证券组合市场风险的有效随机拟蒙特卡罗方法

为了提高RQMC在IS上的效率，应降低问题的有效维度，以便大多数方差仅由少量随机输入解释。然后，这些随机输入可以通过随机低差异点的第一个元素生成。这背后的基本原理是，低差异点集的第一个低维投影具有更好的均匀性（见Ca flisch，1998）。我们对随机向量Z进行线性变换，使第一个元素Z对应于Sak等人（2010）给出的移位u。线性变换可以通过首先将Z乘以正交矩阵V来应用∈ 其FirstColumn等于v=u/kuk的RD×D。剩余的色谱柱可以任意选择。这种转换增加了估计量方差的影响。然后，我们使用随机低差异点的前两个元素分别生成Y和Z。在线性变换的应用中，AIVE RQMC算法复制的唯一变化是使用T=λVZpY/ν=AZpY/ν计算T向量，（5）其中A=λV.4.2 RQMC在重要抽样上上述线性变换大大降低了被积函数的有效维数。但是，正如前面提到的，由指示函数1{L>τ}引起的被积函数的非光滑性仍然对RQMC的性能有很大的影响。在较大的阈值τ下，大多数朴素模拟算法的复制都会返回估计量1{L>τ}的零值。这导致了朴素的蒙特卡罗被积函数的大幅度跃迁。图1a说明了第5节数值例子中的原始被积函数L1{L>τ}的非光滑性问题。我们使用的投资组合由两支带有Tmarginal的股票组成（有关参数值，请参见第5节）。

在这种情况下，被积函数L1{L>τ}是[0,1]上的函数。事实上，这样的被积函数不能在三维空间中进行说明。然而，出于演示的目的，可以将zt乘以零（U=0.5）由于Zon的影响，线性变换后被积函数大大减小。图1b显示了重要抽样密度下的蒙特卡罗被积函数。图1b和图1a之间的主要区别在于大部分域的跳线尺寸减小。我们通过将被积函数L1{L>τ}乘以IS中的似然比f（Z，Y）/~f（Z，Y）来实现这一点。在IS的RQMC实现中，我们简单地用kuk移位zk，并在IS标度参数θ下生成Y。然后，我们使用（5）将线性变换应用于Z。最后，将响应1{L>τ}和L1{L>τ}与（Z，Y）~f（Z，Y）=exp的似然比相乘kuk- Zkuk+（2）- θ） Y2θ+ν对数θ.（a） Naive Monte Carlo被积函数（b）是被积函数图1:L1{L>τ}的Monte Carlo被积函数[0,1）.4.3根据图1b中观察到的分层重要性抽样，重要性抽样减少了被积函数域中大部分区域的跳跃大小。然而，如果我们关注UAK和UTAKE值都接近一个的区域，我们会看到较大的跳跃。这类区域对该估计器的方差贡献是显著的。为了解决这个问题，可以分配更多的复制通过分层转移到这些地区。在前面的小节中，我们已经解释了如何将RQMC与线性变换结合起来，并对其进行了说明。本小节描述了如何将分层与前面讨论的技术相结合。在SIS算法的RQMC版本中，我们在每个层中使用相同的低差异点序列。为了保证跨阶层的独立性，我们对每个阶层使用不同的随机移位。

在AOA算法的整个迭代过程中，这些随机移位保持不变。当算法决定在astratum中分配更多复制时，我们从之前迭代中未使用的低差异序列的第一个点开始。此外，样本分配决策基于第3.2节所述的最佳分配分数。随机拟蒙特卡罗SIS估计的误差界可以使用算法的M个外部复制来计算。5数值结果为了说明随机拟蒙特卡罗方法的有效性，我们在R中实现了所有算法（R Core Team，2015）。为了生成随机低离散点集，我们使用Bratley和Fox（1988）的实现，使用R-package“randtoolbox”（Christophe和Petr，2015）使用随机移动的Sobol网络。在我们的实验中，我们使用的股票投资组合大小D分别为2、5和10。对于边际分布的选择，我们使用广义双曲分布和t分布，因为它们似乎是股票对数收益的最佳拟合分布。对于模型参数，我们使用Halulu（2012）中报告的纽约证券交易所数据的拟合值（见65页的股票列表，表E.1、E.6、E.7和E.8的t-copula参数，表6.4和6.5的边际参数）。我们给出了95%的naive（EBNV）、IS（EBIS）和SIS（EBSIS）MCsimulations和naive（EBQNV）、线性变换（EBQLT）以及IS（EBQIS）RQMCSI的误差界，用于使用表1中的t和广义双曲线（GH）边缘进行损失概率和条件超额估计。对于不同的参数设置，还提供了给出0.05和0.001损失概率的阈值（τ）。

对于每个参数设置，第一行给出损失概率估计的误差范围，第二行给出条件超额估计的误差范围。请注意，损失概率和条件超额模拟是分别进行的。在这些实验中，naive andIS模拟使用的复制总数为n=10，约为n≈ 10用于SIS模拟。我们在四次迭代中终止SIS，在每次迭代中依次使用大约10%、20%、30%和40%的总样本量。RQMC模拟中的外部复制数选择为M=40，以给出估计的可靠误差范围。因此，我们不需要=n/M=2500个内部复制。在这种情况下，分层重要性抽样的随机准蒙特卡罗估计不能提供可靠的误差范围，因为sinceN=2500不足以满足分层估计的渐近正态性。因此，我们不提供分层重要性抽样的随机拟蒙特卡罗版本的误差范围。