离散时间多因素Vasi{c}ek的一致性重新校准

对于成熟时间τ, τ > 0，我们得到P:E[Dt，τY Dt，τY | Ft-1] =ττB（t，t+τ）>EhDtX（DtX）>英尺-1iB（t，t+τ）。通过方程式（20）计算小网格尺寸, 我们通过：E[Dt，τY Dt，τY | Ft来估计最后一个表达式-1] ≈ττ>(1 - βτ) (1 - β)-1Σ1.- β>-1.1.-β>τ1.（21）公式（21）之所以有趣，是因为以下原因：o它不依赖于不可观测的因子X。o它允许对β和∑进行直接截面估计。也就是说，β和∑可以直接从市场观察中估计，而不需要知道风险的市场价格确定将模型与市场收益率曲线拟合所需的因素数量很有帮助。这可以通过主成分分析进行分析它也可以解释为（18）型噪声测量系统的小噪声近似值。设by（k）和by（k）为到期时间τ的市场观察值 和τ 有时k∈ {t-K+1，t} ，第5.2节也有详细说明。然后，可以通过已实现的协变量来估计（21）左侧的期望值：\\RCov（t，τ，τ）=KtXk=t-K+1作者（k）- by（k）- 1)作者（k）- by（k）- 1). （22）该估计器的质量取决于两个关键假设。首先，（20）中的高阶项与∑相比是不可忽略的。其次，（18）中的噪声项Sη导致了可以忽略不计的失真，即观测BY是基础Vasiˇcek收益率曲线的可靠指标。5.3.3. β和∑的横截面估计。已实现的协变量估计器（22）可与渐近关系（21）结合使用，以估计时间t处的参数β和∑ 以下面的方式。

对于给定的对称权重wij=wji≥ 0，我们解决了最小二乘问题：bβRCov，b∑RCov= arg minβ，∑（MXi，j=1wij\\RCov（t，τi，τj）-τiτj>（1）- βτi）（1- β)-1Σ1.- β>-1.我-β>τj),（23）当我们优化β和∑满足假设1.5.4对风险市场价格的推断时，我们的目标是确定第4节中规定的度量变化参数λ和∧。为此，我们将MLE估计（第5.2节）与收益率的已实现协变量估计（第5.3节）相结合。首先，我们在第5.3节中估计β和∑bβrcova和b∑rcova。其次，我们通过最大化对数似然来估计a、b和α：对数Lt（b，β，∑，a，α）=tXk=t-K+1日志（数据段F（K））-tXk=t-K+1ζ（K）>F（K）-1ζ（k）+常数，对于固定β和∑b∈ Rn，a∈ Rnandα∈ Rn×nW，光谱在(-1，1）n，即。，bbMLE，baMLE，bαMLE= arg maxb，a，αlog Ltb、 bβRCov，b∑RCov，a，α. （24）对矩阵α的约束确保因子过程在现实世界的测量下是平稳的。根据等式（15），我们得到λ=∑-（b）- a） 和∧=∑-(β - α). 这激发了λ的推论：bλ=b∑RCov-bbMLE-巴梅尔, （25）以及∧的推论：b∧（k）=b∑RCov-bβRCov- bα极大似然估计. （26）我们强调在使用最大似然估计之前，从收益率的已实现协变量中估计尽可能多的参数的重要性。第5.2节的MLE程序计算量大，通常无法很好地估计波动性参数。6瑞士利率的数字示例6。1我们选择的数据的描述和选择 = 1/252，对应于每日时间网格（假设一个财政年度有252个工作日）。对于瑞士货币（CHF），我们将瑞士平均利率（SAR）、伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）和瑞士联邦债券（SWCNB）视为收益率观测值。参见图1和图2短时间的成熟。

SAR是威斯康辛州国家银行（SNB）根据金融机构之间的回购交易计算的持续交易量加权平均利率。它的使用期限很短，最长可达三个月。对于SAR，我们有一个过夜的沙龙，它对应于 （一个工作日）和下一个SAR（SARTN）到期时间2 （两个工作日）。后者并不完全正确，因为Saroni是一种夜间抵押利率，而明天的next是一种明天收款的催缴利率，必须在下一个工作日偿还。此外，我们的SAR到期时间为一周（SAR1W）、两周（SAR2W）、一个月（SAR1M）和三个月（SAR3M）；另见[10]。o短期至中期至成熟期。伦敦银行同业拆借利率反映了到期时间，对应于伦敦银行间市场的一个月（100万伦敦银行同业拆借利率）、三个月（300万伦敦银行同业拆借利率）、六个月（600万伦敦银行同业拆借利率）和12个月（1200万伦敦银行同业拆借利率）中长期至成熟期。SWCNB以瑞士ZF债券为基础，用于到期时间，相当于两年（SWCNB2Y）、三年（SWCNB3Y）、四年（SWCNB4Y）、五年（SWCNB5Y）、七年（SWCNB7Y）、十年（SWCNB10Y）、二十年（SWCNB20Y）和三十年（SWCNB30Y）。这些数据可从1999年12月8日获得，我们将2014年9月15日定为最后观测日期。当然，SAR、LIBOR和SWCNB并不是无风险零息票债券的精确模型，这些不同类别的工具也不是完全一致的，因为每个类别的价格决定略有不同。这在2008-2009年的金融危机中尤其明显。

然而，在许多情况下，这些数据都是目前可用的瑞士法郎无风险零息票收益率的最佳近似值。在SWCNB到期时间最长的情况下，人们也可能会提出有关这些工具流动性的问题，因为保险公司通常会对长期债券采取买入并持有的策略。在图3-6中，我们计算收益率曲线的已实现波动率（通过τ（k））k=t-K+1，。。。，t从不同时间到成熟τ 窗长K；见等式（22）。在图2和图6中，我们观察到2008年金融危机后，特别行政区的SWCNB优于伦敦银行同业拆借利率。因此，我们决定降低伦敦银行同业拆借利率，并仅从SAR和SWCNB建立每日收益率曲线。IBOR、SAR和SWCNB之间的不匹配可归因于基础工具的流动性和信用风险的差异。6.2模型选择在这个数值例子中，我们将自己局限于多因素Vasiˇcek模型，其中β和α为对角形式：β=对角（β，…，βnn），α=对角（α，…，αnn），其中-1 < β, . . . , βnn，α，αnn<1。在下文中，我们将准确地解释如何使用第5.6.2.1节所述的程序，在多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）中执行参数估计的删除任务。识别假设的讨论。我们选择短期到期（SAR）来估计参数b、β、∑、a和α。这是合理的，因为这些参数描述了因子过程的动态，从而描述了即期汇率。当我们在一个小的（每日）时间网格上工作时，渐近公式（20）和（21）预计会给出很好的近似值。此外，与（21）相比，可以合理地假设数据生成模型（18）中的噪声协方差矩阵S可以忽略不计。因此，我们可以通过观测产量的已实现协变量来估计（21）的左侧；参见估计器（22）。

然后，我们确定船体-白色延伸θ，以匹配从SAR和SWCNB插值的主要屈服曲线。SAR（%）时间（t）利率00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 13 140 1 2 3 4 5 Saronsar1 WSAR2 WSAR1 MSAR3利率（%）时间（t）利率00 01 02 03 04 05 06 08 09 10 11 12 140 1 2 3 4 LIBOR 3 LIBOR 6利率图1：1999年12月8日至2014年9月15日期间的收益率（lhs）：瑞士平均利率（SAR）和（rhs）伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）。SWCNB（%）时间（t）比率00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140 1 2 3 4 5SWCNB2YSWCNB3YSWCNB4YSWCNB5YSWCNB7YSWCNB10YSWCNB20YSWCNB30YSAR，LIBOR和SWCNB（%）时间（t）比率00 01 02 03 04 05 07 08 09 10 11 13 140 1 2 4 Saronsar3Mlibor12SWCNB2YSWCNB5YSWCNB5YSWCNB10Yfigure 2：收益率：（lhs）瑞士联邦债券（SWCNB）和（rhs）SAR的选择，1999年12月8日至2014年9月15日期间的利比亚和瑞士联邦债券（SWCNB）。

请注意，在2008年金融危机后，伦敦银行同业拆借利率与香港特别行政区和瑞典中央银行的情况截然不同。实际波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.100 0.200 0.300 0.400Saronsar1WSAR2WSAR1Mar3实际波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.100 0.200 0.300 0.400Saronsar1WSAR1Mar3图3：τ=1,2,5,10,21,63，窗口长度K=21（lhs）和K=126（rhs）的SAR实际波动率。已实现的波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.050 0.100 0.150Liobor1 Liobor3 Liobor6 Liobor12已实现的波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 08 09 10 11 13 140.050 0.100 0.150Liobor1 Liobor3 Liobor6 Liobor12图4：对于τ=21、63、126、252、窗口长度K=21（lhs）和K=126（rhs），LIBOR已实现的波动率。已实现的波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.050 0.100 0.150SWCNB2YSWCNB3YSWCNB4YSWCNB5YSWCNB7YSWCNB10YSWCNB20YSWCNB30Y已实现的波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 08 09 10 11 13 140.050.100 0.150SWCNB2YSWCNB3YSWCNB4YSWCNB5YSWCNB5YSWCNB7YSWCNB10YSWCNB10YSWCNB20YSWCNB30Yfigure 5:SWCNB已实现的波动率\\t，τ，τ，τ，τ，τ，τ，10，窗户长度为21（左侧）和K=126（右侧）。已实现波动率（%）时间（t）00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.100 0.200 0.300 0.400Saronsar3Mlibor12MSWCNb2已实现波动率（%）时间（t）00 01 02 03 05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.100 0.200 0.300 0.400SARONSAR3MLIBOR12MSWCNB2YFigure 6：选择SAR、LIBOR和SWCNB已实现波动率\\RCov（t，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ，τ。请注意，在2008年金融危机之后，伦敦银行同业拆借利率与新加坡特别行政区和瑞典中央银行的情况截然不同。6.2.2。确定因素的数量。我们需要确定适当数量的因子n。

我们使用的因素越多，模型与数据的匹配就越好。然而，估计问题的维数在因子的数量上呈二次增长，模型可能会变得过于参数化。因此，我们希望在模型的准确性和使用的参数数量之间进行权衡。在图7中，我们确定β，βnnand∑通过数值求解三个观测日期的优化（23），n=2,3。三因素模型能够准确地捕捉对成熟时间τ的依赖性。在图8中，我们比较了（23）数值解的实际波动率与所有观察日期的市场实际波动率。我们观察到，在几个时期内，双因素模型无法准确地拟合从到期到到期的所有时期的SAR实现波动率。三因素模型对大多数观测日期都有精确的拟合。该模型在2001年、2008-2009年和2011-2012年表现出轻微的不匹配。这些时期的特点是为了应对金融危机而大幅降低利率。2011年9月，瑞士法郎兑欧元大幅升值后，瑞士央行承诺不再容忍欧元兑法郎汇率低于1.20的最低汇率，有效地强制执行了三年多的货币汇率。

由于欧洲主权债务危机和2011年开始的SNB干预，我们有很长一段时间的极低（甚至是负）利率。SAR实现波动率（%）到期时间（τ）1D 1W 2W 1M 3M0。025 0.050 0.075 0.100SAR 2003-04-2009年12月30日-04-2012年12月30日-04-302-因子模型2-因子模型2-因子模型SAR实现的波动率（%）到期时间（τ）1D 1W 2W 1M 3M0。025 0.050 0.075 0.100SAR 2003-04-2009年12月30日-04-2012年12月30日-04-303-因子模型3-因子模型3-因子模型图7:K=126、τ=1、2、5、10、21、63和三个观测日期的SAR实现波动率\\RCov（t、τ、τ）与优化（23）得到的M=6、τ=1、τ=2、τ=5、τ=10、τ=21、τ=63和wij=1{i=j}的两（lhs）和三因子（rhs）Vasiˇcek模型的实现波动率进行比较。三因素模型实现了精确的fit.6.2.3。Vasiˇcek参数的测定。考虑到图8的结果，我们从现在开始将自己限制在参数为a、b的三因素Vasiˇcek模型上∈ Rand:β=diag（β，β，β），α=diag（α，α，α），∑=Σ0 0ΣΣΣΣΣ,哪里-1.≤ β, β, β, α, α, α≤ 1、∑、∑、∑>0和∑、∑、∑∈ R.在图9中，我们绘制了所有观测日期优化（23）和（24）的数值解。对于大多数观测日期，这些参数都是合理的。我们观察到，所有观测日期的β估计值都接近1。我们的均值回归速度值在日常网格上是合理的。注意，β在d-天时间网格中按β进行缩放；见第5.3节。