在物理模型下，债券市场的不完全性

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英文标题：
《Incompleteness of the bond market with L\\\'evy noise under the physical
  measure》
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作者：
Micha{\\l} Barski
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The problem of completeness of the forward rate based bond market model driven by a L\\\'evy process under the physical measure is examined. The incompleteness of market in the case when the L\\\'evy measure has a density function is shown. The required elements of the theory of stochastic integration over the compensated jump measure under a martingale measure is presented and the corresponding integral representation of local martingales is proven.
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中文摘要：
本文研究了在物理测度下，由列维过程驱动的基于远期利率的债券市场模型的完备性问题。当列维测度具有密度函数时，市场的不完全性被显示出来。给出了鞅测度下补偿跳测度上随机积分理论的必要元素，并证明了相应的局部鞅的积分表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Incompleteness_of_the_bond_market_with_Lévy_noise_under_the_physical_measure.pdf (255.78 KB)

2022-5-9 16:09:55 上传

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关键词：债券市场 物理模型 完全性 Mathematical Differential

莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰米查尔华沙卡迪纳·L·斯特凡·Wyszy’nski大学。Barski@math.uni-莱比锡。deNovember 5，2018Abstracts研究了在物理度量下由L’evy过程驱动的基于远期利率的债券市场模型的完备性问题。给出了当L’evy测度具有密度函数时市场的不完全性。给出了鞅测度下补偿跳测度上随机积分理论的必要元素，并证明了相应的局部鞅的积分重表示。关键词：债券市场，完备性，局部鞅的表示，物理测度下的模型。AMS科目分类：91B28、91B70。1简介到期日为T的债券≥ 0是一份财务合同，在T日支付给其所有者1。键的价格P（t，t），t∈ [0，T]是一个满足P（T，T）=1和族P（·T）的随机过程；T∈ [0，T*] 形成一个有固定时间范围的债券市场*< +∞. 构建债券市场模型的一种可能方法是基于随机场f（t，t）；t、 t∈ [0，T*]称为前进率。然后通过指数公式P（t，t）=e确定价格-RTtf（t，u）du，t∈ [0，T]，T∈ [0，T*]. （1.1）模型中的随机行为是由定义在概率空间上的L’evy过程强迫的(Ohm, F、 P）过滤（Ft），t∈ [0，T*]. 无论如何∈ [0，T*] 远期利率过程f（·，T）由形式df（T，T）=α（T，T）dt+σ（T，T）dZ（T，T）的动力学定义∈ [0，T]。（1.2）构建模型所依据的度量P将被称为物理度量。

如果Z是一个维纳过程，那么（1.1）-（1.2）提供了Heath、J arrow和Morton在[6]中介绍的模型的最早形式，该模型后来在文献中得到了广泛研究。涉及列维过程的修正更好地反映了债券价格的真实行为，例如，它们的重尾分布。另一方面，它也带来了与债券投资组合的定义、期权定价和期权定价有关的新问题，而这些问题在无跳跃环境中是不存在的。设X为FT*-可测量的随机变量，代表时间T的支付*一份财务合同。如果相应的财富过程X k满足，则精确定义的bon d投资组合а会复制X*= 十、 P- a、 s。。（1.3）如果每个有界支付都可以复制，那么市场被称为完全市场，反之则称为不完全市场。对问题（1.3）的分析，即存在的问题，需要对所谓的鞅测度族所控制的风险中性设置进行分析。回想一下，如果Q等于P，那么Q是一个鞅测度，并且贴现债券价格是Q局部鞅。应用Girsanov定理See[9]得到了Q下的正向速率的动力学，即isdf（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dZ（t），t，t∈ [0，T*], （1.4）式中，α（·，·）是一个修正的漂移，Z代表Z在Q下的变换。如果Z=Wis是P下的维纳过程，那么在Q下是Z=W，鞅表示理论提供了积分分解mt=M+ZtφM（s）d~W（s），t∈ [0，T*],马丁·盖尔的Mt=EQ[X | Ft]，t∈ [0，T*]. 在φMis以上是一个特定的过程，它可以确定φ的哪个解（1.3）。如果Z是一个一般的L’evy过程，那么上面的论证失败有两个原因。第一个是L’evy过程在测度变化下不稳定，也就是说，Z不再是Q下的L’evy过程。

它的增量可能不是固定的，也不是独立的。因此，远期利率动态（1.4）具有非L’evy结构。第二个原因，实际上源于第一个原因，是我们需要Q下的鞅表示定理的相关版本。文献中常用的一个模型框架，允许克服这两个困难，就是假设P同时是一个鞅测度。然后，Z=~Z和任何局部m artin gale可以用形式mt=m+Ztφm（s）dW（s）+ZtZRψm（s，y）~π（ds，dy），t来表示∈ [0，T*]. （1.5）对于一些φM，ψM，参见[9]。上面的∧π代表P下Z的补偿跳跃测量。如[2]所示，φM，ψMfor Mt:=E[X | Ft]的存在并不意味着存在φ解（1.3），即存在一个不可复制的财务契约X。问题（1.3），在物理测度P不是鞅测度的情况下，文献中没有研究h。本文在不假设P是鞅测度的情况下研究了问题（1.3）。我们系统地讨论了鞅1 Q的物理测度的通过问题，并证明了鞅表示定理的一个必要版本，它允许将任意Q-局部鞅M写成mt=M+ZtφM（s）dW（s）+ZtZRψM（s，y）~πQ（ds，dy），t形式∈ [0，T*], （1.6）式中∧πQ是Q下Z的补偿跳跃测度。特别是，我们在（1.6）中精确地给出了第二个积分的构造。我们的主要结果是第4节中的定理4.4。3表明存在一个有界随机变量X，其（1.3）没有解，前提是Z的L’evy测度具有密度函数。这意味着债券市场模型是不完整的，无论鞅测度是否唯一。

结果表明，在债券市场中，鞅测度的唯一性和完备性之间的经典关系已经停止。本文由三部分组成。在第二节中，我们讨论了L′evy过程的性质，它需要建立鞅分解公式（1.5）并进一步描述等价测度。第3节介绍了在等价测度下补偿测度上随机积分的构造，以及相关的鞅表示公式（1.6）。第4节讨论了债券市场的不完全性，我们精确地介绍了债券市场模型、债券投资组合的概念，并最终证明了定理4.4.2 L’evy过程和相关的鞅表示。我们从总结本文所需的L’evy过程的性质开始。例如，可以在[1]中找到它们的proof。设Z是概率空间上的实值L′evy过程(Ohm, F、 P）过滤（Ft），t∈[0，T*] 以至于英国《金融时报》*= F.众所周知，Z有一个带有c`adl`ag轨迹的修改，在续集中只考虑该修改。对于任何ε>0的情况，[0，T]上的跳跃次数*] 这样|△Zs |：：=|Zs- Zs-|> ε几乎肯定是有限的。因此，对于任何 R与零分开，也就是0/∈其中A代表A的闭包，随机变量π（t，A）：={s∈ [0，t]：△Zs∈ A} ，t∈ [0，T*],它计算了setA中间隔[0，t]上Z的跳跃次数。函数π（·，·）可以被视为[0，T]上的σ-有限测度*] x R.它被称为Z的一个ump度量。

从Z的增量的独立性和平稳性出发，我们得到了跳跃测度的两个重要性质，即对于与零保持π（t，A），t分离的任何A，B∈ [0，T*] 是强度为λa:=E[π（1，a）]，（2.1）的泊松过程∈ [0，T*] r.v.π（t，A），π（t，B）是独立的，如果A∩B=. （2.2）由ν（A）定义的R上的σ-有限测度ν：=E[π（1，A）]，0/∈\'A，（2.3）被称为强度测度或Z的L\'evy测度。它满足可积性条件Zr（|y）|∧ 1） ν（dy）<+∞. （2.4）由于（2.1）-（2.2）和（2.3），度量π被称为具有强度度量ν的泊松随机度量。另一方面，任何满足（2.4）的测度都是某种泊松随机测度的强度测度。此外，对于从零开始分离的集合a，过程∧π（t，a）：=π（t，a）-tν（A），t∈ [0，T*],是一个鞅，这意味着dtν（dy）是π（dt，dy）的一个补偿度量。测量∧π（dt，dy）被称为Z的补偿跳跃测量-→ R、 从零到任意t的集合a∈ [0，T*] 随机变量ztzaf（y）π（ds，dy）=Xs∈[0，t]f(△Zs）1A(△Zs），可与expectationE积分ZtZAf（y）π（ds，dy）= tZAf（y）ν（dy）。此外，过程rRaf（y）~π（ds，dy）是平方可积鞅andEZtZAf（y）π（ds，dy）= tZAf（y）ν（dy），t∈ [0，T*]. （2.5）对于f（y）=y和集合序列An:={n<|y|≤ 1} 我们可以用（2.5）和（2.4）证明序列ztzanyπ（ds，dy），t∈ [0，T*], n=1，2。。。，几乎肯定一致收敛于[0，T]*]. 极限用ztz{| y表示|≤1} yπ（ds，dy）：=limn→+∞ZtZAnyπ（ds，dy），t∈ [0，T*].现在，我们已经准备好用L’evy It^o分解公式。它告诉我们，任何L’evy进程都会使用以下表示形式zt=at+W（t）+ZtZ{y|≤1} yπ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], （2.6）如果∈ R、 W是方差q>0的维纳过程，即V ar（Wt）=qt。

此外，（2.6）中的所有成分都是独立的。L’evy It^o分解是分析L’evy过程的重要工具。其结果之一是，它可以定义stocastic积分ztf（s）dZ（s），t∈ [0，T*], （2.7）对于被积函数f∈ Φ，其中Φ是一系列可预测的平方可积过程，即zt*| f（s）|ds<+∞.如果Z是维纳过程，则Φ类的定义是众所周知的。通到一般情况的基础是，（2.6）右边的第一个积分是平方可积鞅。在Z是鞅的情况下，也就是当nz{y |>1}|y |ν（dy）<+∞, a=-Z{| y |>1}yν（dy），Z isZt=W（t）+ZtZRyπ（ds，dy），t的形式∈ [0，T*],然后积分（2.7）是局部鞅。结果表明，Φ类是将任何局部鞅表示为带有f的随机积分（2.7）∈ Φ. 然而，局部鞅的整体表示在积分类zttf（s）dW（s），ZtZRg（s，y）~π（ds，dy）中是可能的。在下一节中，我们将介绍上面第二个积分的构造。然后，在第2.2节中，我们给出了局部鞅的表示定理f。2.1补偿跳变测量上的积分在这里我们给出了积分ztzug（s，y）~π（ds，dy），t的构造∈ [0，T*],其中g:[0，T*] ×R→ R和π代表L’evy过程z的补偿跳跃度量。我们从简单被积函数积分的直观定义开始，进一步扩展到满足某些可积条件的被积函数。p过程提供了一类积分，允许获得第2.2节讨论的任何局部鞅的积分表示。[9]中概述了以下结构。

我们的演示包含更多细节，因为它将作为第3.1节中在同等措施下扩展集成概念的参考点。如果过程g=g（t，y）的形式为g（s，y）=g（0，y）1{s=0}+n，则过程g=g（t，y）是简单的-1Xi=0miXj=1gij（ti，ti+1）（s）1Aij, s∈ [0，T*], Y∈ R、 （2.8）式中0=t<t<tn=T*是[0，T]的一个分区*] Aijis是一系列从零开始分离的R集，即0/∈“哎呀。对于给定的子区间（ti，ti+1），过程g是术语gij（ti，ti+1]（s）1Aij的线性组合，其中gijare有界Fti-可测随机变量和Aij，j=1，2。。。，它们是不相交的。注意，我们并没有假设I6=k的集合Aijand-Aklare不相交。用S表示g的所有简单过程的类∈ 随机积分I（g）定义为I（g）t=ZtZUg（S，y）~π（ds，dy）：=nXi=0miXj=1gij~π（（ti∧ t、 ti+1∧ t] ×Aij），t∈ [0，T*].我们将证明I（g）是一个平方可积鞅，并找到它的二阶矩。从（2.1）-（2.2）可以看出，过程∧π（t，Aij）=π（t，Aij）- tν（Aij），t∈ [0，T*],是增量相依的平方可积鞅，如果是相依增量，~π（t，Aij），~π（t，Akl）是独立的∩ Akl=. 因此，我们得到以下结果。命题2.1关于集合A、B 与零和s<t，s，t分离∈ [0，T*] holdE[)π（（s，t]×A）|Fs]=（t）-s） 如果A∩B=,对于t，E[!π（（s，t]×A）·!π（（u，v]×B）| Fu]=0≤ u<v≤ T*.命题2.1是证明以下等距公式的关键。g的命题2.2∈ 积分I（g）是一个squ可积鞅和| I（g）t|= EZtZR | g（s，y）| dsν（dy））, T∈ [0，T*]. （2.9）证明：很明显，I（g）是马丁·盖尔。为了简单起见，我们证明（2.9）为t=t*只有

从积分followsEh | I（g）T的定义*|] = EhnXi=0miXj=1nXk=0mlXl=1gijgkl·π（（ti，ti+1]×Aij）·π（（tk，tk+1]×Akl）i.使用命题2.1，让我们计算上述总和中出现的术语的期望值。我们需要考虑以下三种情况：a）如果i=k和j=l，则ne[gijgij·!π（（ti，ti+1]×Aij）]=Eh | gij | E[|π（（ti，ti+1]×Aij）|Fti]i=E| gij |（ti+1）- ti）ν（Aij）,b） 如果i=k和j 6=j 6=i=k和j 6=j，如果i=k和j 6=k和j 6=j，如果i[ti，TiTi+1+1）和j 6=6=j（如果i=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j（ti，ti，ti+1+1）以及j）和j（如果i，ti，ti，ti+1+1+1+1[[[[[ti+1]和1]和1]和1]×尾[[[[[1]尾]尾]）和（AI[[[[[[[[[1]和（ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti+1]1]和1]和1]和1[1]和1]和1[1]和[1[1]和1]tk+1]×Akl）| Ftk∨ti]i=0。从以上几点来看ZT*ZRg（s，y）~π（ds，dy）i=nXi=0miXj=1E[|gij |（ti+1- ti）ν（Aij）]=EhZT*ZR | g（s，y）| dsν（dy）i，即（2.9）。积分的定义可以推广到满足Ehzt的所有可预测过程*ZR|g（s，y）|dsν（dy）i<+∞.如果是这种情况，则存在序列gn∈ S、 n=1，2。。。就这样*ZR | g（s，y）-gn（s，y）|dsν（dy）i-→ 0，这意味着e[|I（gn）T*- I（gm）T*|] -→n、 m0。上述条件表明{I（gn）}是平方可积鞅空间中的完全Cauchy序列。因此存在一个极限I（g），它定义了积分因子g的积分f，即ztg（s，y）~π（ds，dy）=I（g）t:=limn→+∞I（gn）t，等轴测公式（2.9）仍然成立。让我们介绍一类所有可预测过程的ψ，满足ψ：ZT*ZR|g（s，y）|dsν（dy）<+∞, P- a、 s。。通过使用局部化参数，我们可以证明对于g∈ ψ积分ztzrg（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个定义良好的局部平方可积鞅。第二类过程是π-可积的，它由所有可预测的过程组成，例如e“ZT”*ZR|g（s，y）|dsν（dy）#+∞.

（2.10）然后根据补偿测量的定义得出ZtZRg（s，y）~π（ds，dy）：=ZtZRg（s，y）π（dy，ds）-ZtZRg（s，y）dsν（dy），t∈ [0，T*], （2.11）是一个鞅。在满足ψ：ZT的可预测过程的ψ类中*ZR|g（s，y）|dsν（dy）<+∞, P- a、 条件（2.10）局部成立，thusZtZRg（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个局部鞅。在表示局部鞅中起关键作用的过程类是ψ1,2，定义如下∈ Ψ1,2<==> g1{|g|≤1}∈ ψ和g1{| g |>1}∈ Ψ.每克∈ ψ1,2积分由分解ztzrg（s，y）~π（ds，dy）：=ZtZRg1{g|≤1} π（ds，dy）+ZtZRg1{g |>1}π（ds，dy），是局部鞅。ψ1,2类可以用条件ψ1,2:ZT来描述*ZR（|g（s，y）|∧ | g（s，y）|）dsν（dy）<+∞, P- a、 s..2.2等价测度的鞅表示和特征设Φ代表关于维纳过程可积的过程类，即φ∈ Φ如果φ可预测且满足*| φ（s）|ds<+∞, P- a、 s。。对任何人来说∈ Φ积分ztφ（s）dW（s），t∈ [0，T*],是一个局部平方可积鞅。第3.1节引入的被积函数Φ和ψ1,2类足够大，可以将局部鞅表示为随机积分。以下结果已在[9]中得到证实。定理2.3设M是[0，T]上的R值P-局部鞅*]. 然后存在stφM∈ Φ和ψM∈ ψ1,2satisfyingMt=M+ZtφM（s）dW（s）+ZtZUψM（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*]. （2.12）此外，对（φM，ψM）是唯一的，即如果（φ′M，ψ′M）满足（2.12），那么φM=φ′M，dP×dt- a、 和ψM=ψ′M，dP×dt×dν- a、 s。。让我们来考虑一项措施(Ohm, F） 这相当于P。等价性意味着正密度过程的存在，其形式为ρt:=dQdPFt=eYt，t∈ [0，T*], （2.13）对于Y，ρ是P下的鞅。