii，所以ii=Cii。A优先iij也可以是ar位，在这种情况下，“收缩”矩阵可以被认为是SCM Cij的正则化。因此，当q<< 1、E方法C。

此外，即使C是单数，对于q>0，eC也是可逆的。故意忽略了许多重要的细节，也就是说。尽管如此，“风险管理”的某些要素可以（有时也可以）纳入预期回报，例如，部门或行业中立性。让Ris成为我们回报的时间序列，i=1，N，s=0，1，M让Xis=Ris-Ribe是连续贬低的回报，其中Ri是Ris的时间序列平均值。在矩阵表示法中，SCM由C=MXXT给出。（我们假设>> 1，因此分母为M的无偏估计值与命名子为M+1的最大似然估计值之间的差异对于我们的目的至关重要。）由于矩阵X最多有M列是线性独立的（因为其列sumsPMs=0Xis=0），如果M<N，则矩阵CIJI的秩最多为M。这种说法通常被视为来自经验证据。然而，这在理论上是很好理解的。我们不能总是将我们的逐级降级回报旋转到正交的基础上，并重新调整它们，使其具有单位序列方差。那么真正的协方差矩阵就是N×N矩阵。根据白音定理[Ba i and Yin，1993]，SCM的最小和最大特征值的极限为λmin=（1）-√y） λmax=（1）+√y） ，其中y=N/M是固定的，N，M→ ∞. 所以对于M，N>> 1.我们一定要有我>> N表示所有特征值为c，损失为1。这些通常是但不一定是风格因素。然而，在实践中我必须与我们试图建立模型的潜在风险相关。最简单的选择是绝热矩阵ij=Ciiδij。复杂度的提高将是使用单因素模型。让我们在这里更一般一点，并采取行动要成为一个K因子模型：ij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAΦABOhmjB（2）在这里：ξ是具体的（也称为。

每只股票的特殊风险；OhmIa是一个N×K因子加载s矩阵；和ΦABis是K×K因子协方差矩阵（FCM），a，B=1，K.系数K的数量<< N使FCM比SCM更稳定。我们现在可以看到，“收缩”矩阵是一种特殊形式的因子模型，带有（块）对角FCM。因此，让我们使用光谱表示法：Cij=NXa=1λ（a）V（a）iV（a）j（3），其中λ（a）是Cij的本征值，而V（a）i是相应的主成分（即，本征向量没有被分解成pni=1V（a）iV（b）i=δab），并且指数a=1，N的顺序是λ（1）>λ（2）>·λ>λ（N）。更准确地说，我们可以有退化的本征值。为了简单起见——这在这里并不关键——让我们假设所有的正特征值都是非退化的。然而，如果M<N（见上文），我们有零特征值。这些零特征值不属于（3）中的和，因此我们可以将其限制为正特征值的a的第一个F值。“收缩”矩阵可以写成一个因子模型：eCij=eξiδij+K+FXα，β=1eOhmiαeΦαβeOhm这里的jβ（4）：指数α=（A，A）取K+F值；eξi=qξi；EOhmiA=OhmiA；EOhmia=V（a）i，a=1，FeΦAB=qΦAB；eΦab=（1）- q） λ（a）δab；andeΦAa=0。因此，我们在[Ledoit and Wolf，2004]中使用的具有一致相关关系的模型中有一个因子当σi=Cii时，ij=ρσiσj表示i6=j。这是一个单因素模型的特殊情况ij=ξiδij+Ohm我Ohmj，其中ξi=（1- ρ） σi，Ohmi=ρσi和被吸收的1×1因子协方差矩阵Ohm我（见下文）。例如，参见[Grinold and Kahn，2000]及其参考文献。此外，我们假设没有成对的100%（反）相关回报。在实践中，这些零特征值可能会因联合计算舍入而失真，并变成较小的正值或负值。所以，我们假设所有这些“准零”特征值都四舍五入到0。

此外，这假设在任何回报时间序列中都没有N/As。如果存在（非均匀）N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算SCM，则产生的相关矩阵可以具有在上述意义上不“小”的负值，即。，它们不是因计算舍入而扭曲的零。在这种情况下，我们可以使用[Rebonato and J¨ackel，1999]的变形方法。在任何情况下，我们假设所有λ（a）≥ 0.0.模型中的K因子来自ijplus F主成分（参见[Menchero and Mitra，2008]）；然而，（K+F）×（K+F）FCMeΦαβ被特别设置为块对角（K=1是对角的），其相对于特定风险（即K因子模型中重新缩放的特定风险）的归一化由q控制。为什么这个观察有用？“收缩”矩阵的一个明显问题是，它本质上继承了SCM的样本外不稳定性，因为它使用具有非零特征值的所有F主分量。减少这种不稳定性的一个简单方法是使用更少的、Firstbf<F的主成分。考虑mat r ixbCij=νiνjij+bFXa=1λ（a）V（a）iV（a）j（5），其中，与（1）中不同的是，没有“收缩常数”q来确定（参见[Ledoit and Wolf，20 04]），因为系数νi由bcii=Cii:νi=CiiFXa=bF+1λ（a）hV（a）ii的要求确定。matrixbCijtoo是一个具有K+bF系数和a（块）对角fcm的因子模型。方程式（5）和（6）提供了一种简单的特殊方法，用于将主要成分与“基本”因素模型中的风格、行业等因素结合起来ij，用因子载荷OhmIAK系数由系数νi重新调整。那么，所有道路都通往罗马吗？甚至收缩也会简化为一个因子模型。

精确地说，只有当矩阵这是一个因子模型。然而，在现实中，它还能是什么呢？如果我们知道如何写出一个非因子模型协方差矩阵，该矩阵很好地逼近SCM，并且是样本外稳定的，那么在第一个实例中，我们就不需要收缩或其他任何东西了！此外，在许多（如果不是大多数或甚至所有）情况下，在较短的视距应用中，可用（相关）观测值的数量M<N（通常是M）<< N） 。因此，在这种情况下，SCM是单一的（不仅仅是“估计有很多错误”[Ledoit and Wolf，2004]）。所以收缩本质上是一种正则化方案。然而，这是对SCM进行正则化的众多方法之一——方程式（5）和（6）提供了另一种这样的模式，通过设计减少了固有的样本外不稳定性。一般来说，较高的主成分并不稳定，第一个主成分最稳定。这就是为什么基于主要成分的统计风险模型在商业上不如“基本”fa cto r模型受欢迎的原因之一。lat t TER基于风格和行业风险因素。正是（比风格多得多的）行业因素不仅在“基本”因素模型中提供了更高的稳定性，而且也提供了更高的稳定性，这也是一个平淡无奇的原因——这可以用白音定理来理解（见脚注6）：最大特征值λmin的极限=（1）+√y） 即使y=N/M>1也保持不变。

因此，第一个主成分相对稳定，但高主成分不受约束，往往不太稳定。股票不会经常跳升！事实上，在较短的时间内，人们通常会超越标准化商业风险模型所采用的有限行业分类粒度，行业事实风险的数量可能会达到数百。这就引出了一个问题：当观测数量有限时，样本FCM是单数的。幸运的是，解决方案在于使用行业分类层次结构（例如，“子行业”）→ 行业→ 在BIC的情况下，“扇区”，以顺序减小因子协方差矩阵的大小，使其可计算[Kakushadze，2015]。所以，所有的反渗透广告似乎都会导致。。。这不应该让人感到意外。表格<N SCM本身只是一个不完整因素模型（见脚注5）：Cij=MMXs=0XisXjs（7）它缺少特定风险。通过对角线模型或因子模型，根据特定风险旋转和重新调整已降级回报率（7）结果如下（1）。这个旋转就是向主成分基的转化。参考Bai，Z.D.和Yin，Y.Q.“大维样本协方差矩阵最小特征值的极限。”《概率年鉴》，21（3）（1993）1275-1294。R.C.格林诺德和R.N.卡恩的《积极投资组合管理》纽约州纽约市：麦格劳·希尔，2000年。俄罗斯玩偶风险模型《资产管理杂志》，16（3）（2015），第170-185页。亲爱的，我缩小了样本协方差矩阵《投资组合管理杂志》，30（4）（2004），第110-119页。投资组合选择《金融杂志》，第7（1）（1952）页，第77-91页。《混合因素模型的结构》《投资管理杂志》，6（3）（20 08）35-47。雷波纳托，R.和杰克尔，P。

“为风险管理和期权定价目的创建有效关联矩阵的最通用方法。”工作文件，1999年。可从以下网址获得：http://ssrn。com/abstract=1969689。共同基金业绩《商业杂志》，第39（1）（1966）页，第119-138页。夏普，W.F.“夏普比率。”《投资组合管理杂志》，21（1）（1994），第49-58页。