多货币信用违约掉期对货币效应和外汇贬值的影响

关于违约强度平方根过程的使用，已经产生了大量文献，主要是因为它们在获得债券、CDS和CDS期权的封闭形式解决方案方面的可操作性，参见Brigo and El Bachir[2010]和Brigo and Alfonsi[2005]，其中还讨论了CDS曲线的精确和封闭形式校准。相反，对于汇率动态而言，没有选择的自由，因为无套利条件给出了漂移，引入局部或随机波动性可能会打破汇率与其倒数之间的对称关系。2.4.1. ^Q度量中的风险率动力学我们假设风险率过程动力学在Q中已知。知道度量Q和度量^Q之间的拉东-尼科德姆导数将允许我们将风险率的动力学写在^Q中。这可以通过使用Girsanov定理获得，根据该定理，d^W（1）t=dW（1）t-d hW（1），ZitZt=dW（1）t- ρσZdt（28）使dyt=a（b- Yt）dt- σYρσZdt+σYd^W（1）t.（29）2.4.2。定价方程在这一节中，我们推导出一个定价方程来计算U的价值。我们遵循Bielecki等人[2005]中使用的方法。考虑到迄今为止定义的所有过程的强马尔可夫性，Ut（T）可以表示为T、Zt、yt和Dt的函数。让我们用f（t，z，y，d）表示Zt=z，Yt=y和Dt=d在t处的值。f是一个依赖于连续过程和跳跃过程的函数，其Ito差异可以写为（例如，见Jeanblanc等人[2009]）dft=rf dt+tf dt+采埃孚uZz dt+σZz dW（2）t+ yfa（b）- Yt）dt+σYdW（1）t+σZzzzf dt+σYyyf dt+ρσZσYzzyf dt+f dDt，（30），其中，由于一些符号的滥用，我们将跳转至默认术语定义为f:=f（t，Zt）-+ Zt，Yt，Dt-+ Dt）- f（t，Zt）-, Yt，Dt-).

（31）用于（Dt，t）的补偿器≥ 0）在测量中，Q被定义为过程（At，t≥ 0）如此-Atis a Q–关于（Ft，t）的鞅≥ 0). （Dt，t）的补偿器≥ 0）由（见Jeanblanc等人[2009]中的引理7.4.1.3）dAt=τ>tλtdt给出。（32）我们将由此产生的鞅定义为（Mt，t）≥ 0). 它由mt=Dt给出- 在（33）因此，等式（30）中最后一项的补偿器可以写成τ>teYtf、 （34）以Ft为条件，Dt=d，Zt=z，Yt=y等于（1- d） 嗯f（t，z（1+γz），y，1）- f（t，z，y，0）dt。（35）可以编写Feynman–Kac型PDE来计算Ut（T）的值。的确（Ut，t）≥ 0）是一个Q-价格，因此，它必须以r的速率局部增长。因此，它的漂移必须满足以下等式tf+uZzzf+a（b）- Yt）yf+σZzzzf+σYyyf+ρσZσYzzyf+ey（1）- d）f=0，其中，为便于阅读，省略了f对状态变量（x，y，t，d）的显式依赖关系。如果不是上一个术语，这将是无违约支付的典型PDE。顺便说一句，这个跳转到违约术语也是方程中f（t，z，y，0）和f（t，z，y，1）同时出现的唯一术语。事实上，通过调节Firston d=1，然后在d=0时，我们可以解耦两个函数su（t，z，y）：=f（t，（1+γz）z，y，1），（36）v（t，z，y）：=f（t，z，y）（37），并通过迭代求解两个独立的PDE问题来计算它们。我们首先求解u，对于d=1，最后一项不会出现在方程中，一旦计算出u，我们就用它来求解v。两个函数的最终条件分别由v（T，z，y）=f（T，z，y，0）=z；（38）u（T，z，y）=f（T，z，y，1）=0。（39）为了获得u，必须解决的偏微分方程问题如下所示：屠=-uZz祖- a（b）- y）于-σZxzzu-σYyyu- ρσZσYzzyu（40）u（T，z，y）=0。

（41）这个问题的解决办法是≡ 因此，在这种情况下，我们可以直接求解v的微分方程，然后由电视=-uZzzv- a（b）- y）伊夫-σZxzzv-σYyyv- ρσZσYzzyv+eyv（42a）v（T，z，y）=z.（42b）备注5（u和v的解释）。函数u和v表示带payoffφ（x，y，d）的衍生工具的违约前和违约后价值。该衍生产品的价格可以写成vt=τ>t-Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d, （43）其中，由于过程（Xt，t）的强马尔可夫性≥ 0），（Yt，t≥ 0）和（Dt，t≥ 0），右侧的预期值可以写成asf（t，x，y，d）=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d. （44）这可以分解为f（t，x，y，d）=d=1u（t，x，y）+d=0v（t，x，y），其中v（t，x，y）：=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=0, （45）u（t，x，y）：=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=1, （46）事实上f（t，x，y，d）=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d=τ>tEtφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=0+τ ≤春节φ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=1=τ>tv（t，x，y）+τ≤tu（t，x，y）（47）作为τ>和τ≤皮重可在Ft过滤中测量。衍生产品的价格可以写成vt=τ>tv（t，Xt，Yt）+Dtu（t，Xt，Yt），（48）我们定义的Dt:=τ>t-τ>t-. (49)2.5. 跳转到默认框架第2.4节中描述的基于指数OU的模型可以通过在汇率动态中加入贬值机制来扩展。通过将贬值与违约事件联系起来，有可能在（λt，t）之间引入另一种依赖来源≥ 0）和（Xt，t）≥ 0).

第3节将表明，这将被证明是一种更适合模拟quanto–CDS基差的机制。本节组织如下：在第一小节中，从第2.5.1节到第2节。5.4，我们将总体讨论风险因素的动态如何受到外汇组成部分的跳转违约效应的影响。鉴于Radon–Nikodym导数取决于外汇汇率，预计这一变化将对所有风险因素产生影响，这些风险因素的动态必须以不同于最初校准它们的方式记录，并可能在外汇对称性上进行讨论，见备注2。在这个新的、更一般的框架中，这一点也被证明是正确的（见命题2）。在第2.5.5节中，我们将第一小节的一般结果应用于quanto CD的定价。2.5.1. 风险因素动态让我们考虑外汇汇率的跳跃-扩散过程，而不是（26），同时我们将对风险率λt=eYt:dYt=a（b）保持相同的模型选择- Yt）dt+σYdW（1）t，Y=Y，（50）dZt=\'uZtdt+σZZtdW（2）t+γZZt-dDt，Z=Z，（51）d hW（1），W（2）it=ρdt（52），其中，与之前一样，参数（a，b，σY，Y）∈ R+×R+×R+×R+×R+，（σZ，Z）∈ R×R+，ρ∈ [-1,1]，其中γZ∈ [-1.∞) 是外汇流程的贬值/重估率。使用该贬值系数的典型情况是，参考实体的违约可能会对其本国货币的价值产生负面影响。例如，如果意大利违约，我们预计以美元表示的欧元价值会下降。我们没有具体说明（Zt，t）的漂移项≥ 0）我们只是使用¨u来区分它和uZ。第2.5.4节将显示，如果我们希望等式（18）中定义的过程仍然是鞅，引入跳跃项将导致不同于等式（19）的结果。备注6（跳跃）。

SDE中关于跳跃扩散过程的跳跃项可以用（Dt，t）等价描述≥ 0）或补偿过程（Mt，t≥ 0），使用一项或另一项的影响只是漂移项的变化。我们更喜欢在引入外汇流程时使用非补偿项，以突出跳跃结构，从而增加外汇和信贷成分之间的依赖性。另一方面，利用补偿鞅（Mt，t≥ 每次使用资产定价的基本定理来推导无套利漂移条件时，都会自然而然地产生0），例如，当使用等式（14）来推导下面的等式（61），如第2.5.5节所示，来推导主要的定价方程。2.5.2. 考虑到（Ll）的依赖性，风险率和汇率在^q中的动态→ct，t≥ 0）on（Dt，t）≥ 0）通过（Zt，t）≥ 0），在这种情况下，测量值的变化不仅改变了（Wt，t）的预期值≥ 0），以及（Mt，t）的预期值≥ 0）最初由dMt=滴滴涕给出- (1 - 然而，Girsanov定理提供了获得新测度中鞅所需的每个过程的调整。d^Wt=dWt-d hW，ZitZt=dWt- σZdt，（53a）d^Mt=dMt- (1 - Dt）γZλtdt。（53b）^Q中的维纳过程分解由第2.4节中使用的相同公式给出，而我们推导了（Dt，t）的鞅分解≥ 0）由于以下提议1。让（Mt，t）≥ 0）是与默认过程（Dt，t）相关联的鞅≥0）以本国货币计量Mt=滴滴涕- (1 - Dt）λtdt，然后应用Girsanov定理，可以在外测度（^Mt，t）中写出相应的鞅≥ 0）asd^Mt=dMt-迪恩→城市→ct=dMt- d hD，γZDit=dMt- (1 - Dt）γZλtdt（54）=dDt- (1 - Dt）（1+γZ）λtdt（55），其中（Ll）的动力学→ct，t≥ 0）由公式（18）和公式（51）定义。

等式（55）表明，推动外币违约事件的泊松过程的强度由^λt:=（1+γZ）λt（56）证明给出。按零件进行集成d（^MtLl→ct=Ll→ctd^Mt+^MtdLl→ct+d[^M，Ll→c] t=Ll→ctd^Mt+^MtdLl→ct+γZLl→ctdDt=Ll→ct（dMt）- (1 - Dt）γZλtdt）+^Mtd^Lt+γZLl→ctdDt=Ll→ctdMt+^MtdLl→ct+γZLl→ctdMtso程序（（Ll→c^M）t，t≥ 0）在国内测度中是鞅，因为它可以写成局部鞅上的随机积分之和。因此，该过程（^Mt，t≥ 0）是外来测度中的局部鞅。备注7（CDS par–价差近似值）。在所有已知的情况下≈S1- R（57）在风险率、CDS par–利差S和恢复率R之间，可以用CDS par–利差而不是风险率来表示inEq（56）的关系，例如，当风险率在时间上是恒定的，且premiumleg的现金流可通过连续复合付款流近似计算时（见Brigo and Mercurio[2006]）。2.5.3。如命题1所示，在这两种度量中，风险率的大小取决于我们是用^Q还是Q来定价未定权益。如果我们仍然考虑风险率演化的指数OU模型，则命题1中得到的关系，^λt=（1+γZ）λtca可以用提取过程（Yt，t）来转换≥ 0）和（^Yt，t≥ 0）asYt=loge^Yt1+γZ从中我们可以看出。（59）在编写定价PDE时，该结果可能很有用，因为价格可以在国内度量中作为预期进行计算，而在国外度量中可以定义随机过程集。2.5.4. 这两个指标中的汇率动态和对称性该模型中的汇率是一个跳跃-扩散过程，其跳跃由（见等式（51））给出Zt=γZZt-Dt。

（60）请注意，外汇汇率的这种规定也受到套利约束，例如等式（18）定义的Radon Nikodym导数是鞅。在方程式（51）给出FX动态的情况下，方程式（19）的等效条件由¨u=uZ提供- λtγZτ>t=r- ^r- λtγZτ>t.（61）尽管在汇率动态中引入了跳跃，注释2中强调了（Xt，t）之间的一致性≥ 0）和（Zt，t≥ 0）进行维护。从实践的角度来看，这意味着我们不需要担心使用哪种汇率，可以将其作为第一种汇率的转换，并保证满足相关Radon–Nikodym衍生品的无套利关系。这一点在下一个建议2中得到了证明（贬值下的外汇汇率对称性跳变为违约）。让我们考虑一个外汇汇率过程，其国内测度Q的动态由公式（51）规定，其漂移由公式（61）给出。然后是过程的动力学（Xt，t≥ 0）其中，在foregin度量^Q中，xt=/zt由dxt=（^r）给出- r） Xtdt- σZXtd^W（2）t+Xt-γXd^Mt，X=z，（62），其中（Xt，t）的贬值率≥ 0）由γX=-γZ1+γZ.（63）尤其是（62）使得等式（11）定义的Radon–Nikodym导数是^Q-鞅。证据另见附录a，突出显示跳跃的表示可用于（Xt，t）的^Q动力学≥ 0）dXt=^r- R- (1 - Dt）γXλtXtdt- σZXtdW（2）t+Xt-γXdDt，X=z.（64）2.5.5。定价等式在本节中，我们考虑流动货币和定价货币重合且不同于合同货币的情况。如第1.3节所述，这是以美元计价的典型设置——欧洲货币联盟国家的市场衡量CDS，因为这些国家的标准货币是美元。

如果想要在美元计量中为此类参考实体的欧元计价合同定价，必须首先将风险率校准为美元计价合同，然后使用本节推导的方程式进行定价。这也是产生下文第3.5节所示结果的程序。在不丧失一般性的情况下，我们将研究与国内度量Q.dYt=a（b）相关的流动货币和定价货币的情况- Yt）dt+σYdW（1）t，（65）dZt=？uZZtdt+σZZtdW（2）t+γZZtdDt（66）d hW（1），W（2）it=ρdt（67），其中dmt=dDt- (1 - Dt）λtdt（68），因此无套利漂移由（见等式（61））μZ=r给出- ^r- γZ（1）- Dt）λt.（69）广义伊藤公式的应用（例如，见Jeanblanc等人[2009]）允许我们写出（Ut，t）的Q–动力学≥ 0). 使用Ut=f（t，Zt，Yt，Dt）：df=rf-Dt+tf dt+采埃孚\'-uZz-dt+σZz-dW（2）t+γZz-dDt+yfa（b）- Yt）dt+σYdW（1）t+σZzzzf dt+σYyyf dt+ρσZσYzzyf dt+滴滴涕- 采埃孚Zt。f dynamics可以用第2.4.2节讨论的相同方式推导定价方程：电视=-（r）- ^r）zzv- a（b）- y）伊夫-σZzzzv-σYyyv- ρσZσYzzyv+ey（v）- γZzzv）（70a）v（T，z，y）=z.（70b）2.5.6。从汇率贬值因子推断违约概率贬值因子可以将（51）中引入的汇率贬值因子与概率调整因子联系起来。这是在下面的命题3（违约概率贬值）中完成的。在小男高音的假设下：→ 0，（71）ii）驱动外汇和风险率过程的布朗运动之间的独立性：ρ=0，（72）可通过1来近似计算修正后的定量违约概率和单一货币违约概率的比率- ^p（T）1- p（T）≈ 1+γZ.（73）证明。见附录B.3。结果3。1.

数值方法为了产生本节中给出的结果，对PDE–系统（70）进行了数值解算，既用于量子调整生存概率的直接计算，也用于第3.5.1节中稍后描述的校准问题。zuσZa b yσYT0。8 0.0 0.1 0.0001-210.0-4.089 0.2 5.0表2：图3中用于产生par-价差影响的参数为此，我们采用了一种属于交替方向隐式（ADI）方案家族的有限差分方法。已使用的方案描述见During等人[2013]。必须注意的是，PDE系统（70）由定价PDE和终端条件组成。为了将所选方案应用于此类PDE系统，我们还必须指定边界条件。为此，我们既不使用Neumann条件，也不使用Dirichlet条件，而是在边界上将解的二阶导数设为零。3.2. Quanto CDS Par–利差参数依赖性在本节中，我们展示了通过更改某些参数的值如何影响Quanto校正的CDS Par–利差。具体而言，我们在图3中显示了CDS par的依赖性-扩散对ρ和γZ值的依赖性。我们在图4中显示了CDS par的依赖性-扩散对σZ值的依赖性或σY的不同值。对于所选的值范围，σYthan对σF X的依赖性更强我们在图5中显示了CDS par–利差对ρ值的依赖性，σY的不同值。特别是，我们显示了相关性的影响如何随着σY的增加而增加。正如人们所预期的那样，在本分析中，对利差值影响最大的参数是贬值率γZ（见图3）。

对于所选的参数值，瞬时相关性相对于其极值的变化，-1和1通常可以使票面价差小于10个基点，同时将贬值率移动到其极值1，可以使票面价差水平为零。图4显示，在选定的参数值范围内，par-价差对汇率波动过程的敏感性略弱于对对数风险率波动的敏感性。在我们的示例中，5年期的面值息差可以变化约10个基点，σZ从1%变化到20%，而σy从20%变化到70%，σZ固定在20%时，面值息差可以变化到30个基点。在图5中，我们显示了par-价差对差异相关性ρ值的敏感性。σYin值在20%范围内时，par价差对相关性的依赖性非常弱。在这个对数风险率波动水平附近，最大-1-0.5 0.0 0.5 1.0-6.-4.-20246S（bps）γ=0-1-0.5 0.0 0.5 1.0-62-61.5-61-60.5-60-59.5-59-58.5-58-57.5γ=0.6-1-0.5 0.0 0.5 1.0ρ-81-80.5-80-79.5-79-78.5S（bps）γ=0.8-1-0.5 0.0 0.5 1.0ρ-106-104-102-100-98-96-94γ=1图3:5Y CDS par–扩散冲击vsρ和γ。使用表2.0.00 0.05 0.10 0.15 0.20012345678中的参数值计算par-排列的参考值S（bps）σY=0.20.00 0.05 0.10 0.15 0.201214161820222426σY=0.40.00 0.05 0.10 0.15 0.20σZ20222426283032S（bps）σY=0.50.00 0.05 0.10 0.15 0.20σz22242680323436σY=0.6图4：5Y CDS par–扩散影响与σZandσY。