时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

加上（1.32），由于E是闭合的，这证明了i）。为了证明ii），注意ψqk，t（u）在is×K上有界，因此ii）的假设只能在limk时成立→∞kxqkk=∞. 如果xqkis是E值的，则进一步morelimk→∞h<ψqk，t（u），xqki=-∞ （1.36），因此对于子序列qk，t（u）6=0。因为Φqk，t（u）>0表示k大，所以我们有u∈ Q和ψqk，t（u）∈ U.因此<u6= 自从你 relint（<U），relint（<U）不能为空。由（1.36）可知，limk→∞k∏xqkk=∞. 有一个子序列和一些方向∈ 跨越（<U）这样的界限→∞hg，xqki=∞. 为了你∈ relint（<U）有 > 以至于你+G∈ relint（<U），根据U的定义，它意味着supx∈埃胡+g、 xi<∞. 因此limk→∞胡，xqki=-∞, 1.4正则性和半鞅特征请记住，状态空间E是实向量空间V的子集。过滤概率空间上的E-valuedc`adl`ag过程X(Ohm, A、 F，P）是半鞅，如果它可以分解为（F，P）-局部鞅M和有限变分过程A，即X=X+M+A。关于半鞅（和半鞅特征）的介绍，我们参考Jacod和Shiryaev[29]。设X是半鞅。X的跳跃度量定义为uX（dt，dx；ω）=XsI{Xs（ω）6=0}δ（s，Xs（ω））（dt，dx）。注意这里Xt=Xt-Xt-指的是过程的跳跃，而不是墓地。由于这两种符号在各自的领域都有很好的应用，我们将使用 两者皆有。不应该有混淆这一点的风险。用ν（dt，dx；ω）表示该随机测度的补偿器。设h表示这些半鞅特征的截断函数，即有界函数h:V→ V的h（x）=x在0的邻域中。

过程^Xt=Xt-Xs≤t(Xs- h(Xs）则具有有界跳，是一个特殊的半鞅，具有唯一的正则分解^X=X+^M+^B，其中^M是局部鞅，^B是可预测的单位严格来说，半鞅仅定义为Rd值过程。然而，对于维数为d的V，我们定义了Rd和V之间的同构，在这种情况下，通过该同构定义的Rd上的相应过程可以理解半鞅性质。变异过程。进一步考虑C=[Xc]=[^Mc]，它是半鞅的连续局部鞅部分的二次变分。三元组（^B，C，ν）被称为X的半鞅特征的一个版本。请注意，特征^B取决于函数h的选择。它们被定义为概率为零的一组。如果特征值等于（^B，C，ν）直到一组概率为零，我们也将其称为（^B，C，ν）。半鞅性质和上述分解依赖于滤波和概率测度。对于马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}），存在多个度量，我们做出以下定义。定义1.34：E值c`adl`ag马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，如果X是a（F，P（s，X））-所有（s，X）的半鞅。注意，我们仅限于E值马尔可夫过程。这意味着我们只处理保守的有效过程（见引理1.24）。一种包括墓地州的方法 是考虑 作为V\\E中的一点（参见Cheriditoet al.[8]）。然而，这造成了一些困难（比较脚注7和8），因此我们排除了这种情况。定义1.34只要求半鞅性质适用于所有概率测度P（s，x）。对于时间齐次马尔科夫过程，如C,inlar等人所示。

[28]那个么，对于所有测度Px，也存在半鞅特征的不同版本的过程。对于时间均匀的a函数过程，Cuchiero and Teichmann[10]和Keller Ressel等人[37]得出了以下结果。用S（V）表示V上的正半单位矩阵，用M（V）表示V上的（有符号）度量集u。设h表示半鞅特征的无约束函数，即有界函数h:V→ V与h（x）=x在0附近。定理1.35：设（X，F，{Px}）为保时齐次连续有效转移函数的E值c`adl`ag正则实现。那么就有b了∈ V，a∈ S（V），m∈ M（V）与线性映射β：E的限制→ V，α：E→ S（V）和M:E→ M（V），这样对于所有的u∈ UF（u）：=tφt（u）t=0+，R（u）：=tψt（u）t=0+存在，即X是正则的。F和R由F（u）=hu，aui+hb，ui+ZV给出呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uim（dξ），hR（u），xi=hu，α（x）ui+hβ（x），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uiM（dξ；x）。（1.37）在这里，这个结果是为保守的过渡函数公式化的。Φ和ψ满足t<σ（u）=inf{s的广义Riccati微分方程≥ 0:Φs（u）=0}，即。tΦt（u）=Φt（u）F（ψt（u）），Φ（u）=1，tψt（u）=R（ψt（u）），ψ（u）=u.（1.38）此外，X是马尔可夫半鞅，其中（B，C，ν）由bt=Ztb+B（Xv）给出-) dv，Ct=Zta+A（Xv-) dv，ν（dt，dξ）=（m（dξ）+m（dξ；Xt）-)) dt是X在每个测量Px下的特征的一个版本。备注：请注意，在一般状态空间E上，我们无法对参数b、β、a、α、m、m进行更多说明。对于给定的状态空间，这些参数必须满足附加条件，从而保证过程保持在状态空间内。对于正则状态空间Rm≥0×RN杜菲等人[16]提出了此类受理条件。

利用这些可容许条件，他们给出了正则状态空间上时间齐次连续有效过程的一个特征。在Cuchiero等人[11]中，也推导了矩阵值过程的容许条件。我们想把定理1.35的结果推广到时间非齐次过程。下面的例子表明，这不能完全概括地实现。有些过程具有连续有效的转移函数，它们不是半鞅，有些过程具有非正则的时间非齐次马尔可夫半鞅。其中一些例子在定义1.3中使用了马尔可夫过程，因为本质问题更容易发现。然而，在给定转移函数的情况下，我们总是可以在定义1.6的意义上构造一个马尔可夫过程，然后在这类马尔可夫过程中产生一个反例。例1：每个确定性实值函数f通过过渡函数ps，t（x，dξ）=δx+f（t）生成一个时间不均匀的函数过程-f（s）（dξ）。引理1.4中存在测度P（s，x），使得转换函数（x，FX，{P（s，x）}）的标准实现是Φs，t（u）=eu（f（t）的函数-f（s）），ψs，t（u）=u（1.39）。在这种情况下，过程X是P（s，X）-a.s。用xs描述，xt=X+f（s+t）- f（s），t≥ 0.如果函数f是连续的，则函数f的过渡函数是连续的。如果f不是有限变差，则马尔可夫过程不是半鞅（命题I.4.28，Jacod和Shiryaev[29]）。下面是一个不确定的例子。例2：设X为(Ohm, A、 F，P）与E=[A，∞), a>0（例如，移位的CIR过程）和f:R≥0→ [1, ∞) 一个连续函数，它不是有限的变化。

考虑进程Yt=f（t）Xt，它随后具有相同的状态。然后是一段时间∈ B（E），Y-1t（A）=X-1t（f（t）-1A）∈ 自由贸易区ehu，Yti | Fs= Eehf（t）u，Xti | Fs= Φs，t（f（t）u）ehψs，t（f（t）u），Xsi。因此Y是一个ΦYs，t（u）=ΦXs，t（f（t）u），ψYs，t（u）=ψs，t（f（t）u）f（s）的有效过程。Y的转移算子定义为pys，tg（Y）=ZEg（f（t）ξ）PXs，t（f（s）-1y，dξ）。如果X是一个半鞅，则由^o引理X-1也是一个半鞅。假设y是一个半鞅。那么f（t）=YtX-这是一个半鞅。因为f不是有限的变量，所以这不可能是真的。因此Y不是半鞅。此外，时间不均匀的连续有效过渡函数可能不是正则的。这里的规律性定义如下。定义1.36：E上的转移函数{Ps，t}是正则的-xi特湖sPss=t=-林斯↑tt- s（Ps，tfu（x）- fu（x））存在于所有（t，x，u）∈ R> 0×E×U，并且在所有（t，x）的U=0时是连续的∈ R> 注：对于一个有效的转移函数，应用链式规则和假设1可以得出这等价于Φ和ψ的左导数的存在，即。-sΦs，t（u）|s=t，-sψs，t（u）|s=t。这在菲利波维奇[21]的定义2.3中被称为弱正则。例3：设f:R≥0→ R≥0是一个连续的、不减损的函数，X是一个时间均匀的连续有效进程(Ohm, A、 F，P）。然后时间转换过程Yt=Xf（t）满足要求ehu，YTi | Ff（t）= Φf（T）-f（t）（u）ehψf（t）-f（t）（u），Yti。这对应于转换函数pys，t（x，·）=PXf（t）-f（s）（x，·）。{PYs，t}又是ΦYs，t（u）=ΦXf（t）的函数-f（s）（u）和ψYs，t（u）=ψXf（t）-f（s）（u）。由于Φx和ψx是连续的，ΦYandψy也是连续的。康托函数是一个连续的非减量函数f:[0,1]→ [0，1]这样＠f的导数几乎处处为零，否则不存在（因此该函数不是绝对连续的）。在[0,1]上设置f=~f，并且f（t）=1≥ 1.

对于这个f，转移函数{PYs，t}不是正则的。一个具体的例子是Xt=Bf（t），其中B是布朗运动。最后的例子表明，正则性本身并不意味着X是半鞅。因此，半鞅性质和正则性必须分开处理。例4：考虑函数g（t）=（tsin（1/t）ln（t/2）0<t≤ 1.0吨≤ 0.g在[0,1]上是可微的，但有无限的变化（见Guzman[27]，第294页）。注意，这个函数的导数在t上发散和振荡→ 0.使用f（t）=g（1）- t） 例1给出了一个有效过程，它是正则的，但不是半鞅。1.4.1一个有效的马尔可夫半鞅let（X，F，{P（s，X）}）是定义1.34意义下的马尔可夫半鞅，具有一个连续的转移函数。到目前为止，我们只要求所有概率测度P（s，x）的半鞅性质成立。为了找到每个测量P（s，x）下的特征版本，我们使用C,inlaret al[28]的设置。因此，我们使用Emma 1.13中介绍的时空过程ΘX=（Θ，X）。注意，对于一个连续有效的转移函数，我们可以使用乘积σ-代数E:=B（R）≥0)  E onE:=R≥0×E和A:=B（R）≥0)  一个Ohm := R≥0×Ohm. 过滤系数F由Ft=B（R）给出≥0)  那么（~X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,~A）具有状态空间（~E，~E）。因为在扩展空间（）Ohm,~A）X（s，ω）=X（ω），我们使用相同的字母X来表示(Ohm, A） 然后继续Ohm,)A）。如果不清楚，我们具体指的是潜在的概率空间。我们假设过滤F是一个右连续的强马尔可夫过滤（见C,inlar等人[28]）。注意，强马尔可夫过滤的定义要求X和X的移位算子θt的存在Ohm, 它们被扩展到X和Ohm 通过∧θt（s，ω）=（s+t，θt（ω））。

对于连续跃迁函数的规范时空实现，这始终是正确的（见第1.3节）。通过这种设置，我们可以使用C,inlar等人[28]的结果。定义1.37：如果所有（s，x）F=0和Fv+t（r，ω）=Fv（r，ω）+Ft的P（s，x）-A.s，则随机过程F称为加法oθv（r，ω）=Fv（r，ω）+Ft（r+v，θv（ω））。引理1.38：存在。一种适应的加法过程F（r，ω），对于每个度量P（s，x），它不从F=0a.s.减少，因此F是P（s，x）-对于所有（s，x）而言，与可预测的过程不可区分。可选过程bt（r，ω）和ct（r，ω）的值分别为V，S（V），3。一个正核Kt（dy；（r，ω））来自（~Ohm, O（~Ft））给出M（V）中的度量，使得b=b·F，C=C·F，ν（dt，dξ；（r，ω））=Kt（dξ；（r，ω））dFt（r，ω）（1.40）是X在（~Ohm,在每种测量下P（s，x）。我们说（b，c，K，F）给出了（X，~F，{P（s，X）}）的半鞅特征的一种形式。证据如果（X，F，{P（s，X）}）是马氏半鞅，那么（X，~F，{P（s，X）}）也是马氏半鞅。此外，Xt-Xis是一个加法过程。将C,inlar等人[28]中的定理6.25应用于X- X给出了结果。引理1.38中的函数F远不是唯一定义的。受例3的启发，我们期望引理1.38中的函数F甚至可以被选择为确定性函数（这里的确定性函数总是指独立于ω的函数）。我们的想法是构造这样一个候选者，并证明F对于这个候选者是“绝对连续的”。然后我们继续说明，当F是确定性的时，b，c和K可以表示为（Θ，X）的函数，这在X中是有效的。注意，我们不能期望这对非确定性的F是正确的。O（~Ft）表示~Ft可选σ-代数（见C,inlar等人。

[28]).注意Xτ- Xis不再是一般停止时间τ的加法过程，这就是为什么我们不能直接使用定理6.25来通过在itexplodes之前停止过程来处理爆炸过程。例5：假设F独立于ω，并选择一个有界函数F:E→ R> 0。定义Ft=Rtf（~Xs）dFs。那么F是加法的，不减量的，~F=0，但是F取决于ω。~X的特征也可以写成关于任何此类~F的积分。定义1.39：我们称之为有限变差（FV）的一个有效过渡函数，如果它映射到T7→ Φt，t（u）和t7→ hψt，t（u），x的xi∈ E是[v，T]在v>o（T，u）之前的有限变化。注：设{Ps，t}是马尔可夫半鞅的连续有效转移函数。我们猜想a ffine转移函数是自动的FV（另见引理1.44）。然而，到目前为止，我们无法证明这一点。对于具有有限变量的有效转移函数的马尔可夫半鞅，我们为F构造了一个确定性候选者，如下所示。固定假设1中存在的E的一个基，并设置ψit，T（u）：=hψT，T（u），xi- xi设置o（T，u）=（o（T，u）+T）并定义非减损连续函数gt，u（T）：=Zt∧Tt∧~o（T，u）d |Φs，T（u）|+dXi=1d |ψis，T（u）|，其中我们对s积分，d | f（s）|表示f的总变化量。考虑R的可数密集子集≥0×iV表示该集合的索引元素，由（Ti，ui），i∈ N.从现在开始，当编写索引的Tior ui时，这总是指这个集合中的点。定义权重swi=2-iGTi，ui（Ti）IGTi，ui（Ti）>0和setG（t）：=t+Xi∈NwiGTi，ui（t）。（1.41）权重保证该和收敛。函数G是连续的，严格递增的和| G（t）|≤ 1+t。我们使用函数G来定义过程Gt（r，ω）：=Gt（r）：=G（r+t）- G（r）。G独立于ω和加法，即Gs+t（r）=Gs（r）+Gt（s+r）。这就是提到的候选人。

用这个结构dΦ·，Ti（ui）和dψj·，Ti（ui），j=1，d、 对于所有i，绝对连续的w.r.t.dG在[o（Ti，ui），Ti]）上。用s7表示它们相对于dG的（确定性）密度→ fΦ（s；Ti，ui）和s7→ fψ（s；Ti，ui）。修正（s，x）和T>s和u∈ iV考虑一致有界（~F，~P（s，x））鞅mt-s、 ut=E（s，x）hehu，XT-si | Fti=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），Xti，0≤ T≤ T- s、 （1.42）如果认为墓地州 作为V\\E中的一个点，方程（1.42）中的第二个恒等式不再适用于经典指数函数。必须使用修正函数f，其等于ehu、xion U×E和satis f（U，) = 0.然而，在这种情况下，必须修改方程式（1.44）以修正跳变.根据定理二。34 Jacod和Shiryaev[29]以及引理1.38 X可以分解为xv=X+ZvbtdFt+ZvZV（ξ- h（ξ））uX（dt，dξ）+Nv，（1.43），其中uXis与X和N的跳跃相关联的随机测度是（~F，~P（s，X））局部鞅（对（r，ω）的依赖被抑制）。

分部积分和It^o引理在机器翻译中的应用-s、 结合半鞅的性质，给出了r的特征≥ 0和o（T，u）- s<r≤ 五、≤ T- sMT-s、 紫外线-机器翻译-s、 ur=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+Φs+t，t（u）dehψs+t，t（u），Xti=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+dhψs+t，t（u），Xti+d[hψs+t，t（u），Xti]c+ZvrZVMT-s、 ut-ehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），ξiuX（dt，dξ）=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-i+hψs+t，t（u），dBti+hψs+t，t（u），dCtψs+t，t（u）i+hψs+t，t（u），dNti+ZvrZVMT-s、 ut-ehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），h（ξ）iuX（dt，dξ）。用ν补偿并使用（1.40）给定的SMT-s、 紫外线=MT-s、 ur+（~Nv）-~Nr）+ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-i+κ（ψs+t，t（u））dFt,（1.44）当积分与t有关时，κ定义为（r，ω）∈~Ohm asκt（u；（r，ω））：=hu，bt（r，ω）i+hu，ct（r，ω）ui+ZVehu，ξi- 1.- 胡，h（ξ）iKt（dξ；（r，ω））和＠Nr是由＠Nr=ZrMT给出的局部鞅-s、 ut-hψs+t，t（u），dNti+ZrMT-s、 ut-ZVehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），h（ξ）i（uX）- ν） （dt，dξ）。自从-s、 如果是鞅，则（1.44）右侧的有限变化部分必须消失。对于（T，u）=（Ti，ui），这就给出了P（s，x）a.s。