时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

对于t in[~o（Ti，ui）- s、 钛- s] fΦ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-idG（s+t）=-κt（ψs+t，Ti（ui））dFt。（1.45）对于每一个i，方程（1.45）不成立的集合是一组P（s，x）-测量零。通过这些集合的可数并集，我们找到了一组P（s，x）-度量为零的集合，其中补码（1.45）同时适用于所有i。方程（1.45）几乎给出了dF·（s，ω）相对于dG·（s）的绝对连续性。如果κt6=0，我们可以用κtin方程（1.45）进行“除法”，并且基本完成。接下来的引理表明，我们基本上总是可以找到（Ti，ui），我们可以这样做。引理1.40：考虑集合Γ（s，ω）：={t>0:κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω））=0，对于所有i和s+t∈ [o（Ti，ui），Ti]}。关于Γ（s，ω），它认为bt（s，ω）=0，ct（s，ω）=0，Kt（dξ，（s，ω））=0。证据Fix（s，ω）和t∈ Γ（s，ω），u∈ iV 有一个序列（Tk，uk）和Tk↓ 英国s+t→ u、 通过传递到一个子序列，同样由（Tk，uk）表示，可以假设0≤ o（英国蒂克郡）<Tk≤ s+t+1和o（英国塔克郡）→ 五、≥ 0.Φ的连续性产生Φo（Tk，英国），Tk（英国）→ Φv，s+t（u）。因此，根据o（英国Tk）的定义，v=0或Φv，s+t（u）=0。在这两种情况下≤ o（s+t，u）<s+t.集 := s+t- v>0。有安，所以不管怎么说≥ 否（英国塔克郡）≤ 五+= s+t-.选择足够大的N，以增加s+t≤ Tk≤ s+t+, 这就是为什么≥ No（英国蒂克郡）=Tk+o（英国蒂克郡）≤s+t++ s+t-= s+t-< 因此我们得到κt（ψs+t，Tk（uk）；（s，ω））=0或全部k≥ N.通过ψ的连续性，ψs+t，Tk（uk）→ ψs+t，s+t（u）=u和自u 7→ κt（u；（s，ω））对于每个（s，ω）是连续的，因此κt（u；（s，ω））=0。这对美国所有人都适用∈ 通过L’evy Khintchine表示的唯一性（引理II.2.44，Jacod和Shiryaev[29]），这将转移到b，c，K。对于每一个（s，ω），限制在Γ（s，ω）的补的度量dF（s，ω）是R上的度量≥0

用∧Ft（s，ω）表示其分布函数，F（s，ω）=0。ByLemma 1.40和（1.40）（b，c，K，ΓF）也是X.defineΓ的半鞅特征的一个版本*:= {（r，ω）∈~Ohm : dF·（r，ω） dG·（r）}。引理1.41:P（s，x）（Γ）*) = 1个代表所有人（s，x）。证据修正（s，x）。自?P（s，x）（{s}×）Ohm) = 1有必要显示P（s，x）（Γ）*s） =1，带Γ*s={（s，ω）：ω∈ Ohm, dF·（s，ω） dG·（s）}。利用积分的结合性，我们可以除以κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω）在（1.45）中，当它不等于零时。对于每个定义∧i（s，ω）：={t≥ 0：κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω））6=0和s+t∈ [o（Ti，ui），Ti]}。修正（s，x）。然后（1.45）加上F的构造，得到P（s，x）-a.s.的alli∈ NI∧i（s，ω）（t）dFt（s，ω）=Hit（s，ω）dGt（s）（1.46）与一些函数t7→ 击中（s，ω）。加权sumPi-iI∧i（s，ω）≤ 1在Γ（s，ω）的补码上是严格正的。再加上方程式（1.46），这就使得ΓP（s，x）-a.s.在Γ上*sdF·（s，ω） dG·（s）。引理1.41（b，c，K，\'F）加上\'F=~F IΓ*给出了X在每一个P（s，X）下的半鞅特征。d\'F·（r，ω） dG·（r）表示所有（r，ω），我们用t7表示密度→ f（t；r，ω）。定义b=fb，~c=fc和＠Kt（dξ，（r，ω））=Kt（dξ，（r，ω））f（t；r，ω）。（1.47）然后（~b，~c，~K，G）给出与（b，c，K，\'F）相同的特性。G是连续的，因此是命题II。2.9 i）在Jacod和Shiryaev[29]中，在每个测度P（s，X）下，Xτ是准左连续的。因此，我们也可以应用C,inlar等人[28]中的定理6.27，得到存在的1。一种改进的非减量连续加法过程F2。E-可测量函数b和c，其值在V和S（V）3中。

（E，~E）中的正核K（dy；t，x）给出M（V）中的度量，使得（B，C，ν）由bt（r，ω）=Ztb（ΘV（r），Xv）定义-（ω） dFv（r，ω），Ct（r，ω）=Ztc（Θv（r），Xv-（ω） dFv（r，ω），ν（dt，dξ；（r，ω））=K（dξ；Θt（r），Xt-（ω） dFt（r，ω）（1.48）是每个P（s，X）下X的特征的一个版本。如前所述构造F，这样（b，c，K，\'F）也给出了半鞅特征和d\'F·（r，ω） dG·（r）。G是连续且严格递增的。我们定义了一个时间变化ηt（r）=ηt（r，ω）：=inf{v≥ 0:G（v+r）- G（r）≥ t} 。（1.49）有关交换Stieltjes积分规则的讨论，请参见命题0.4.10 Revuz和Yor[42]或Falkner和Teschl[20]。那么对于^Ft（r，ω）=Fηt（r）（r，ω），我们有d^F dt（注意Gηs（r）-G（r）=s）。C,inlar等人[28]中定理3.55的第一部分与命题3一起证明。56应用于^F表明存在一个非负的E-可测函数h，例如Ft（r，ω）=Zth（Θv（r），Xv）-（ω） dGv（r）~P（s，x）-每个（s，x）下的a.s。设置\'b=bh，\'c=ch，\'K=Kh。然后（\'b，\'c，\'K，G）通过（1.48）给出X的特征的厌恶，用（\'b，\'c，\'K，G）代替（b，c，K，F）。我们可以用下面的引理来总结。引理1.42:X，F，{P（s，X）}的特征的一个版本由（\'b，\'c，\'K，G）通过方程（1.48）给出，其中1。G是由Gt（r，ω）给出的加法过程：=G（r+t）-G（r）对于G（0）=0.2的严格递增连续函数G（t）。\'b（t，x）和\'c（t，x）是可测量的函数，其值分别为V和S（V），3。“\'K是一个正核”\'K（dy；t，x）来自（~E，~E），给出M（V）中的度量。为了按照定理1.35的精神展示一个定理，我们使用假设1中的有效基础。为此，我们考虑从不同值开始的X的独立副本。定义o概率空间^Ohm := R≥0×Ohmd+1，o过程X（ω）：=（s），X（ω），X（ωd）），其中ω=（s，ω。

，ωd），o过滤系数^F由^Ft定义：=B（R≥0) × (di=0英尺），适用于s≥ 0和x=（x，…，xd）∈ Ed+1概率测度^P（s，x）：=δs (di=0P（s，xi））。然后每个人≥ 0进程^X，^xd与^Xi（^ω）=X（ωi）是独立的，^P（s，X）（^Xi=Xi）=1表示i=0，d、 每一个组分^xi都有一个从（s，xi）开始的时间不均匀过程。也就是说，每个分量^xi具有引理1.42中描述的半鞅特征（具有相同的G），分别取决于（s，ωI）（Θt（s），Xt）-（ωi））（而不是^ω）对于有效基（x，…，xd），我们可以用基（x）来表示^xit-十、除息的-x） ，即我们定义过程Xit，jby^Xit=Pdj=1Xit，j（xj-x） 考虑矩阵值随机过程ht:=H（^Xt，…，^Xdt）：=1 Xt，1。Xt，d。。。。。。。。。。。。1个Xdt，1个。Xdt，d, （1.50）Yt=inf0≤s≤t|det Hs |。（1.51）设置‘x=（x，…，xd）。我们有以下引理（比较Keller-Ressel和Mayerhofer[34]）。引理1.43：对于每个s>0，存在δ（s）>0，使得^P（s，\'x）（对于所有0，det Ht6=0≤ T≤ δ（s））>0。证据固定s>0，并设置g（t）=^P（s，\'x）（Yt>0）。我们首先证明了g（t）是左连续的。让tk↑ t、 g（0）=1，且g（t）在减小。因此g（tk）收敛。由于cex是随机连续的，并且是马尔可夫的，所以它在概率上也是连续的。然后有一个子序列tkm，比如Ytkm↓ 伊塔。s被支配收敛也为g（tkm）↓ g（t）。因此g（tk）也收敛到g（t），我们得到g（t）是左连续的。由于Ytis a.s.右连续，由支配收敛，这也适用于g（t）。因此g（t）在t中是连续的，我们可以定义δ（s）：=inf{t>0:^P（s，\'x）（Yt>0）=}>0。我们猜想引理1.43的统一版本对于连续的跃迁函数是正确的，即对于每个T>0，存在δ>0，因此对于所有0≤ s≤ T^P（s，\'x）（对于所有0≤ T≤ δ) > 0.

在这种情况下，传递函数的变化是有限的。引理1.44：假设对于每个T>0，存在δ>0，使得对于所有0≤ s≤ T^P（s，\'x）（对于所有0≤ T≤ δ) > 0.然后函数t7→ Φt，t（u）和t7→ hψt，t（u），xi是每v>o（t，u）和x的[v，t]上的有限变化∈ E.证据。修正T>0，u∈ U代表o（T，U）≤ s≤ T，0≤ 我≤ d考虑（F，P（s，\'x））鞅-s、 u，it=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），^Xiti，0≤ T≤ T- s、 通过假设存在δ>0和一个∧（s）集合，其中^P（s，\'\'x）（λ（s））>0，使得Ht在[0，δ]上是不可变换的。设^τ为停止时间，使得Ht在[0，^τ]和^τ上是可逆的≥ Δ在∧（s）上。然后我们有了^P（s，\'x）-a.sln（Φs+t）∧^τ，T（u））ψs+T∧^τ，T（u）。。。ψds+t∧^τ，T（u）=1XT∧^τ,1. . . Xt∧^τ，d。。。。。。。。。。。。1 Xdt∧^τ,1. . . Xdt∧^τ，d-1.自然对数^MT-s、 u，0t∧^τ...自然对数^MT-s、 u，dt∧^τ. （1.52）关于∧（s）和[0，δ∧ （T）- s） ]左侧是确定性的，与半鞅重合。因此Φ和ψ在[s，（s+δ）上的变化是有限的∧[T]。让v>o（T，u）。然后我们可以用开放区间（s，s+δ）覆盖[v，T]∈ [v，T]通过紧凑性，有一个有限的亚表层。因为Φ和ψ在[s，（s+δ）上是有限变化的∧T]，它们在[v，T]上有一定的变化。虽然引理1.44的假设对于一个连续有效的过渡函数来说似乎是合理的，但下面的反例表明，并非所有有效的过渡函数都是如此。例6：构造一个时间非齐次马尔可夫过程，它是P（s，x）－a.s.equal toXs，xt:=I{s<1}（（1- s- t） BxtI{s+t≤ 1} +（Bxt）- Bx1-s） I{s+t>1}）+I{s≥ 1} Bxt，其中Bxt是从x开始的布朗运动。

这是一个带有ψs，t（u）的有效过程=s≤ t<1:u1-t1-ss<1≤ t:01≤ s≤ t:uφs，t（u）=s≤ t<1:u（t- s） （1）- t） s<1≤ t:u（t）- 1)1 ≤ s≤ t:u（t）- s） 在定义1.9的意义上，这个过程不是随机连续的。特别地，对于序列（s，t）n:=（1-n、 1）→ （1，1）随机连续性（s）失败。此外，我们无法在区间[0,1]上找到统一的δ，因为δ（s）来自引理1。43在这种情况下，满足δ（s）≤ 1.- s代表0≤ s≤ 1.我们现在阐述并证明这一节的中心定理。定理1.45：设（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，其传递函数{Ps，t}是连续的有限变分函数。然后存在一个确定性的R≥0值严格递增连续函数G，从R映射b，a，m≥0到V，S（V）和M（V）并映射β：R≥0×E→ V，α：R≥0×E→ S（V）和M:R≥0×E→ M（V），代表dG-a.e.t≥ 0是线性映射1的限制，因此对于所有u∈ U、 Φ和ψ满足广义Riccati积分方程Φs，T（U）=1+ZTsΦT，T（U）F（T，ψT，T（U））dG（T），ψs，T（U）=U+ZTsR（T，ψT，T（U））dG（T），（1.53），其中F（T，U）=hu，a（T）ui+hb（T），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uim（dξ；t），hR（t，u），xi=hu，α（t，x）ui+hβ（t，x），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uiM（dξ；t，x）。（1.54）如果F是扩展概率空间上的右连续强马尔可夫滤波Ohm,~A），然后bt=Ztb（Θv）+β（Θv，Xv-) dG（Θv），Ct=Zta（Θv）+α（Θv，Xv-) dG（Θv），（1.55）ν（dt，dξ）=（m（dξ；Θt）+m（dξ；Θt，Xt）-)) dt是X在每个测度P（s，X）下的半鞅特征的一个版本。这里的Θt（r，ω）=t+r。注：等式（1.53）的读数为φφs，t（u）=ZTsF（t，ψt，t（u））dG（t）。证据如果F不是强马尔可夫滤波，我们考虑第1.3节的正则时空实现，而不是X。

注意，如果（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，它也是一个马尔可夫半鞅，与X生成的较小的过滤有关，然后正则时空实现也是一个马尔可夫半鞅（我们只向过滤中添加空集），具有右连续的强马尔可夫过滤F。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设F是右连续的马尔可夫过滤。修理你∈ 美国和美国≥ 0并考虑引理1.44，^MT证明中引入的（^F，^P（s，\'x））-鞅-s、 u，jt=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），^Xjti，0≤ T≤ T- s、 对于（T，u）=（Ti，ui）和j=0，d我们可以使用引理1.42的特征重复导致（1.45）的步骤。这就给出了{s}×^上的^P（s，x）-a.sOhm （注意^P（s，x）（{s}×^）Ohm) = 1） 同时对于所有j=0。如果Φ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-（ωj）idGt（s）=- κ（ψs+t，Ti（ui）；s+t，Xt-[o（Ti，ui）上的（ωj））dGt（s）- s、 钛- s] ，t在哪里≥ 0，u∈ U、 x∈ E′κ（u；t，x）：=hu，\'b（t，x）i+hu，\'c（t，x）ui+ZVehu，ξi- 1.- 胡，h（ξ）iK（dξ；t，x）。请注意，这适用于马尔可夫过程X的规范时空实现。在（[~o（Ti，ui），Ti]上不同地表述dG·（s）-a.e- s） fΦ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-（ωj）i=-κ（ψs+t，Ti（ui）；s+t，Xt-（ωj））。（1.56）通过引理1.40的证明，我们可以用Tk找到序列（Tk，英国）↓ 英国s+t→ u、 （1.56）适用于所有k≥ N.然后，右侧会聚到-κt（u；s+t，Xt）-（ωj））对于每个j∈ 0, . . . , d、 因此，左侧也会收敛。ByLemma 1.43有δ（s）>0和一组∧（s）与^P（s，\'x）（λ（s））>0，因此方程（1.50）中定义的Htas在∧（s）上对于t是可逆的∈ [0，δ（s）]。因此，极限fΦ（s+t，u）=limk→∞fΦ（s+t，Tk，uk），~fψ（s+t，u）=limk→∞fψ（s+t，Tk，uk）存在。因此，对于dG·（s）-a.e.t，定义了fΦ（t，u）和fψ（t，u）∈ [s，δ（s）]。

由于s是任意的，所以R上存在dG-a.e.的限制≥0和（1.56）产生了~fΦ（s+t，u）+h ~fψ（s+t，u），Xt-（ωj）i=-κ（u；s+t，Xt）-（ωj））（1.57）左手边是Xt中的一个函数-（ωj），因此这也适用于右手侧。通过Levy-Khintchine公式的唯一性（Jacod and Shiryaev[29]中的引理II.2.44），可以得出，\'b（t，x），\'c（t，x），\'K（dξ；t，x）在x dGa中也是有效的。e、 定理中的映射a，b，α，β，m，m是dG-a.e.givenby\'b（t，x）=b（t）+β（t，x）\'c（t，x）=a（t）+α（t，x）\'K（dξ；t，x）=m（dξ；t）+m（dξ；t，x）。这证明了关于半鞅特征的部分。最后我们证明了广义Riccati积分方程。注意，κ（u，t，x）=F（t，u）+hR（t，u），xi。Fix（T，u）和o（T，u）<s≤ T通过考虑鞅^MT-s、 从方程（1.42）出发，再次应用分部积分，得到了具有引理1.42半鞅特征的It^o公式，得到了dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-（ωj）i=-κ（ψs+t，t（u）；s+t，Xt-（ωj））t的dG（s+t）∈ [o（T，u）-s、 T-s] ）和j=0，d、 根据引理1.43，有一个δ（s）>0，并将∧（s）设为^P（s，\'x）（λ（s））>0，使得t在∧（s）上是可逆的∈ [0，δ（s）]。因此，所有0≤ R≤ δ（s）∧（T）-s） 积分的结合性和被积函数在Xt中有效的事实-（ωj）产生dΦ·T（u） 密度为t7的dG（·）→ -Φt，t（u）F（t，ψt，t（u））和dψ·t（u） 密度为t7的dG（·）→ -[s，（s+δ（s））上的R（t，ψt，t（u））∧ [T]。由于SWA是任意的，所以它适用于[v，T]，v>o（T，u），下面是（1.53）中的广义Riccati积分方程。注：半鞅特征仅依赖于（Θ，X），Θ依赖于s，X依赖于ω。对于固定的sP（s，x）（Θ=s）=1表示所有x∈ E.因此（1.55）用s+t代替Θt给出了s固定和每个X的ΘP（s，X）下X的特征版本∈ E

这些特征只取决于Ohm, 所以它们也是X的特征(Ohm, A） 在每个概率测量P（s，x），x∈ E.备注：该定理与Cuchiero和Teichmann[10]中的时间齐次有效过程的结果有关，如下所示。通过使用一个完整的函数类，Cuchiero和Teichmann[10]证明了时间齐次连续有效转移函数的正则实现总是一个半鞅，人们总是可以选择G（s）=s。从那里可以直接使用上述证明。第一部分表明，不同的半鞅特征只依赖于Xs-你是一个女人。第二部分给出了函数F和R，在这种情况下，函数F和R也不依赖于时间，因此我们得到了G（s）=s的广义Riccati积分方程。在这种情况下，被积函数是连续的，因此我们得到了可微性，从而得到了正则性。下面的例子表明，在时间不均匀的情况下，局部特征是不均匀的，尽管X中的函数相对于时间参数可能非常不规则。这同样适用于方程（1.54）中的函数F和R。例7：考虑[0,1]上的Smith-Volterra-Cantor集（或fat-Cantor集），该集由A表示。该集按如下迭代生成。在第一步中，区间（，）从[0,1]中删除。迭代步骤从每个剩余间隔中移除一个中心开放子间隔，其长度为该间隔长度的四分之一（另见DiMartino和Urbina[13]中的第2.1节，其中称为SVC（4）集）。Smith-Volterra-Cantor集具有Lebesgue测度。我们使用确定性函数f（t）=RtIA（v）dv定义一个如例1所示的有效过程。这给出了一个ψs，t（u）=u和φs，t（u）=uZtsIA（v）dv=uλ（a）的连续过程∩ [s，t]），其中λ表示勒贝格测度。

根据勒贝格微分定理，φ几乎在任何地方都可以用导数IA（t）微分。可微分半鞅特征（B，C，ν）由Bt（s，ω）=RtIA（s+v）dv，C=0，ν=0给出。函数IA（t）对于移除区间的所有左边界点没有左手限制，对于移除区间的所有右边界点没有右手限制。要看到这一点，请考虑左边界点（右边界点的情况类似地如下）t（例如，t=）。然后每 > 0设置一个∩ [t]- , t） 和AC∩ [t]- , t） 采取积极措施。因此，我们总能找到时间序列sn↑ t和sn↑ t，其中IA（sn）=0，IA（~sn）=1。定理1.45表明，尽管Φ和ψ的左导数可能不存在于任何地方（即它们不是正则的），但我们可以认为Φ和ψ的导数存在于dG和dG-a.e。。特别是，如果G可以选择为G（s）=s，那么这就对应于几乎无处不在的实际导数。这激发了以下定义。定义1.46：连续有效转换函数Ps，如果函数s 7，则称为绝对连续有效→ Φs，T（u）和s7→ ψs，T（u）对于每个o（T，u）<v在[v，T]上是绝对连续的≤ T推论1.47：假设定理1.45的假设成立。在这种情况下（（Θ，X），~F，{P（s，X）}）是一个It^o过程（见C,inlar等人[28]），当且仅当a,nettransition函数是绝对连续的。证据如果（Θ，X）是一个It^o过程，我们从一开始就知道我们可以找到由（b，c，K，ds）生成的X的半鞅特征。然后，推导过程已经过去了。另一方面，如果函数Φ和ψ是绝对连续的，很容易看出我们可以用ds作为引理1.42证明的候选者。注意，Θt（s）=Θ（s）+t和（BΘ，0，0）与BΘt=RTD是Θ的不同特征。