超越凹型情形的离散时间金融市场模型

VT（θ，c）≥ 0 a.s.一个人可以想出数量有限的其他市场模型示例。让我们只提到最佳停车，可以通过适当减少策略的空间来处理。3市场模型的表示在金融数学中，通常认为市场是分配给策略的资本收益过程的规则。这种通过分配过程对市场的动态观察主要源于在连续时间内定义随机积分时需要处理的技术细节，即不能谈论ω-明智的随机积分。在我们上面给出的例子中，市场模型是以ω的方式给出的：定义ω，市场模型只是路径的确定函数。对于某些函数V，我们可以写出这个观测值sbv（ω）=V（ω，ω）：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}. 所有这些映射定义了市场模型，如下表所示。引理3.1设V为映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 假设它是F B（RdT）- B（R）∪ {-∞}) 可测量的然后m应用BV:A→ 定义为bv（ω）（ω）：=V（ω，ω）定义了当bv（0）=0时的市场模型。证据因为我们在引理的陈述中假设A1是满足的，所以我们只需要将A2和thatbV映射到正确的空间。但从V的可测量性可以明显看出这一点。本节的目的是说明在某些条件下，逆命题也成立，即对于任何bv，我们可能会找到一个映射V，这样它们就如前文中的引理一样相关。从市场模型开始，自然要做的事情是分配给它，映射定义如下：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}（ω，x）7→bV（x）（ω）。（1） RDT中的常数表示确定性策略，即非随机策略。当然，这些都是经过改编的。因此，定义是有意义的。因此，根据公理A2，对于任何简单策略，我们也有v（ω，θ（ω））=bV（θ）（ω），即。

只取有限个值的那个。然而，目前尚不清楚，除了这类策略之外，该识别为何有效。其中一个障碍是，由此定义的映射V不需要是可测量的，或者根本没有任何规律性。事实上，很容易找到这样的病理样本；参见[20]中14.39号提案之后的讨论。我们最好的希望是，我们可以修改映射V，以获得足够规则的版本。我们遵循[20]中14.40号提案的精神，定义了以下一组随机变量spx，r=ess supbV（θ）θ ∈ A、 kθ- xk∞< R（x，r）∈ RdT×R+。请记住，集合A包含所有适应的过程，因此我们获得基本上确界的家庭不是空的。通过定义bV和本质上确界，这些随机变量是F可测的。下面的暗示很重要≥ r+kx- yk==> px，r≤ 佩伊，萨。s、 左边的条件意味着中心位于x的半径r的球包含在以y为中心的半径s的球中。利用这一准备，我们现在确定地图VV的候选对象：Ohm ×RdT-→ R∪ {-∞}（ω，x）7→ infpq，r（ω）kx- qk<r，q∈ QdT，r∈ Q∩ (0, 1). （2） 请注意，我们取整数的集合是可数的，因此有必要以ω的方式定义它。作为下一步，我们将证明这个定义是好的。但在继续之前，让我们先介绍一些定义。由于正规被积函数的概念是相当标准的，我们选择不发明新的术语，而是引导读者阅读[20]，第14章，其中详细阐述了该理论。在这里，我们只记得定义，并警告说，与[20]相比，我们更改了以下所有内容中的符号。

我们对最大化感兴趣，这本书[20]讨论的是最小化。定义3.2 A映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 如果其下位对应ω7，则称为F正规被积函数→ hypo V（ω）=（x，r）∈ RdT×RR≤ V（ω，x）关于F是闭值且可测的。集值映射，或对应，ω7→ C（ω）对于每一个开球B都是可测量的，与F if相对应 RdT，我们有{ω| B∩ C（ω）6=} ∈ F.对应ω7→ C（ω）我们用C表示：Ohm => Rn表示每个C（ω）是Rn的子集。可测量对应理论的标准结果概述可在附录A中找到。在本章的剩余部分，我们通常会删除对西格玛代数的引用。这类正规被积函数的一个著名代表是Carathéodory映射类；a映射V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 如果地图是x7，卡拉斯·奥多里是吗→V（ω，x）对于每个固定ω是连续的∈ Ohm ω7→ V（ω，x）是可测量的F∈ RdT；参见[20]中的示例14.29。我们还要提到的是，几乎所有的金融市场模型，除了具有投资组合约束的模型外，都是由Carathéodory被积函数表示的。定义正规被积函数V的基本结果是，对于所有可测量的随机向量x∈ L（F；RdT）随机变量ω7→ V（ω，x（ω））是可测的；见[20]中的14.28号提案。引理3.3（2）中定义的映射V是tegrand中的一个正态。证据让我们写下并展开映射V的下标图的定义。Wehavehypo V（ω）=n（x，β）∈ RdT×R |β≤ V（ω，x）o=（x，β）∈ RdT×Rβ ≤ pq，r（ω）；Q∈ QdT，r∈ Q∩ （0,1）与kx- qk<r=\\Q∈QdTr∈Q∩（0,1）{（x，β）∈ RdT×R |β≤ pq，r（ω）如果kx- qk<r}=\\q∈QdTr∈Q∩(0,1)Br（q）×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×R=\\Q∈QdTr∈Q∩(0,1)RdT×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×R,式中，Br（q）表示半径为r的围绕q的开放球。

首先注意，对于固定ω，最后一个表达式是闭合集的交集，因此是闭合的。这意味着每个ω的映射V的上半连续性。当我们证明每个Br（q）×(-∞, pq，r]∪ Br（q）c×R是一个可测量的对应关系，我们将通过命题14来完成。11英寸[20]。根据同样的命题，可测对应的有限并集也是可测的，因此我们只需要检查赋值ω7→ RdT×(-∞, pq，r（ω）]是一个可测量的对应关系。让B=Bs（y，α）是一个开球。然后我们有ω ∈ OhmRdT×(-∞, pq，r（ω）]∩ B 6==ω ∈ Ohm|pq，r（ω）- α|<s,这是一个可测集，通过pq的F可测性，r引理3.4，使bv成为一个m市场模型。然后，对于上面构造的正规积分dV，我们有bv（θ）（·）≤ V（·，θ（·））a.s.为所有人θ∈ A.证据。引理的陈述等价于每个θ∈ A、 随机变量（θ，bV（θ））是对应hypo V的可测量选择。在引理3.3的pro中，我们将这种对应关系表示为对应关系ω7的交集→ RdT×(-∞, pq，r（ω）]∪ Br（q）c×Rover（q，r）∈ QdT×Q，r>0。那么，fix q和r。我们需要展示以下内容：在Aq上，r:={ω| |θ（ω）- q|≤ r} wehavebV（θ）1Aq，r≤ pq、rAq、r.确定以下策略θq、r=. . . , θt|t-qt|≤r+qt | t-qt |>r。,这里我们方便地表示了q=（q，…，qT）-1） 表示时间不确定性策略q。现在注意，通过构造，我们得到了θq，r∈ A和| q，r- q|≤ r a.s.和θq，r=θon Aq，r。

这就完成了证明，因为根据公理A2 wehavebV（θ）1Aq，r=bV（θq，r）1Aq，r≤ pq，rAq，r.最后一个不等式成立，因为在定义pq，r.定义3.5时，我们认为市场模型bv是上半连续的，如果对于每个策略序列∈ A.∩ L∞在L集中∞为了一个策略θ∈ A、 我们有那份晚餐→∞bV（θn）≤bV（θ）。以下是本节的主要结果。定理3。6.让BV成为市场模式。如果bv是上半连续的，那么对于每一个被积函数，都存在一个正规被积函数V，其bv（θ）（ω）=V（ω，θ（ω））∈ A.正规被积函数V是在上面构造的，引理3.4表明它比泛函LBV大。所以，仍然需要证明bv的上半连续性意味着bv（θ）（ω）≥ V（ω，θ（ω））。这个证明是围绕[18]中的引理1.3展开的，该引理指出，对于pq，r=ess-supbV（θ）θ ∈ A、 kθ- qk∞≤ R存在一个可数子集{θq，rk}k∈N与kθq，rk- qk∞≤ 对于每个k和pq，r=supk∈NbV（θq，rk）。（3） 我们利用这些推论，通过矛盾进行辩论。证据如下。证据让我们首先证明一下，证明有界策略的定理就足够了。假设这个定理对所有有界策略都成立，让θ∈ 一种可能是任意的。对于策略θ，我们分配了一系列策略θn=θ|θ|≤NθT-1 | T-1|≤N.显然，θn∈ A.∩L∞还有P[θn=θ]→ 1.表示An={θn=θ}，根据位置公理A2，我们有bV（θ）1An=bV（θ1An）1An=bV（θnAn）1An=V（θn）1An=V（θ）1An。发送n→ ∞ 对于θ，我们也得到了平等。从今以后，我们将与建立在L∞.如果定理的陈述不令人满意，则存在一个θ∈ A.∩ L∞对于某些ε>0的情况，p[V（·，θ）>bV（θ）+2ε]>2ε。

当策略θ具有确定性时，我们将首先概述案例中的论点，然后在步骤2中将该论点扩展到一般情况。第一步：对于每一个确定性策略，它用一个向量表示∈ RdT，我们认为这个定理成立。用矛盾来争论。设（qn）是QdT中的一个序列，满足ing | qn- x |<2-N-1.如上所述，由于px，r≤ 佩伊，萨。s、 无论何时≥ r+kx- yk，它遵循v（ω，x）=limn→∞pqn，2-以上限值的顺序是递减的。因此，我们认为这个定理是错误的，即P[V（·，x）>bV（x）+2ε]>2ε，因此P也是错误的pqn，2-n> bV（x）+2ε> 根据我们在上述证明中所做的评论，对于每个n，都存在一个常数knsch thatPsupk<knbV（θqn，2-nk）>bV（x）+ε> ε. 用（θn）表示序列θq，2-1.θq，2-1k，θq，2-2.θq，2-2k，θq，2-3.通过构造，序列θ在L中收敛到x∞. 然而，同样通过序列的构造，我们得到了林尚→∞bV（θn）≥bV（x）+ε≥ ε.这与市场模型bV的upp er半连续性相矛盾，因此V（ω，x）6=bV（x）（ω）具有正概率的假设是错误的。第2步：该定理适用于所有有界策略θ∈ A.∩ L∞.对于这种一般情况，我们将遵循与上一步相同的策略。假设对于某些ε>0的情况，我们需要构造一个收敛到L中的序列（μm）∞和Plim supmbV（θm）≥bV（x）+ε≥ ε. 我们按照步骤1中的步骤分段构造这个序列。通过依次（1）逼近L中的θ进行证明∞使用一个简单的s策略θ，其值为qd和kθ- θk∞≤ 2.-N（2）使用等式（3）中给出的pq，r的定义序列，从上面近似V（θ）的值。我们只展示了如何定义有限等式（θni），比如kθni- θk∞≤ 22-nandPsupi<knbV（θni）>bV（θ）+ε> ε.

然后，如步骤1所示，通过附加这些细节来完成证明。所使用的精确符号将在校样中列出。修正一个错误∈ N.我们将首先构建一个策略θ，使kθ- θk∞< 2.-n、 构造过程很简单，通过依次逼近策略进行：用一个简单的随机变量θ=NXi=1q（i）1逼近第一个θOhm（i） 这样kθ- θk∞< 2.-娜娜。s、 当然，我们需要Ohm（一）∈ F.假设Ohm（i） 是不相交的，这是i=1Ohm（i） =Ohm. 继续下一个时间实例，并在每个Ohm（j） 从上一步开始，用一个简单的随机变量θ来近似θOhm（j） =N（j）Xi=1q（j，i）1Ohm（j，i）这样，在完成f或所有j之后，我们就有了kθ- θk∞≤ 2.-n、 再次假定Ohm（j，i）∈ 票价不相交且SN（j）i=1Ohm（j，i）=Ohm（j） 。我们以类似的方式进行，直到得到最后一步的近似值。然后我们写θ=NXi=1··NT-1（我…，它-2） 退出-1=1q（i），q（我…，是吗-1)Ohm（我…，它-1).当然，通过构造，我们有kθ- θk∞≤ 2.-n、 为了进一步简化旋转，我们用一个元组表示-1） 表示上述表达式中的和，并用N表示所有此类指数的集合，即N={（i，…，iT）-1)  新界| i≤ N信息技术-1.≤ 新界-1（我…，它-2)}.对于每一个ν∈ N将相应的向量写成qν=q（ν），q（ν，…，νT）-1).现在，根据证据之前的观察，对于每一个∈ N存在一个序列{θνk}k∈N A、 这样kθνk- qνk∞≤ 21-nandpν：=pqν，2-n+1=超级∈NbV（θνk）。在引理3.4的证明中，我们现在注意到bv（θ）≤ V（θ）≤Xν∈NpνOhm（ν） 因此，我们也可以找到一个常数K，比如p“supk（ν）∈{1，…，K}| N | Xν∈NbVθνk（ν）Ohm（ν） >bV（θ）+ε#>ε，这里我们看k（ν）∈ {1，…，K}| N |作为映射K:N→ {1，…，K}。现在，如果随机向量Ohm（ν） 实际上是针对每一个k（ν）∈{1，…，K}N |，我们就完了。

事实上，这组策略是有限的，因此我们可以将它们添加到我们的搜索序列（θm）中，如步骤1所示。然后，对每个n重复这个过程，我们可以得出第1步中的证明。在证明的最后一部分，我们将展示，同样可以通过调整策略来实现。本质上，我们展示了如何扩展策略θνkOhm（ν） 对于已适应的策略，近似值为f或θ，即k- θk∞≤ 2.-n+1，这样bv（θνk）1Ohm（ν） =bV（а）1Ohm(ν). 修正一个v∈ N和k∈ {1，…，K}。我们可以很容易地看到，该策略=. . . , θνk，tOhm（ν，…，νt）+θtOhm（ν，…，νt）c。满足上述所有标准。事实上，最后一点是从观察中得出的：Ohm（ν） =TT-1t=0Ohm（ν，…，νt+1）。备注3.7请注意，在证明中，我们没有继续证明正规可积有限值。但上述定理的证明表明，情况确实如此。假设对于某个常数q∈ qd和all r∈ Q∩（0，1）我们有P[pq，r=∞] > ε.然后，通过与上面相同的论证，我们可以构造一个序列θn→ q一致，P[lim supn→∞bV（θn）=∞] ≥ ε. 但这是不可能的，因为假设BV取L（F；R）中的值∪ {-∞}) 以及上半连续条件。推论3.8上述定理的半连续性条件等价于下面的条件：对于每个策略序列（θn），收敛到一个策略θa.s.我们得到了有限的支持→∞bV（θn）≤bV（θ）。证据由于一致收敛意味着几乎确定收敛，我们只需要证明上述定理也适用于策略的几乎确定收敛。所以，让θnbea序列几乎肯定地收敛到一个策略θ。根据Egorov定理，收敛性几乎是一致的，即对于每一个ε>0存在一个集合∈ F在-1.∈ 英尺-1如此之多[At]>1-ε对于每个t和θntat均匀地收敛到θtAt。

我们也可以假设，在L∞, 否则，每一条线都与{|θt|相交≤ N} 对于足够大的N。表示现在的n=（nA，…，nT）-1AT-1).根据A2公理，我们知道bV（^θn）1tat=bV（θn）1tat。接受极限：林超恩→∞bV（θn）1tat=lim supn→∞bV（^θn）1tat≤bV（θ）1tat=bV（θ）1tat。自从PTtAt> (1 - ε） Tandε>0是任意的，结果如下。备注3.9现在人们可以问，这种表述结果的意义是什么。一种方法是注意到，对于任何市场模型bv，不一定是上半连续的，它声明其上半连续包络具有特定的形式。还要注意的是，定理假设市场模型bv的顺序上半连续性，然后证明它等价于所有ω的半连续性。此外，它允许我们扩展市场模型，并使用未调整的策略，只需将s策略插入函数V。事实上，利用A2属性，我们可以将功能LBV扩展到适应策略之外。这是事实，但这种扩展仅适用于“有限粘贴”，即可以粘贴有限数量的策略。在[4]的语言中，扩展只可能到a的稳定壳。表示定理表明，在上半连续条件下，可以将泛函LbV扩展到a的σ稳定壳。例3.10以下是[20]中的一个例子，表明即使在市场模型bv定义为映射V的情况下：Ohm×RdT→ R满足财产ATBV（θ）∈ 每种策略的L（F；R）θ∈ A、 映射V可能仍然缺乏所需的可测量性。允许Ohm = [0,1]与Lebesgue测度P和Borel sigma代数。出租 Ohm 成为一个不可测量的集合。一步市场模型由bv（x）（ω）给出=1 x=ω∈ D、 否则为0。以初始的西格玛代数F为例，1 hasbV（θ）=0 a.s。

对于每种策略θ∈ A.还要注意，对于每个固定ω，映射x 7→bV（x）（ω）是上半连续的。问题是映射V不是正规被积函数；事实上，V的下标图是不可测量的，这一定义直接导致了这一点。然而，上述构造的一个候选者会给出V（ω，x）=0，这是可测量的，即正规被积函数。对于每一个可测量的策略，它都等同于V a.s。备注3.11需要市场模型的半连续性来获得市场表示的固定ω半连续性。一个自然的问题是，市场模型的连续性是否意味着代表性也一样。我们将通过一个反例来说明，这个问题的答案通常是否定的。然而，在某些情况下，结果是真实的。这回答了[7]中关于局部（即术语中的稳定）和连续mapsbf:L（F；Rd）之间关系的问题→ L（F；Rd）和Carathéodory被积函数F：Ohm X路→ 在下面的引理中，我们只考虑mapsbf:L（F；Rd）→ L（F；R），可以看作是坐标图。我们称之为mapbf:L（F；Rn）→ 对于每个序列（θk），L（F；R）是序列连续的 L（F；Rn）几乎肯定收敛到θ∈ L（F；Rn），alsobf（θk）→bf（θ）几乎可以肯定。引理3.12 Letbf:L（F；Rd）→ L（F；R）是一个一步市场模型。如果BF是连续的，那么它可以用卡拉斯气味图f表示：Ohm X路→ R.证明。由于序列连续性意味着序列的上半连续性和下半连续性，因此定理3.6适用。它产生两个表示被积函数：上半连续的f+和f-, 这是下半连续的。观察这些表示的构造，我们知道f+（ω，·）≥ F-（ω，·）作为所有ω的函数。