小效用和大效用下的风险规避

如图6所示。图6：小风险该图绘制了三种风险决策模型的小二元对称风险：EU、DT和RDU。1/2- ε11/2+ε1（a.）EUε2-1/2ε2+1/2（b.）DTε2- ε1ε2+ε1（c.）R将小风险添加到由三种状态组成的初始状态中：财富水平x的中间状态，总发生概率质量等于2ε，以及两种状态，一种处于低财富水平，另一种处于高财富水平（只要它们与x的距离至少为ε，就可以不确定），将剩余的概率质量细分为p-ε和1-P-ε(0 < ε≤ {p，1- p} 分别<1）。小的二元对称风险附加到初始情况的中间状态，并产生x±ε（ε>0）的收益，每个收益都具有概率ε，其他所有收益都相等。参见图7。图7：RDU下的事前和事后情况。该图描绘了初始情况和RDU下附加小风险后的情况。p0- ε2low2ε2x01- p0- ε2事前高风险+小风险=p0- ε2lowε2x0- ε1ε2x0+ε11- p0- ε2高（b.）事后RDU风险溢价σ然后实现事后情况（增加小风险）与初始情况中间状态下财富减少（等于RDU风险溢价）之间的差异，发生概率等于2ε。RDU probabilitypremiumu通过将概率质量从不利的支付转移到有利的支付，恢复了与事前情况的等价性。

请参见图8中的插图。图8：RDU下的风险和概率溢价图显示了RDU下风险和概率溢价的构造。p0- ε2low2ε2x0- σ ~ 邮递员1- p0- ε2高风险溢价0- ε2低ε2- ux0- ε1ε2+ux0+ε1~ 事前的- p0- ε2高（b.）概率通常，在RDU下，我们将风险溢价σ定义为（h（p+ε）的解- h（p- ε） ）U（x- σ） =（h（p）- h（p- ε） ）U（x- ε） +（h（p+ε）- h（p））U（x+ε）。（5.1）我们把解近似为（5.1）。首先，调用U（x）的一阶泰勒级数展开式- σ） 在x附近，以及U（x±ε）在x附近的二阶泰勒级数展开，我们得到σ=ε（h（p）- h（p- ε)) - （h（p+ε）- h（p））h（p+ε）- h（p- ε)-εU（x）U（x），省略o（σ）和o（ε）阶项。接下来，回顾（3.2）（并有效地利用h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开）我们得到σ=-εh（p）h（p）-εU（x）U（x），（5.2）省略o（ε）阶项。因此，我们发现（泰勒级数近似）theRDU风险溢价σ可以简单地作为原始风险溢价π和双重风险溢价ρ的适当比例之和得到：σ=π+2ερ。（5.3）也从（5.2）局部指数之间的相互作用中观察-和-UUin直接计入RDU风险溢价。最后，我们考虑RDU下的概率溢价，用u表示，并定义为RDU下的概率溢价，这是一种n状态风险，收益为0≤ 十、≤ · · · ≤ 根据tonXi=1hiXj=1pj评估X和相关概率p，···，Pn！- 你好-1Xj=1pj！！U（xi）；参见脚注5。（h（p+ε）的解- h（p- ε） U（x）=（h（p- u) - h（p- ε） ）U（x- ε） +（h（p+ε）- h（p- u）U（x+ε）。（5.4）我们首先调用U（x±ε）在xto附近的二阶泰勒级数展开式，将解近似为（5.4）（p- u）=h（p- ε） +h（p+ε）+（h（p+ε）- h（p- ε） εU（x）U（x），省略o（ε）阶项。

接下来是h（p）的一阶泰勒级数展开式- μ）和h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开，得到μ=-εh（p）h（p）-εU（x）U（x），（5.5）省略了o（u）和o（ε）阶项。因此，我们发现（泰勒级数近似）RDU概率溢价u通过u=2εγ+λ与（泰勒级数近似）EU和DT概率溢价γ和λ相连。（5.6）也可以从（5.2）和（5.5）中观察到，RDU风险和概率溢价通过σ=εu联系在一起。（5.7）6 RDU下的比较风险规避与EU和DT下一样，不仅上一节中的局部属性在RDU下有效，而且相应的全局属性也是正确的。然而，由于效用函数和概率加权函数的同时参与，RDU下全局性质的证明比EU和DT下类似性质的证明更复杂。我们的证据基于RDU评估的总体差异，以及风险和概率溢价对结果和概率变化的敏感性。定理6.1假设Ui，hi，σi（x，p，ε，ε）和ui（x，p，ε，ε）是效用函数，概率加权函数，风险溢价解（5.1）和概率溢价解（5.4），对于RDU DM i=1，2。

那么下列条件是等价的：（i）-U（x）U（x）≥ -U（x）U（x）和-h（p）h（p）≥ -h（p）h（p）对于所有x和所有p∈ (0, 1).（ii）σ（x，p，ε，ε）≥ σ（x，p，ε，ε），对于所有x，所有ε>0，以及所有0<ε≤ {p，1-p} <1。（iii）u（x，p，ε，ε）≥ u（x，p，ε，ε），对于所有x，所有ε>0，以及所有0<ε≤ {p，1-p} <1。（iv）U（U）-1（t）和h（h-1（u））是t和u对所有t和所有u的凹函数∈ (0, 1).（v） U（y）-U（x）U（w）-U（v）≤U（y）-U（x）U（w）-U（v）和H（s）-h（r）h（q）-h（p）≤h（s）-h（r）h（q）-所有v<w的h（p）≤ x<y和all0<p<q≤ r<s<1.7结论我们将著名的Arrow-Pratt分析的风险和概率溢价低于预期效用（EU）扩展到双重理论（DT）和秩相关效用（RDU）模型，用于风险决策。通过采用“小”二元对称风险的适当概念，即在EU下收益小，但在DT下概率小，在bothunder RDU下概率小，我们开发了DT和RDU风险和概率溢价的泰勒级数近似。我们的分析表明，双重概率（风险）溢价的发展与原始风险（概率）溢价的发展完全相似。此外，对于小风险，RDU风险和概率溢价似乎只是在适当的比例下，将各自的EU和DT溢价相加。我们的分析还说明了概率加权函数凹度指数的中心作用-HH及其与众所周知的效用函数凹度指数的相互作用-UUin在本地指定DT和RDU风险和概率溢价。最后，我们还得到了在dt和RDU下相应的全局性质。在欧盟模型中，绝对风险厌恶的局部指数对于分析个人或群体做出的风险选择非常有用。

由于类似的方法似乎也适用于风险下选择的替代模型，本文应该为它们在许多应用中的使用开辟道路，例如投资组合组合、保险范围或自我保护活动。定理4.1的证明。调用二元对称风险的适当概念，在DT下，每个风险的发生概率为ε（0<ε≤ {p，1- p} <1），这不一定很小，在用DT概率溢价（3.4）替换EU风险溢价（2.1）的等式，以及用DT风险溢价（3.2）的表达式替换EU概率溢价（2.3）的等式后，证明基本上遵循普拉特[10]中定理1的证明。为了节省空间，我们省略了细节。2定理6.1的证明。（i）、（iv）和（v）的等价性与普拉特[10]定理1中（a）、（d）和（e）的等价性以及上述定理4.1中（i）、（iv）和（v）的等价性非常相似。我们将首先证明（等价物）（i）、（iv）和（v）意味着（ii）和（iii）。重新考虑（5.1）。固定（可行的）ε>0（满足0<ε≤ {p，1- p} <1）。注意，如果我们让ε→ 0英寸（5.1），则σi→ 0.定义（σi，ε）=（hi（p+ε）- 你好（p- ε） ）用户界面（x- σi）- （（你好（p）- 你好（p- ε） ）用户界面（x- ε） +（hi（p+ε）- hi（p））Ui（x+ε）。我们计算总差分dVi=六、σidσi+六、εdε。它由- （hi（p+ε）- 你好（p- ε） ）用户界面（x- σi）dσi+（你好（p）- 你好（p- ε） ）用户界面（x- ε) - （hi（p+ε）- hi（p））Ui（x+ε）dε。将总差异等于零产量dσidε=hi（p）- 你好（p- ε） hi（p+ε）- 你好（p- ε） 用户界面（x）- ε） 用户界面（x）- σi）-hi（p+ε）- hi（p）hi（p+ε）- 你好（p- ε） Ui（x+ε）Ui（x）- σi）。（A.1）来自（i），如普拉特[10]中的等式。

（20） ，U（x）U（w）≤U（x）U（w），对于w<x和U（x）U（y）≥U（x）U（y），对于x<y。此外，从（v），U（y）- U（x）U（w）- U（v）+U（w）- U（v）U（w）- U（v）≤U（y）- U（x）U（w）- U（v）+U（w）- U（v）U（w）- U（v），对于v<w≤ x<y.取w=x yieldsU（y）- U（v）U（w）- U（v）≤U（y）- U（v）U（w）- U（v），对于v<w<y，henceU（w）- U（v）U（y）- U（v）≥U（w）- U（v）U（y）- U（v）和alsoU（y）- U（w）U（y）- U（v）≤U（y）- U（w）U（y）- U（v），表示v<w<y。在本段中的所有不等式中，ui可以替换为hi，v，w，x限制为（0，1）。因此，根据（A.1）和上述不等式，dσdε≥dσdε，（A.2）因此（ii）。接下来，重新考虑（5.4）。固定ε>0。如果我们让ε→ 0英寸（5.4），然后是ui→ 0.definewi（ui，ε）=（hi（p+ε）- 你好（p- ε） ）用户界面（x）- （（嗨（p- ui）- 你好（p- ε） ）用户界面（x- ε） +（hi（p+ε）- 你好（p- ui）Ui（x+ε）。我们计算总的差异dWi=Wiuidui+Wiεdε。它由-你好（p- ui）（Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε） ）dui+你好（p- ε） （Ui（x）- 用户界面（x）- ε)) - hi（p+ε）（Ui（x+ε）- 用户界面（x））dε。将总差异等于零产量duidε=Ui（x）- 用户界面（x）- ε） Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε） 你好（p- ε） 你好（p- ui）-Ui（x+ε）- Ui（x）Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε） hi（p+ε）hi（p- ui）。（A.3）调用与Ui（·）Ui相关的不等式(o)安杜伊（·）-用户界面(o)用户界面(*)-Ui（？）如上所述，其中Ui可能由hi代替（将相应的域限制为（0,1）），我们从（A.3）中发现dudε≥dudε，（A.4）因此（iii）。我们现在已经证明（ii）和（iii）是由（等价物）（i）、（iv）和（v）隐含的。我们最终证明（ii）暗示（i）和（iii）暗示（i），或者更确切地说，不（i）暗示不（ii）和不（iii）。这是通过认识到，通过x，p，ε>0和ε随0<ε的任意性≤ {p，1- p} <1，如果（i）不保持某个区间（x或p），人们总是可以找到可行的x、p、ε和ε，这样（A.2）和（A.4），因此（ii）和（iii）保持某个区间，但不等式符号严格且受限制。2.致谢。

我们非常感谢哈里斯·施莱辛格的讨论。这项研究部分由荷兰科学研究组织（LAEEN）在NWO VIDI 2009资助。感谢安德烈·拉鲁的研究协助。参考文献[1]Arrow，K.J.（1965）。风险承担理论的几个方面。赫尔辛基Yrj–o Jahnsson基金会。[2] 阿罗，K.J.（1971）。关于风险承担理论的论文。北荷兰，阿姆斯特丹。[3] Chateauneuf，A.，M.Cohen和I.Meilijson（2004年）。保留均值的四个概念风险增加、风险态度和秩相关期望模型的应用。《数学经济学杂志》40547-571。[4] Chew，S.H.，E.Karni和Z.Safra（1987年）。具有秩相关概率的预期性理论中的风险规避。《经济理论杂志》42370-381。[5] Eeckhoudt，L.R.和R.J.A.Laeen（2015）。概率溢价：一种图形表示法。《经济学快报》136，39-41。[6] 德费内蒂，B.（1952年）。苏拉更喜欢。乔尔纳尔·德格利经济研究院和安娜利经济研究院，685-709。[7] 金达邦，P.（2010）。谨慎概率溢价。《经济学快报》109，34-37。[8] Liu，L.和J.Meyer（2013）。用一种风险增加代替另一种：一种测量风险厌恶的方法。经济理论杂志1482706-2718。[9] Liu，L.和W.S.Neilson（2015）。比较风险规避的概率溢价方法，Mimeo，德克萨斯农工大学和田纳西大学。[10] 普拉特，J.W.（1964年）。小规模和大规模的风险规避。《计量经济学》3222136。[11] 奎金，J.（1982）。预期效用理论。《经济行为与组织杂志》3323-343。[12] 罗厄尔，A.（1987）。不确定性下Quiggin和Yaari的排序选择模型中的风险规避。《经济杂志》97143-159。[13] Ryan，M.J.（2006）。RDEU中的风险规避。

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