连续时间条件风险值的最优控制

有关此主题的更多信息，请参见[32,61]。证据1.由于HJB（3.6）（例如[24]）的一致抛物线性，这种最优控制的存在遵循标准参数。条件风险值的最优控制132。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设m=1，并抑制w的上标，因为PDE系统（3.8）是解耦的。我们的目标是证明（3.7）中定义的函数是（3.8）的不连续粘度解。w的关键特性如（3.9）所示。为了方便起见，我们引入了符号（La？φ）（t，x）：=φt（t，x）+tr（σ（x，a？（t，x））σ（x，a？（t，x））>Dxφ（t，x））+u（x，a？（t，x））·Dxφ（t，x），其中φ是任意光滑函数。作为提醒，我们将局部有界函数ψ的上下半连续包络定义为ψ*（x） ：=lim infy→xψ（y）和ψ*（x） ：=林苏比→分别为xψ（y）。固定（\'t，\'x）∈ [0，T）×R并设φ：[0，T）×R→ R是满足0=（w）的光滑函数*- φ） （\'t，\'x）=min[0，t）×Rn（w）*- φ).也就是说，φ从下方（\'t，\'x）接触w的下半连续包络线。我们的目标是证明这一点洛杉矶？φ*（\'t，\'x）≤ 0.为此，让{（tk，xk）}∞k=0是这样一个序列：→ ∞,（tk，xk）→ （\'t，\'x）和w（tk，xk）→ W*（\'t，\'x）。因为φ是光滑的，δk:=w（tk，xk）- φ（\'t，\'x）→ 我们还定义了：=pδk{δk6=0}+k-1{δk=0}取足够大的k，使hk∈ （0，T- tk）。那么，我们有（tk，xk）=Etkhw（tk+hk，XA？tk+hk）|XA？tk=xki≥ Etkhφ（tk+hk，XA？tk+hk）| XA？tk=xki=φ（tk，xk）+EtkZtk+hktk洛杉矶？φ（s，XA？s）ds | XA？tk=xk.重新安排这一点，我们得出结论≥ EtkhkZtk+hktk洛杉矶？φ（s，XA？s）ds | XA？tk=xk.发送k→ ∞, 左手边收敛到零，而右手边控制着La的下半连续包络？几乎可以肯定。因此，我们通过优势收敛定理得出结论：洛杉矶？φ*（\'t，\'x）≤ 0.相反的不平等的结果完全相同。

我们还注意到，w在点方向上满足（3.8）的边界条件。因此，w是线性偏微分方程（3.8）的粘度解。风险条件值的最优控制14最后，我们将其与定理3结合起来得出结论（0，x）=EhDyf（g（XA？T），y）i=DV（y）。我们注意到，当认为PDEin（3.8）的粘度溶液是唯一的时，必须小心。众所周知，如果扩散系数不是连续的（参见[58,37,42]），则非发散形式的线性偏微分方程在大于2维的情况下可能没有唯一的粘度解。然而，随后的工作是在系数上寻找结构条件，以保证在更高维度上的弱唯一性。对于完全非线性椭圆方程，[33]提供了关于非线性的假设，不包括连续系数，这保证了定理4意义上的唯一上半连续粘性解。最近的结果集中在系数平均振荡的界限[38,34,19]，以及小的不连续集[60,35]。我们强调，在许多实际问题中，线性抛物方程（3.8）有唯一的粘性解。在下一个命题中，我们提供了两个易于检查的条件。提议4。定义F:Rn×Rn×Sn→ R asF（x，p，R）：=infa∈A.tr（σ（x，a）σ（x，a）>R）+u（x，a）·p.如果（i）n≤ 2或（ii）DpF和DRF均存在且连续，则存在（3.8）的唯一粘度溶液。证据如果n≤ 2，那么这来自于[37]的定理2.17。

如果DpF和DRF存在并且是连续的，那么我们注意到梯度PDE（3.8）可以用形式W（k）t+tr（DRF（x，Dxu，Dxu）>Dxw（k））+DpF（x，Dxu，Dxu）·Dxw（k）=0重新写入。回想一下，u在空间中有连续的二阶导数，所以系数都是连续函数。然后，粘性解的唯一性照常成立。利用命题3和定理4，我们可以计算每个y的V（y）和DV（y）∈ Rmby（数值）求解偏微分方程（3.6）和（3.8）。因此，由于V的凸性，我们可以使用梯度下降型算法解决外部优化问题，并找到全局最优解。我们将不讨论数值优化算法，因为它们不是本文的重点（例如，我们参考[43]了解详细的算法）。关于梯度计算的一个自然问题是，是否有可能利用其他数值方法，最明显的是蒙特卡罗方法。定理3当然可以直接用于此。从业者将获得（3.6）的数值解，然后通过蒙特卡罗模拟生成最佳轨迹，并通过对应于（3.5）的样本期望值估计DV（y）。然而，这在梯度计算中引入了额外的数值（采样）误差，这通常是不稳定的来源。此外，与提升状态空间（x，y）上的动态规划方法相反，这种梯度下降方法获得了m的降维，即y的维数。

即使当m=1时，这种增益也是相当可观的，因为动态编程的计算复杂性随着状态空间的维数呈指数增长。通过采用先进的数值方法，例如稀疏风险条件值的最优控制154放松假设，可以进一步减轻计算负担。本节的目标是明确放松假设1和2，并在较小程度上放松假设3。在假设1和2的情况下，我们提供了包含次优界的收敛近似方案。4.1一致半腔近似在本节中，我们考虑f不满足微腔假设（假设1）的情况下的近似方案。其思想是通过inf卷积来修改f，从而得到函数f对于一些小的 > 我们证明了这个新函数f满足假设1。然后证明所得到的扰动值函数收敛于未扰动问题，如下所示： → 0.对于CVA对象的问题，放松这种假设尤其重要。首先，我们回顾了inf卷积的定义以及由此产生的函数的关键属性。命题5（近似）。还记得f:R×Rm吗→ R是凸的。对于 > 0，定义inf卷积fasf（x，y）：=infz∈Rmf（x，z）+ky- zk2. （4.1）那么，f: R×Rm→ R具有以下特性：1。F是凸的，2。y 7→ F（x，y）是-为所有x∈ Rn，和3。F→ f一致为 → 0.关于命题5的证明，参见[32,52]。特别是，这意味着f满足假设1。我们还表明，inf卷积逼近不会破坏假设3所要求的凸性。提议6。如果f满足假设3，那么f也满足假设3每人 > 0.证明。

见附录C。我们现在定义-扰动外目标函数（y） ：=infA∈AEF（g（XAT），y）.无论如何 > 0，扰动函数f满足假设1。然后，我们可以应用第3节的结果来最小化V. 本小节的目的是将趋同显示为 → 0.首先，我们记录一个涉及inf卷积的估计。提议7。假设y 7→ f（x，y）对所有x是一致Lipschitz连续的∈ R.修复 > 0和（x，y）∈ R×Rm。那么，我们有了（x，y）≤ f（x，y）≤ F（x，y）+C对于只依赖于f的常数C。网格和多重网格技术（例如[28,10]）。在不讨论某些实现选择的情况下，很难精确地描述整个算法的复杂性。然而，它本质上是基于梯度的约束凹极小化算法，其中每一步都需要求解（n+1）维HJM线性偏微分方程（n+1）。条件风险值的最优控制。在inf卷积算子（4.1）中取z=y，我们立即得到了f（x，y）≤ f（x，y）。下一步，让z？∈ Rmbe是f中的最小值. 利用这一点和f的一致Lipschitz连续性，wehavef（x，y）=f（x，z？）+基尼- Zk2≥ f（x，y）- Lky- Zk+ky- Zk2对于一些L>0的人来说。另一方面，通过柯西-施瓦兹不等式，我们得到了- zk≤L+ky- zk2.把这些不等式放在一起，我们得到（x，y）≥ f（x，y）-L.接下来，我们证明了扰动和未扰动外目标函数的一个界。提议8。假设y 7→ f（x，y）对所有x是一致Lipschitz连续的∈ R.修复 > 0和y∈ Rm。那么，我们有（y）≤ V（y）≤ 五、（y） +C对于只依赖于f的常数C。证据根据命题7，存在一个常数C，即F（g（XAT），y）≤ f（g（XAT），y）≤ F（g（XAT），y）+C 几乎可以肯定，尽管如此∈ A.

接受期望并利用∈ A是任意的，我们有（y）≤ V（y）≤ 五、（y） +C.注意V（y）=V（y），结果如下。最后，我们用这个结果证明了使用这个近似时的次优界。定理5（收敛性和次优界I）。假设y 7→ f（x，y）对所有x都是一致的∈ R.修复 > 0然后让y？∈ V的最小值Rmbe. 让我来？∈ Rmbe是未扰动值函数V的极小值。那么，我们有| V（y？）- 五、（y？)| ≤ C对于只依赖于f的常数C。证据假设那不是真的吗- 五、（y？) > C.再加上y？的最小值？，我们有（y？) + C < V（y？）≤ V（y）？),这与8号提案相矛盾。一个类似的论点使用y的最小值？与v的可能性相矛盾（y？) - V（y？）>C.然后，结果成立。条件风险值的最优控制17注意常数C等于toL。因此，一旦我们得到近似值y？, 我们可以显式地计算一个界，C, 近似最优目标值V之间的差距（y？) 最佳值V（y？）。这个界限有助于确定适当的分辨率 半洞穴近似法。此外，该界是线性的 因此，次优间隙收敛为零，如下所示： → 0（数值实验结果参见第5.3节中的图1）。4.2一致抛物线近似放松一致抛物线假设（假设2）在0时尤为重要∈ A.为了放松假设2，我们考虑了Xdo动力学不满足该假设的情况下的近似方案。关键的想法是用额外的风险（或不确定性）源来扰动X的动力学，从而保持一致的抛物线性。

然后，我们证明得到的扰动值函数收敛到未扰动问题的η→ 0.设^W为独立的n维布朗运动，设^F为联合过程（W，^W）产生的过滤。让^A代表所有^F适应过程的集合。对于每个控件∈^A和η∈ R、 定义^XA，η为扰动的^XA的唯一强解，ηt=u（^XA，ηt，At）dt+σ（^XA，ηt，At）dWt+ηd^Wt。我们定义以下η-扰动值函数：Vη（y）：=infA∈^AEhf（g（^XA，ηT），y）i.对于任何η>0，扰动过程的动力学^XA，η满足假设2。然后，我们可以应用第3节的结果来最小化Vη。本小节的目的是将收敛性表示为η→ 首先，我们有下面的估计，涉及扰动动力学下的值函数。提案9。假设f是Lipschitz连续的。修好∈ Rm。那么，对于任何η，η≥ 0，我们有估计值| Vη（y）- Vη（y）|≤ C |η- η|对于某些常数C，它只依赖于μ、σ、A、f和g。修好∈ Rmandη，η≥ 0.对于任何δ>0，让A∈^A是δ-次优控制，使得vη（y）+δ≥ Ehf（g（^XA，ηT），y）i.（4.2）通过使用扰动动力学的Lipschitz常数的标准参数，我们得到了ehk^XA，ηT-^XA，ηTki≤ C（η）- η） 对于某些常数C，它只取决于u和σ的Lipschitz常数和集合A（例如，参见[61]）。因为f和g是Lipschitz连续的，所以我们有eh | f（g（^XA，ηT），y）- f（g（^XA，ηT），y）|i≤ CEhk^XA，ηT-^XA，ηTki≤ CEhk^XA，ηT-^XA，ηTki1/2≤ C |η- η|（4.3）条件风险值的最优控制18对于一个新常数C，结合（4.2）和（4.3），我们得出η（y）+δ≥ Ehf（g（^XA，ηT），y）i- C |η- η| ≥ Vη（y）- C |η- η|.因为δ是任意的，并且η和η之间是对称的，所以期望的结果如下。备注3。在这个证明中，我们关键地假设f是Lipschitz连续的。

因此，如果我们要将这种近似方案应用于均值-方差优化，我们需要尝试改进证明。接下来，我们证明了一个直观的说法，即当η=0时，将过滤F扩大到^F不会影响值函数。提议10。对任何人来说∈ 我们有V（y）=V（y）。证据修好∈ Rmand考虑以下两个函数：u（t，x）：=infA∈AEtf（g（XAT），y）|XAT=x^u（t，x）：=infA∈^AEthf（g（^XAT），y）| XAT=xi。根据命题3，u和^u都是同一HJB方程的粘性解。此外，V（y）=u（0，x）和V（y）=^u（0，x）。然后，结果是（3.6）的粘性解的唯一性。最后，结合这两个结果，我们展示了在使用这种统一抛物线近似时的次优界。定理6（收敛性和次优界II）。假设f是Lipschitz连续的。修正η>0，然后让y？η∈ Rmbe是Vη的极小值。让我来？∈ Rmbe是未扰动值函数V的极小值。那么，我们有| V（y？）- Vη（y？η）|≤ 对于某些常数C，Cη仅取决于μ、σ、A、f和g。假设v（y？）- Vη（y？η）>C.注意到了吗？是一个极小值，我们有Vη（y？η）+Cη<V（y？=V（y？）≤ V（y？η），这与命题9相矛盾。一个类似的论点使用y的最小值？η与vη（y？η）的可能性相矛盾- V（y？）>Cη。然后，结果如下。注意，我们可以通过选择η>0 su fficientlysmall（取决于常数C）并应用梯度下降算法来最小化eVη，从而获得原始问题的解决方案。在实践中，通过遵循上述证明中的步骤，可以根据μ、σ、f和g上的A和lipschitz常数的大小显式计算常数C。因此，利用定理6，我们可以显式地计算得到的解和全局极小值y？之间的次优间隙的界？。

Asη→ 0，次优差距趋于零。条件风险值的最优控制194.3非凸情形在前两小节中，当一致半腔或一致抛物线假设不成立时，我们给出了收敛的近似方案。在凸性假设（假设3）的情况下，我们不提供直接近似方案，但请注意与第3节中的结果类似，这导致了近超梯度下降算法。特别地，我们证明了在没有假设3的情况下，第3节中的所有结果都支持V是半凹而不是凸的警告。推论1。假设，对于任何固定的y∈ 嗯，有一个∈ 这样的v（y）=Ef（g（XAT），y）.如果我们用V（y）V在y的近端超梯度的集合，我们有Dyf（g（XAT），y）∈ V（y）。这直接来自命题2中证明的不等式。此外，由于第3.4节的偏微分方程结果，我们知道在每个y存在一个最优控制∈ Rm。我们得出以下结论：推论2。函数V是半函数。每一天∈ 我们可以分别通过解偏微分方程（3.6）和（3.8）来计算V（y）和y上的近似超梯度。因此，可以将全局收敛的梯度下降算法替换为收敛到局部最小值的近端超梯度下降算法。有关非光滑分析和半导体腔工具的更多信息，请参见[13,32]。4.4定理1的证明此时，定理1的证明只是将前两部分的各种结果拼凑在一起的问题。我们提供了一个简短的大纲，每一步是在以下使用：定理1的证明。回想一下，这个定理的陈述分为三部分。我们在这个证明中遵循这种分离。1.定理的第一部分是命题1.2。

应用第4.1-4.3节的结果，可以得出近似问题满足假设1和假设2。假设1来自命题5，而假设2则直接来自近似问题的动力学。然后，定理第二节的结果来自第4.3.3节的讨论。最后，我们考虑了收敛结果。通过结合定理5和定理6，Weimmedite得出结论| V（y？）- 五、,η（y？,η)| ≤ C( + η） 对于某些C>0，这仅取决于f、g、u和σ的Lipschitz常数。同样，应用命题8-10，我们得出结论：,η（y？,η) ≤ 五、,η（y？+C( + η） 对于某些（可能不同）C>0，这也仅取决于上面的Lipschitz常数。最后，结合这两个不等式，我们得出了所述的收敛结果。条件风险价值的最优控制205示例：平均CVaR投资组合优化在本节中，我们将说明我们的主要结果和近似方法在平均CVaR目标下的投资组合优化中的实际应用。我们的目标是最终使用这种方法来计算代表最大预期原木收益和最小化损失CVaR之间权衡的有效边界。我们强调，与最优静态投资策略相比，动态优化可以显著降低CVaR，同时保持相同的预期回报。5.1问题公式考虑到一个由n个风险资产组成的市场，这些资产通过SDEdS（i）tS（i）t=uidt+∑1/2i，jdW（j）t演变为每个i∈ {1，…，n}和j∈ {1，…，d}。这里∈ Rn是漂移向量，∑是收益的协方差矩阵。