养老金计划的随机模型

我们公式化了关于投资组合稳健性和可靠性的概率问题。这些问题被重新表述为养老金投资组合和工资增长的联合概率密度函数的福克-普朗克方程的初边值问题，并通过数值求解方程来回答。投资组合的当前价值以标准普尔500指数（S&P500 index）为模型，该指数旨在代表养老金领取者的资产。被保险人的工资对基金的持续贡献也被建模为一个随机过程。这两个模型被组合成一个养老基金增长的二维模型，该模型取决于养老金领取者的初始工资。我们对个人受益的可能性感兴趣。二维模型的结果总结在模型的无量纲参数表和三维数值结果图中。此外，我们定义了一个随机消费过程，该过程描述了个人的资源消耗状态。我们假设养老金领取者的年度费用的固定美元金额率，并计算养老金消费过程的生存概率，即在给定的退休年限后仍有养老金剩余的概率。

我们还将消费过程的平均首次通过时间（MFPT）计算为0，这是养老金用完的预期时间。最后，我们假设养老金领取者的寿命是随机分布的，根据一定的密度函数，并计算养老金计划在养老金领取者身上存活的概率，即养老金领取者在消费所有养老金之前死亡的概率。2.1扩散模型资产价格建模中的一种常见做法是用马尔可夫过程（如扩散和跳跃扩散过程）来表达各种因素，如有效市场假设和随机性[27]。因此，我们将工资和市场波动建模为差异过程，并根据历史数据证实其漂移和差异系数。我们使用股票市场指数增长模型的历史价格数据和工资模型的历史年度工资数据。

我们对离散时间过程使用连续时间近似。向量值扩散过程x（t）是一个连续时间马尔可夫过程，其轨迹几乎肯定是连续的，满足以下条件[32]，limT→0tE{x（t+（t）- x（t）|x（t）=x}=a（x，t）limT→0十[x（t+（t）- x（t）][x（t+（t）- x（t）]t | x（t）=xo=σ（x，t）（1）limT→0tE|x（t+（t）- x（t）| 2+δ| x（t）=x= 0，对于某些δ>0的情况。我们考虑的离散模型是它的解^o随机微分方程（SDE），形式为dx（t）=a（x（t），t）dt+B（x（t），t）dw（t），（2），其中w（t）是一个向量标准数学布朗运动（MBM）[32]，B（x（t），t）是一个矩阵，使得σ（x，t）=B（x（t），t）BT x（t），t）。在（2）的长时间数值模拟中，我们通过（2）的离散欧拉近似方案的解，用漂移系数向量a（x，t）和扩散矩阵B（x，t）来近似连续轨迹，这是根据历史经验向量估计的。2.1.1模型简化如上所述，漂移a（x，t）和扩散矩阵B（x，t）通过（1）中历史数据的样本平均和插值函数的拟合获得。我们可以假设这些系数也是随机的，因为它们取决于驱动MBM a（x，t）的特定轨迹，或者由它们自己的随机方程控制，而不是通过插值来近似It^o系数。2.1.2指数布朗运动概述标量指数布朗运动x（t）是几何布朗运动的修正，由线性It^o方程dx（t）=a（t）x（t）dt+b（t）x（t）dw（t），x（0）=x（3）定义，其中a（t）和b（t）为连续函数，w（t）为MBM。该解决方案以一种简单的方式给出，即byx（t）=xexptZ甲(s)-乙(s)ds+tZb（s）dw（s）.

（4） 所有k>0的力矩mk（t）=Exk（t）由mk（t）=xkexp给出ktZa（s）ds+K- KtZb（s）ds. （5） 图塞克斯（t）=xexptZa（s）dsVar[x（t）]=xexptZa（s）ds经验tZb（s）ds- 1.. （6） 或者，可以通过观察x（t）具有对数正态分布x（t）来计算x（t）的矩~ LN（u，σ），其中u=对数（x）+tZ甲(s)-乙(s)ds，σ=tZb（s）ds。因此，力矩为e[x（t）]=eu+σ=xexptZ甲(s)-乙(s)ds+tZb（s）ds= xexptZa（s）dsVar[x（t）]=eσ- 1.e2u+σ=xexptZa（s）ds经验tZb（s）ds- 1.. （7） 非齐次线性SDEdX（t）=[a（t）X（t）+a（t）]dt+[b（t）X（t）+b（t）]dW（t），X（t）=X（8）的解由X（t）=H（t）给出1+tZt甲(s)- b（s）b（s）H（s）ds+tZtb（s）H（s）dW（s）. （9） 其中H（t）是齐次SDEdH（t）=a（t）H（t）dt+b（t）H（t）dW（t）的解（4），H（t）=X，（10）由H（t）=Xexp给出tZt甲(s)-乙(s)ds+tZtb（s）dW（s）. （11） 2.2长期股票收益的随机模型标准普尔500指数的收益过程只有一条轨迹，因此为了构建其长期差异模型，我们将该指数表示为潜在单个股票收益的加权平均数。因此，我们首先对标准普尔500指数成份股的消费者价格指数调整（CPI调整）回报的动态和影响进行建模。因为股票收益率xi（t）是无量纲的，也就是说，以百分比来衡量，我们假设，尽管在统计上是独立的，但它们在统计上是相同的。也就是说，ALL和P500股票收益率xi（t）是单个SDEdx（t）=a（x（t），t）dt+b（x（t），t）dw（t），x（t）=1的输出。等价地，xi（t）可以被认为是相同且独立的sdexi（t）=a（xi（t），t）dt+b（xi（t），t）dwi（t）的输出，对于i=1，2。

，（12）其中wi（t）是独立的MBM。2.2.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们用S（τ，x）表示在τ月末，标准普尔500指数组成的所有股票收益的集合，其价格相对于其指数包含价格乘以x倍。如果astock在τ之前不止一次被纳入S&P500，则取最后一次纳入日期。第j只股票的股票收益过程轨迹用xj（t）表示。（12）的连续轨迹经CPI指数贴现后，被认为是离散月度CPI调整收益向量的近似值。因此，股票收益的漂移和扩散系数（1）近似为a（x，τ）=S（τ，x）|Xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）]（13）b（x，τ）=|S（τ，x）|xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）].2.2漂移和扩散面插值历史S&P500数据的来源是CSRP/计算合并数据库，用于历史月度股价和历史S&P500组成。我们使用美国劳工统计局的历史消费者价格指数（CPI）值。我们计算1970年1月至2011年12月之间τ的（13），以获得漂移和波动表面Ga={（x，t，a（x，t））}，Gb=x、 t，b（x，t）.这些曲面通过投影到t轴上进行插值，以获得1970年的GA[t]={（x，a（x，t））}≤ T≤ 2011年，Gb[t]=（x，b（x，t））, 1970年≤ T≤ 2011.对于每个t，平面曲线Ga[t]和Gb[t]分别用一个线性函数Ga[t]和一个二次多项式Gb[t]进行插值。

重新组装的平面内插器形成内插曲面Ga=nx、 t，~Ga[t]（x）∈ R1970≤ T≤ 2011o，~Gb=nx、 t，~Gb[t]（x）∈ R1970≤ T≤ 2011年。2.2.3数值结果构造形式为（x，t）=Ga[t]（x）=q（t）x+q（t）b（x，t）=Gb[t]（x）=r（t）x+r（t）x+r（t）x+r（t）x+r（t）t的插值器（Ga[t]，（14）我们确定q（t），q（t），r（t），r（t），r（t），r（t）∈ R通过最小化最小平方传感器中的残差xhGa[t]- Ga[t]i，Xxh~Gb[t]- Gb[t]i，每1970年≤ T≤ 2011.根据投影Ga[t]和Gb[t]绘制的插值函数Ga[t]和Gb[t]在[1]中给出。2.2.4图3中绘制了1970年的系数q（t）≤ T≤ 2011.为了简单起见（见2.1.1），我们用移动平均值近似函数q（t），也就是说，在每一点上，函数等于前面N点上函数值的平均值。所得近似值为康斯坦特（t）=0.002742。函数q（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年及其恒值Q（t）的移动平均结果≡ 0.在图4中，绘制了1970年的系数r（t）≤ T≤ 2011年及其移动平均值为常量估价师（t）=0.01。函数r（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年，其移动平均值为常数（t）=0。函数r（t）是为1970年绘制的≤ T≤ 2011年，其移动平均值为恒常值（t）≡ 0.代入q，q，r，r，rinto（12），我们得到dxi（t）=qxi（t）dt+rxi（t）dwi（t），xi（ti）=x.（15）2.2.5时间尺度的变化随机过程xi（t）的时间单位是月。我们改为年的时间尺度，这样我们就可以匹配年收入数据的时间尺度。-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3图3：（左）1970年至2011年间的坡度q（t）（青色）。带5%窗口（黑色）的坡度q（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的常数项q（t）（青色）。

具有5%窗口（黑色）的常数项q（t）的移动平均值。-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.5-50510图4：（左）1970年至2011年间领先的二次系数r（t）（青色）。r（t）的移动平均值，带有5%的窗口（黑色）。（中）1970年至2011年之间的系数r（t）（青色）。具有5%窗口（黑色）的常数项r（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的系数r（t）（青色）。带5%窗口（黑色）的r（t）移动平均值。对于任何正常数c，过程变换W（t）=cw（t/c）（16）也是MBM[32]。利用（4），由xi（t）=xoexp给出（15）的解Q-Rt+rwi（t）, （17） 再加上（16）和c=1/√12，我们用xi（t）=xexp的年份来测量t，得到xi（t）Q-Rt+√12跑道（t）（18） 它满足随机方程dxi（t）=ψxi（t）dt+φxi（t）dwi（t）xi（ti）=x，（19），常数ψ=12q=0.0329，φ=√12r=0.3464.2.3股票市场收益率指数的随机模型我们接下来寻求确定股票市场收益率指数的随机动力学。Thereturns指数由其组成部分收益的加权平均数决定。我们在下面展示，对于大量求和，在某些假设下，加权平均值的行为与算术平均值一致。2.3.1加权平均数的弱大数定律我们考虑一系列i.i.d.随机变量，具有有限的第一矩u和方差σ。对于权重λi，n，i=1，2，n和n=1，2。使得pni=1λi，n=1，pni=1λi，n=O（n-1).

加权平均Xn（t）=Pni=1λi，nxia的前两个矩由[Xn]=nXi=1λi，nExi=u，Var[Xn]=E给出nXi=1λi，nXi！- u==Xi6=jλi，nλj，nE[xi]E[xj]+nXi=1λi，nE[xi]- u=uXi6=jλi，nλj，n+σ+ unXi=1λi，n！- u=unXi=1λi，n！+σnXi=1λi，n！- u=σnXi=1λi，n=σO（n-1).切比雪夫不等式- u| > } ≤Var[Xn]=σO（n）-1)= σO（n）-1） 因此 > 0limn→∞Pr{|Xn- u|>} = 画→∞σO（n）-1) = 0.这就跟那个利姆一样→∞公关(nXi=1λi，nXi-nnXi=1xi> )= 0.（20）2.3.2等权重指数模型2001年至2011年的标准普尔500指数年末权重与λi，n=iα/Pni=1iα非常接近，α=18（见[1]）。这种权重满足加权平均的弱大数定律。实际上，λi，n=iαPni=1iα=n在里面αPni=1在里面αn≈N在里面αRxαdx=（α+1）n在里面α和nxi=1λi，n≈（α+1）nnXi=1在里面2αn≈（α+1）nZx2αdx=n-1（α+1）2α+1=O（n-1).因此，通过（20），我们假设此后的等权indexXn（t）=nnXi=1xi（t）。（21）对数正态随机过程之和的漂移是线性的，因此等于潜在漂移的平均值。然而，通过将n个独立的MBMs运动组合成一个，可以获得扩散系数。因此，Xn（t）的SDE是给定的nBydxn（t）=dnnXi=1xi（t）！=ψ（t）nnXi=1xi（t）dt+φ（t）nnXi=1xi（t）dwi（t）=ψ（t）Xn（t）dt+nφ（t）VuTutnxi=1xi（t）dW（t）。（22）关于确定对数正态随机变量（rvs）平均值的分布，已经做了很多研究。大偏差理论和中心极限定理方法往往会失败，因为对数正态rvs不存在矩母函数。已经提出了几种数值方法来近似对数正态rvs之和。在[33]中，最速下降技术用于使用Lambert-W函数对对数正态rvs之和的累积分布函数（cdf）进行数值评估。

这种方法只适用于少数方差相对较低的求和。在我们的例子中，如果考虑长期投资，差异会变得更大。在Fenton-Wilkinson（F-W）方法[34]，[35]中，总和用另一个对数正态分布近似，其前两个矩与总和相匹配。数值模拟表明，F-W方法是一种很好的长期平均过程近似方法。2.3.3对数正态i.i.d.随机变量pdf的对数正态近似我们利用F-W矩匹配技术构造线性随机方程dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt+Φ（t）Zn（t）dw（t）。（23）这样。Zn（0）=Xn（0）2。E[Zn（t）]=E[Xn（t）]，每t≥ 03.Var[Zn（t）]=Var[Xn（t）]，每t≥ 选择函数ψ（t）和Φ（t）以满足条件（3）。利用对数正态矩的公式（5），我们得到Var[Zn（t）]=Zn（0）expZtψ（s）ds经验ZtΦ（s）ds- 1.. （24）直接计算Xn（t）的方差，我们得到var[Xn（t）]=nVar“nXi=1xi（t）#=nnXi=1Var[xi（t）]=nxepZtψ（s）ds经验Ztφ（s）ds- 1.. （25）将（24）和（25）与Zn（0）=Xn（0）=xi（0）相等，我们得到expZtΦ（s）ds=N经验Ztφ（s）ds+ N- 1., （26）henceZtΦ（s）ds=log经验Ztφ（s）ds+ N- 1.- 对数n.（27）不同，我们发现Φ（t）=φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 因此，SDE（23）由dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt给出+φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 1.Zn（t）dW（t），（29）及其溶液满足条件（1）-（3）。我们注意到Φ（t）-→ φ（t）as t→ ∞,这意味着Zn（t）的渐近行为与Xn（t）的基础股票的渐近行为一致。

（23）的解由zn（t）=xexp给出Ztψ（s）-Φ（s）ds+ZtΦ（s）dW（s）, （30）就标的股票而言，Zn（t）=xexp（Zt“ψ（s）-φ（s）expRsφ（p）dp经验Rsφ（p）dp+ N- 1.#ds+Ztφ（s）expRsφ（p）dp经验Rsφ（p）dp+ N- 1.德国西部(s).最后，我们将估计的系数ψ（s）=ψ，φ（t）=φ合并到getZn（t）=xexp中Ztψ-φeφs2（eφs+n- 1)!ds+Ztφeφseφs+n- 1.德国西部(s)=xexpψt-日志eφt+n- 1.+对数（n）+Ztφeφsφeφs+n- 1.德国西部(s)=xeφt+n- 1n！-经验ψt+Ztφeφsφeφs+n- 1.德国西部(s). （31）2.3.4 Xn（t）的Euler格式模拟随机微分方程的维纳解释对于SDE的概念理解和推导控制pdf解演化的微分方程都是有用的[32]。关于格tk=t+k上随机积分的It^o定义t、 与t=t/N和w（t）=w（t+（t）- w（t）定义SDE（3）的解，或等价地定义It^o积分方程x（t）=x+tZa（x（s），s）ds+tZb（x（s），s）dw（s），（32）作为Euler模式n（t+t） =xN（t）+a（xN（t），t）t+b（xN（t），t）w（t），xN（0）=x（33）asT→ 0.增量w（t）是独立的随机变量，可以用Levy的方法[32]构造，如下所示：w（t）=n（t）√t、 其中，数值网格上每个t的随机变量n（t）是独立的标准高斯rvs n（0，1）。根据递归方案（33）。在数值网格上的任何时间t，过程xN（t）取决于s的采样轨迹w（s）≤ t、 因此，这是英国《金融时报》改编的。