赫斯顿模型及其相关模型的波动性推断

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英文标题：
《Inferring Volatility in the Heston Model and its Relatives -- an
  Information Theoretical Approach》
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作者：
Nils Bertschinger and Oliver Pfante
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Stochastic volatility models describe asset prices $S_t$ as driven by an unobserved process capturing the random dynamics of volatility $\\sigma_t$. Here, we quantify how much information about $\\sigma_t$ can be inferred from asset prices $S_t$ in terms of Shannon\'s mutual information $I(S_t : \\sigma_t)$. This motivates a careful numerical and analytical study of information theoretic properties of the Heston model. In addition, we study a general class of discrete time models motivated from a machine learning perspective. In all cases, we find a large uncertainty in volatility estimates for quite fundamental information theoretic reasons.
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中文摘要：
随机波动率模型将资产价格$S_t$描述为由捕捉波动率$\\sigma_t$随机动态的未观察过程驱动。在这里，我们量化了根据香农的互信息$I（S_t:\\sigma_t）$，从资产价格$S_t$中可以推断出多少关于$\\sigma_t$的信息。这促使人们对赫斯顿模型的信息论性质进行仔细的数值和分析研究。此外，我们从机器学习的角度研究了一类离散时间模型。在所有情况下，我们都发现波动率估计中存在很大的不确定性，这是基于非常基本的信息论原因。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Inferring_Volatility_in_the_Heston_Model_and_its_Relatives_--_an_Information_The.pdf (946.59 KB)

2022-5-10 12:56:31 上传

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关键词：波动性 Quantitative Mathematical Applications Econophysics

推断赫斯顿模型及其相关模型中的波动性——信息理论方法尼尔斯·贝尔辛格法兰克福高等研究所，劳斯·莫方·斯特拉埃160483法兰克福安曼奥利弗·普凡特法兰克福高等研究所，劳斯·莫方·斯特拉埃160483法兰克福安曼，德国。电子邮件：pfante@fias。法兰克福大学。de，电话：+49 69 798 475 292015年12月29日Abstracts随机波动率模型描述了由一个未观察到的过程驱动的资产价格STA，该过程捕获了波动率σt的随机动态。在这里，我们量化了根据香农互信息i（St:σt）可以从资产价格Stin中推断出多少关于σt的信息。这促使人们对赫斯顿模型的信息论性质进行仔细的数值和分析研究。此外，我们从机器学习的角度研究了一类一般的离散时间模型。在所有情况下，由于信息论的基本原因，我们发现了一个很大的不确定性不可约性估计。索引术语——信息论；随机波动；贝叶斯分析1简介布莱克和斯科尔斯[4]对期权定价理论的贡献被恰当地用以描述。然而，尤其是在1987年崩盘之后，几何布朗运动模型和布莱克-斯科尔斯公式无法再现真实市场的期权价格数据。这并不奇怪，因为Black-Scholes模型做出了一个强有力的假设，即股票的对数收益率是正态分布的，波动率不仅被假设为beknown，而且随着时间的推移也是常数。两种关于波动性的假设都是错误的：首先，波动性是一个隐藏参数，需要分别从股票和期权数据中推断出来；其次，这种所谓的“隐含波动率”根本不是常数，而是一个高度波动的时间过程。

第二个洞察导致引入了隐含波动率指数，如VIX（1993）和itso-off-springs，基于这项工作[8,9]，它使隐含波动率本身成为一个商标，受到与股票价格类似的随机波动的影响。在这些隐含波动过程最相关的统计特性中，波动似乎是观察到的价格变化集群的原因。也就是说，大的波动之后通常是其他大的波动，小的变化也是如此[7]。另一个特点是，与表现出可忽略自相关的价格变化形成鲜明对比的是，对于超过一年的时滞，波动率自相关仍然显著[35,32,7,28,14,27]。此外，还存在所谓的杠杆效应，即当前价格变化和未来波动性之间的负相关性更短（几周）[6,7,4,5]。伴随着这些关于波动过程的经验发现，也有很长一段时间的理论尝试，试图通过随机过程来绘制波动的时间依赖性——有关文献的广泛综述，请参见[40]。第一个直接针对波动率聚集效应的随机波动率模型是Taylor[42]模型——一种单变量时间离散自回归。[33]研究那些ARCH模型及其广义后代GARCHand EGARCH，他们如何正确估计条件方差和协方差，即使在它们被误判的情况下。连续时间模型由Johnson[24]引入。这一领域最著名的纸张是黑白相间的[22]。Heston的模型[21]产生了伽马分布的波动率，由于其过渡概率的特征函数有一个封闭形式的表达式，因此非常流行。

20世纪90年代末和21世纪初的研究表明，需要更复杂的随机波动率模型来建模期权或高频数据，因为前面提到的模型不能正确处理短期内波动率的显著变化。因此，跳跃被纳入随机波动[16,17]中，而在[12]中，跳跃扩散过程被解析地处理，导出了Heston为其模型[21]获得的看涨期权的闭式解。还有一些方法将波动过程建模为若干独立随机过程或因素的函数。在[10]中，研究了两个因子模型，一个是非常缓慢的平均混响因子，另一个是快速的平均回复因子。这类双因素模型为打破尾部厚度和波动持续性之间的联系提供了一种跳跃式差异的替代方法。[31]研究了指数Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型，并观察到该模型在波动率自相关中表现出多尺度行为。它还展示了杠杆相关性和平稳波动率的概率曲线，这与市场观察结果一致。所有这些特征使得该模型非常吸引人，因为它似乎比其他同样基于[10]中讨论的二维差异的随机波动率模型更为复杂。总之，有大量关于随机波动率模型的文献在调查和讨论如何扩展这些模型，使其与数据相匹配，并再现股票已实现波动率的统计特性：时间聚类、杠杆效应、波动率自相关、经验期权价格和波动率的时间演化。此外，像[10]和[33]这样的论文努力从实证角度确定最佳模型。

也就是说，这些论文使用统计专家来决定哪些随机波动率模型最适合拟合真实世界的数据，如股票价格、波动率指数等。因此，在[40]中回顾的整个文献主要涉及经典Black-Scholes模型中波动率的第二个问题：其时间依赖性。本文提出的方法有一个不同的重点：假设随机波动率模型是正确的，即股票价格和日收益率分别遵循其动态，根据准确描述该数据的随机波动率模型，从这些数据推断出的隐藏波动率的可靠性如何。也就是说，与之前引用的论文相比，我们特别强调了第一个提到的关于Black and Scholes模型的问题：波动性的隐藏性质，以及通过从市场数据中得出的隐含波动性来把握它的唯一可能性。如果随机波动率模型恰当地描述了金融市场，那么隐含波动率作为波动率度量的可靠性如何。也就是说，从股票数据中可观察到多少关于波动性的信息？由于随机波动率模型处理股票过程和其波动过程σt的两种不同分布，香农的信息理论[39]提供了一个理想的框架来精确地回答这个问题：观察到的股票价格和隐藏的波动过程σt之间的互信息I（St：σt）是什么？在大量的随机波动率模型中，必须做出选择。

首先，我们考虑Heston的模型[21]，因为股票和波动过程的过渡概率的封闭形式解是解析形式。其次，对赫斯顿模型的纯理论研究伴随着对指数型Ornstein-Uhlenbeck单因素和双因素模型的经验调查，该模型由[31]建议为最适合观测数据的随机波动率模型。因此，尽管我们相信本文中获得的结果在广泛的模型类别中占主导地位，但这些模型分别就其声称的理论和经验优势进行了讨论。这些结果让人大失所望。通过数值计算，我们能够在Heston模型中计算从[2]中VIX导出的参数的互信息I（σt:St）随时间的演化。它最多约为0.5位，对于t，它似乎甚至会减小→ ∞.另一个有趣的发现是函数t的局部极大值的存在→ I（σt:St）表明存在一个中间时间尺度，在这个尺度上，两个过程的耦合最为紧密。接下来，我们研究了一类不同的随机波动率模型，即指数奥尔斯坦-乌伦贝克模型。在这里，我们通过考虑驱动波动率对数的任意高斯过程，进一步推广了这类模型。这使我们能够利用机器学习等强大工具，将此类模型与股价数据进行拟合，并比较它们的相关表现。虽然我们可以复制一些关于波动性动态的程式化事实的发现，例如长期相关性，但我们再次证明，股票价格只提供有限的波动性信息。这显然对波动性预测有严重影响。

我们使用不同的数据集来说明我们的结果，并将它们与Heston模型的计算联系起来。本文的结构如下：首先，我们介绍了赫斯顿模型和相关的随机波动率模型。第三部分简要概述了信息论及其关键组成部分：微分熵、互信息及其标度不变性。此外，我们在赫斯顿模型的基础上提出了一个多级动力系统的观点。如果考虑到联合过程→ （St，σt）作为一个微观过程，而库存过程t→ 就其可观察性而言，前面的问题是，从股票波动率到波动率的推断是否可靠，这导致了一个密切相关的问题：股票波动率到什么程度→ Sta流程本身是什么？也就是说，Heston模型与经典Black-Scholes模型有多大不同，后者假设股票过程为t→ STM本身就是一个马尔可夫过程。作者和其他人在[36]中制定的信息度量解决了这个问题。第四部分介绍了标准普尔500指数的数值计算，包括[2]中的参数，以及指数随机波动率模型。然后，我们从波动率预测的角度讨论我们的发现。2随机波动率模型Heston[21]模型的许多版本取决于他们是否关心风险中性模型的波动率。这是一场持续的辩论，它是否重要。[23]中提供了证据，而[2]中的证据被认为在统计上不重要。无论真相是什么，这场辩论都表明，波动性的数量影响是很小的。

由于我们的分析致力于赫斯顿模型的定性方面，我们采用了简化形式，主要遵循[15]。和大多数随机波动率模型一样，我们考虑一只股票，其价格为t→ t过程遵循几何布朗运动：dSt=uStdt+σtStdW（1）乘以固定的初始值S。u是漂移参数，W（1）ta标准布朗运动，σt随时间变化的波动率。由于几何布朗运动只取决于σt，引入方差vt=σt。根据赫斯顿的模型，时间演化t→ VT遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）流程[41]dvt=-γ（vt）- θ） dt+κ√vtdW（2）t。其中θ是vt的长期平均值，γ>0是该平均值的松弛率，κ>0是影响方差vt噪声水平的差异参数，W（2）是标准布朗运动。我们考虑了两个布朗运动之间的耦合，即dW（2）t=ρdW（1）t+p1- ρdZt。zt是一个独立于W（1）t和ρ的布朗运动∈ [-1，1]是W（1）和W（2）t之间的瞬时相关性。负瞬时相关性ρ称为杠杆效应[19]。虽然CIR过程是合理的，但也存在其他常用的选择来描述方差vt的动态。例如，指数型Ornstein-Uhlenbeck模型[31]模拟了方差yt=对数σtas和Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的对数，即dyt=-α（yt）- u）dt+βdW（2）t。在特殊条件下，CIR过程可以从OU过程中导出：如果VT是CIR过程，则√VT是一个OU过程，前提是γθ=κ。Ornstein-Uhlenbeck过程是一类广泛的随机过程，即高斯过程的一个例子。它们的特性是，对于任何有限的时间t，tn，过程观察yt，Y具有多元高斯分布。

这反过来意味着该过程完全由其平均过程ut=E[yt]和协方差函数kt，t=E[（yt]）确定-ut（yt）-ut）]。对于Ornstein-Uhlenbeck过程，平稳平均过程由uOUt给出≡ 众所周知协方差为kOUt，t=β2αe-α| t-t |。下面，我们还考虑了其他高斯过程，从而将随机波动模型的类别推广到金融领域通常研究的范围之外。2.1赫斯顿模型将变量从价格St更改为调整后的对数回报xt=log（St/s）很方便-ut.使用它^o的公式[34]我们得到dxt=-vtdt+√vtdW（1）t.（2.1）方差vt和调整后的对数回归的两个随机微分方程（SDE）定义了一个二维随机过程xtvt= -vt/2γ（v）- θ)dt+√及物动词10κρκp1- ρdW（1）tdZt！。（2.2）随机过程t→ （xt，vt）具有一个联合概率密度p（xt，vt | v），其初始条件v=vf为方差。经调整的对数收益率的SDE初始条件在定义上始终为0，因此未明确提及。联合概率密度的时间演化由福克-普朗克或科尔莫戈罗夫正演方程控制tp=γv[（v）- θ） p]+x（vp）+ρκ十五（副总裁）+xx（vp）+κvv（副总裁）。（2.3）该线性偏微分方程（PDE）的初始条件isp（x，vi | v）=δ（x）δ（vi）- v） 。（2.4）v=0时PDE等式（2.3）的边界条件由方差vt的概率密度πt（v）的PDE边界条件决定tπ（v）=v[γ（v）]- θ） π（v）]+κvv[vπ（v）]。（2.5）Feller[18]对抛物线偏微分方程进行了详细研究。对于该过程，原点v=0处边界的分类如下[25]：如果Feller约束κ≤ 2γθ被破坏，否则无法达到，不吸引。

由于我们只处理来自市场数据的参数集，Feller的约束是合理的，因为实际库存的方差总是假定大于零。实际上，在[2]中从VIX导出的参数集提供了α=2γθ/κ=2.011。因此，考虑由零流条件[29]控制的微分方程（2.3）的吸引边界是不必要的，我们只需在边界v=0处设置P（xt，v=0 | v）=0，以表示所有时间t≥ 0.在任何情况下，PDE等式（2.4）有一个稳定解π*（v） =αΓ（α）vα-1θαe-αv/θ，α=2γθκ（2.6），这是形状为α且速率为β=α/θ的伽马分布。它有均值θ和方差θ/α。费勒的约束意味着α≥ 1当α→ ∞ 我们得到π*（五）→ δ（v）- θ). 利用概率密度及其相应的偏微分方程，可以更灵活地选择初始条件。对于随机微分方程，通常选择将方差v=vt限制在某个初始值vat t=0，尽管与收益xt相比，我们不知道vt=0的精确值vof。分布为π的随机变量的选择*更合理的是，如果赫斯顿的模型适用于股票市场，方差是平稳分布的。在SDE框架内处理这些初始条件几乎是不可能的，但设置p（x，v）=δ（x）π*（v） （2.7）作为符合PDE等式（2.3）的联合概率密度的初始条件，完全没有问题，并用于我们对PDE等式（2.3）的数值模拟。由于PDE等式（2.3）是线性的，所以解的任何线性组合也是一个解。如果p（xt，vt | v）表示初始条件方程（2.4）的解，则加权平均zdp（xt，vt | v）π*（v） 是偏微分方程（2.3）的解，以及初始值zdvp（x，v | v）π*（v） =Zdvδ（x）δ（v）- v） π*（v） =δ（x）π*（v） 。因此，求解偏微分方程。