超越凹型情形的离散时间金融市场模型

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Financial market models in discrete time beyond the concave case》
---
作者：
Mario Sikic
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  In this article we propose a study of market models starting from a set of axioms, as one does in the case of risk measures. We define a market model simply as a mapping from the set of adapted strategies to the set of random variables describing the outcome of trading. We do not make any concavity assumptions. The first result is that under sequential upper-semicontinuity the market model can be represented as a normal integrand. We then extend the concept of no-arbitrage to this setup and study its consequences as the super-hedging theorem and utility maximization. Finally, we show how to extend the concepts and results to the case of vector-valued market models, an example of which is the Kabanov model of currency markets.
---
中文摘要：
在本文中，我们建议从一组公理开始研究市场模型，就像在风险度量的情况下一样。我们将市场模型简单地定义为从一组适应策略到一组描述交易结果的随机变量的映射。我们不做任何凹度假设。第一个结果是，在序列上半连续下，市场模型可以表示为正规被积函数。然后，我们将无套利的概念推广到这种情况，并研究其作为超级套期保值定理和效用最大化的后果。最后，我们展示了如何将这些概念和结果推广到向量值市场模型，货币市场的卡巴诺夫模型就是一个例子。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--

---
PDF下载：
--> Financial_market_models_in_discrete_time_beyond_the_concave_case.pdf (344.42 KB)

2022-5-9 14:50:00 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：金融市场 离散时间 Quantitative Mathematical Applications

不连续时间内的金融市场模型*2021年6月9日摘要本文从一组公理出发，我们提出了一个市场模型的研究，就像在风险度量的情况下一样。我们将市场模型简单地定义为将一组适应的策略集合与一组描述交易结果的随机变量集合相结合。我们不做任何凹度假设。第一个结果是，在顺序上超连续性下，市场模型可以表示为正常被积函数。然后，我们将无套利的概念推广到这种情况，并将其作为超级套期保值定理和效用最大化来研究。最后，我们展示了如何将这些概念和结果推广到向量值市场模型的情况，例如货币市场的卡巴诺夫模型。1简介数学金融领域的思维，以及更广泛的经济学，通常包括两个步骤。第一步是为正在研究的效应假设一个模型，并对模型进行调整。这包括将交易者的行为与其交易结果联系起来。从这一点出发，本研究将重点放在手头的特定模型上，并分析其后果。在数学金融中，模型是对市场表现指标行为的描述，因为它取决于代理人或交易者的行为。数学金融中的三个主要问题是研究模型是否合理，即套利理论、套期保值，以及研究如何实现最佳绩效。

一般来说，这些方法本身取决于所研究的特定模型。金融市场模型凹性这一普遍存在的假设之所以成为争论的焦点，是因为两件事：首先，一件事通常旨在获得超边缘债权集的双重代表性；其次，市场中可容许策略A的空间不包含在局部凸空间中，但由于凸性，可以使用传递到“凸组合子序列”的技巧。Schachermayer[21]提出了这一观点。根据凹性假设，Pennanen[15]证明了超边缘索赔集的无套利和闭包问题可以嵌入到凸对偶框架中，从而将这些结果用于更大的市场模型集。然而，一般模型的问题在于更具普遍性*马里奥苏黎世ETH数学系。sikic@math.ethz.ch.one失去了解释力。例如，在无摩擦市场模型中，人们可以将资产定价的基本定理表述为等价于股票价格过程的等价人工测度的存在。只有在具有比例交易成本的市场模型的情况下，这种清晰的解释仍然是可能的（参见Kabanov等人[11]）。Lobo等人考虑了交易成本非凸的市场模型。[13] ，在计算框架中考虑比例成本和固定成本。他们提出了一种启发式算法，即迭代方案，用于计算最优策略，并给出了这些算法的数值实验。另见多林斯基和基弗最近的出版物[5]。在本文中，我们将研究不满足凹性的金融市场模型。在市场模型中有两种非凹性。

一方面，可能会出现容许策略集不是凸的。这种情况的一个简单例子可能是一个现实情况，即一个人只能在投资组合中持有任何一项资产的整数；这个模型可以用策略θ在整数Zd集合中取值来建模。另一方面，正如F"ollmer和Schied[9]所指出的，交易成本可能不是凸的，因为一个更大的交易者可以获得比s较小的每单位交易量更好的价格。固定交易成本是这种情况的一个显著例子。此外，人们可能会注意到，一些市场流动性不足的模型不是凸的，见。g、 罗奇和索纳[19]。在本文中，我们将交易者A可用的策略集作为一个基本对象。关于过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）金融市场模型将被定义为一组适应序列A={（θt）t=0，…，t的映射-1 | t∈ L（Ft；Rd）}代表市场中代理人的策略，代表交易结果的可测量随机变量集L（F）。一般来说，市场模型的价值可以是任何一组。为了简单起见，我们只考虑两种情况：当市场模型取随机变量L（F；R）集合中的值时，以及当它取随机向量L（F；Rn）集合中的值时。人们认为市场模型的典型变量是最终利润、清算后的最终财富或消费效用的按市值计价。将金融市场模型的研究与风险度量的研究相比较，方法上的差异立即显现出来。后者从公理学开始：一个（有条件的）风险度量是从空间L中的财务头寸空间映射而来∞（F；R）进入L的空间∞（G；R），它描述了使职位可接受所需的财富。当然，这里有G F

有人这样说是因为它是一个将军。有趣的是，金融文献中的市场模型是在个案基础上进行分析的。文献中风险度量流的主要结果是，在下半连续性属性下，即Fatou属性，一个也有一个Fenchel–Moreau对偶表示（见F"ollmer and Schied[9]）。我们工作的另一个比较是最近开发的Lmodules领域（见[4]）。本文中发展的Lmodule理论与我们的一步市场模型是等价的。我们将对这种联系进行一次讨论，以供以后研究。本文的结构如下：在第2节中，我们定义了市场模型，即阐述了公理，并通过示例解释了研究这些公理的原因；在第3节中，给出了市场模型的表示结果；在第4节中，我们定义了无套利条件，并陈述了其后果，如超边际索赔集的关闭和效用最大化；第5节对向量值市场模型的定义和结果进行了扩展。在附录中，我们将收集一些关于可测量通信的定义和想法。1.1关于集合Rnwe上的符号一词将用h·、·i表示s calar积。相应的范数将用k·k表示。Rnwe上的关系将用闭合的凸锥k导出；福克斯，y∈ 我们写xKy的意思是x- Y∈ K.通常的随机变量和向量空间用L表示(Ohm, F、 P；Rn）安德尔∞(Ohm, F、 P；Rn）。用k·k表示后一个空间上的范数∞, 这就是所谓的KXK∞= ess sup kXk f或任何X∈ L(Ohm, F、 P；Rn）。此符号将在正文中删节，以免引起混淆。同样的符号也将用于相应K的可测量选择集：Ohm => Rn，即。

我们将用byL来表示它(Ohm, F、 P；K） 。随机过程是随机变量（Xt）t=0，。。。，T在某些时间范围内。系统的增量将表示为Xi=Xi- xi-1.我们有时需要将随机过程视为随机向量，即LorL的元素∞. 然后我们可以谈谈他们的L∞标准2金融市场的模式l我们将考虑时间范围大于0的有限离散时间内的金融市场模型。交易者只能在{0,1，…，T]的有限时间内重新平衡其头寸-1}. 我们假设交易者的投资组合可以用概率空间上的有限维向量空间Rd来描述(Ohm, F、 P）投资者可获得的信息由过滤F=（Ft）t=0，。。。，T、 例如，F的子sigma代数的增加序列。Wedenote关于过滤F byA的一系列适应策略=（θt）977t∈ L(Ohm, Ft，P；（右）t=0，T- 1..集合A的元素称为策略；这些就是投资者可以采取的行动。在金融数学中，人们通常使用可预测的策略，因为在连续时间内，这是有技术原因的。在离散时间设置中，这种区别是不相关的，因为过程的类别相当于重新指数化。因此，我们使用适应的策略，因为这使符号更加透明。在金融数学模型中，一个通过指定他或她在每项资产中的持股来描述交易者的投资组合。

因此，如果市场上有d股股票，就有必要指定交易员持有的每种资产的股票数量。定义2.1市场模型（我们也将其称为交易收益）是一个映射bv:A→ L（F；R）∪ {-∞})满足以下两个公理：A1：（标准化）如果代理人不参与市场，那么他或她的交易收益为零，即bV（0）=0；A2：（局部性）tradingbV的收益仅取决于局部策略，即对于anyt，任何集合A∈ 《金融时报》和《战略》∈ A、 我们有以下内容：bV（θ，…，θT-1） 1A=bV（θ，…，θt）-1，θtA，θt+1，θT-1） 1Aa。s、 在继续之前，我们首先对上述定义进行简要评论。首先要注意的是-∞ 允许市场模型表明该策略不可行；它有效地描述了模型中的约束。公理A1是说，至少有一种策略在市场上是可行的，即从交易中获得有限收益。I fbV:A→ L（F；R）∪ {-∞}) bea映射是否满足ing A2而不是A1和ifθ∈ A将是一个可行的策略，然后转换模型‘V（z）=bV（z+^z）-bV（^z）是定义为2.1的市场模型。Axiom A2是一个始终隐含在市场模型定义中的公理。我们应该将其与Zitkovi'c[22]等的工作凸性条件进行比较。直觉是，交易的收益应该只取决于策略和实现ω所采取的仓位顺序。备注2.2将这些公理与公理f或条件风险度量进行比较。基本区别在于映射域和共域的可测量性。让G F是次西格玛代数。然后条件风险度量映射ρ：L（F）→L（G），其中每个集合A的局部性性质为ρ（1AX）=1Aρ（X）∈ G、 即。

关于余域西格玛代数的可测性。备注2.3市场模型中辅酶域的选择有些随意。我们也可以把任何空间L作为一个域(Ohm, F、 P；X）其中X是一些拓扑空间。我们将看到，为了定义下面使用的概念，我们只需要空间X上的拓扑和部分关系. 选择R的主要优点是它有一个规范拓扑和一个规范完全二元关系≥ 在上面。此外，在这个空间上有一个规范极小元-∞ 我们将其附加到空间R中，以便对约束进行建模。在第5节中，我们将展示该理论如何转化为Codomann。我们现在提供几个典型的市场模型示例。希望这能稍微解释一下这个论点。例2.4金融市场的基本模型是无摩擦市场。市场模型完全由适应过程（St）t=0，。。。，T、 我们默认存在一个额外的银行账户，利率为零，价值为1。使用自我融资策略，交易的最终收益为isbV（θ）=T-1Xt=0hθt，St+1- Sti。注意，h·，·i表示Rd上的标准标量积，在本例中，d=1，只是一个积。对于市场模型bv来说[-∞, ∞) 有价值的，股票价格过程也需要有价值(-∞, ∞). 然后是每一种策略θ∈ A达到一个绝对值（θ）。很容易看出如何将模型扩展到多个股票。进一步的扩展是增加静态期权{fi}ni=1，可以在初始时间购买，并在投资组合中持有，直到交易期结束。很容易看到如何扩展模型以适应这种扩展。股票价格过程（St）t=0……描述的基本无摩擦市场模型的示例2.5，。。。，增加交易成本。

资本收益仍如前一个例子所述，但对于θt的每一个变化-1对于投资组合中的股票数量，交易者产生的成本为gt（t- 977t-1). 这些需要从银行账户支付。以下是[6]的模型，其中一支股票（St）t=0，。。。，一个零利率的银行账户。市场模型写在这里，作为bv（θ）=T-1Xt=0hθt（St+1- （圣）- gt（θt- 977t-1） 我和大会一起θ-1= 0. 交易成本一般为：Ohm×R→R+∪ {∞} 这样gt(θt）∈ 任意随机变量的L（F；R）977t∈ L（Ft；R）。以下是数学金融的几个突出例子：交易成本比例：成本为gt(θt）=λt|θt |对于一些随机变量序列λt>0 a.s.人们经常会遇到选择λt=λsts，对于某些常数λ>0，这里的stock price过程s也是非负的。固定交易成本：无论交易规模大小，交易员都需要为每笔交易支付固定费用λ。gtone的成本如下GT（x）=λx 6=00，否则。投资组合约束：股票在时间t中的可能位置被约束在某个集合Dt中 R.这就产生了一个有点不同的formbV（θ）=T模型-1Xt=0hθt（St+1- （圣）- 1Dt（θt）i，如果x，则1A（x）为0∈ A和∞ 否则备注2.6当市场模型中的交易产生交易成本时，不清楚投资组合价值的概念应该是什么。有两个典型的候选人。按市值计价是将股票数量乘以其“中间报价”并求和得到的价值。当然，中间报价是多少取决于型号。清算后的投资组合价值是一个人在银行账户上看到的价值，如果他或她将持有的资产更改为银行账户，即θt=0。

在数学金融文献中，为了对双变量进行理想的解释，需要对两者进行区分。例2.7这里我们给出一个更复杂的限价订单簿示例。有关建模注意事项的更多信息，请参见[19]。“均衡股价”过程（St）t=0，。。。，t在没有交易时给出价格；在交易中，交易期结束后，价格由St+给出lt、 如果一个大交易者想进行交易θt时间t，他或她移动价格，因此交易后的价格通过mt变化θt.模型如下lt+1=κlt+2mt+1θt+1Vt+1=Vt+(St+1+κl（t）- mt(θt）对于某些常数κ∈ （0,1），捕捉价格影响的衰减l, 以及一个严格正过程（mt），对mt的极限指令簿的“深度”进行编码。我们在ourbV（θ）=VT（θ）中设置了市场模型，其中人们可以说服自己VT是投资组合（θt）t=0，。。。，T-1.该模型的一个特点是，交易收益不以凸的方式依赖于策略。例2.8最后一个例子将是市场模型不能与资本收益挂钩的例子。代理人在无摩擦市场交易，也可以消费一部分资金。从银行账户上的金额V>0开始，代理决定一对（θt，ct），其中，如上所述，θ是Portfolio中的多个份额，CTI是一个代表消费的过程；这是适应和积极的。在这种情况下，我们考虑的市场模型是vt（θ，c）=T-1Xt=0hhθt，St+1- 性病- ct+1i。我们感兴趣的是消费的效用。如果我们用U:RT表示+→ R∪ {-∞} 从消费流c中获得的效用，我们可以定义我们的市场模型asbV（θ，c）=U（c）。为了更好地定义模型，我们需要假设头寸在交易结束时具有偿付能力，即。