欧拉离散格式的指数可积性

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英文标题：
《Exponential integrability properties of Euler discretization schemes for
  the Cox-Ingersoll-Ross process》
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作者：
Andrei Cozma and Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We analyze exponential integrability properties of the Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process and its Euler discretizations with various types of truncation and reflection at 0. These properties play a key role in establishing the finiteness of moments and the strong convergence of numerical approximations for a class of stochastic differential equations arising in finance. We prove that both implicit and explicit Euler-Maruyama discretizations for the CIR process preserve the exponential integrability of the exact solution for a wide range of parameters, and find lower bounds on the explosion time.
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中文摘要：
我们分析了Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程及其Euler离散在0。这些性质对于建立金融学中一类随机微分方程的矩的有限性和数值逼近的强收敛性起着关键作用。我们证明了CIR过程的隐式和显式Euler-Maruyama离散在很大范围内保持了精确解的指数可积性，并找到了爆炸时间的下界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Exponential_integrability_properties_of_Euler_discretization_schemes_for_the_Cox.pdf (456.4 KB)

2022-5-10 13:58:25 上传

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关键词：Quantitative Differential establishing Applications Exponential

Cox-Ingersoll-Ross过程Euler离散格式的指数可积性*克里斯托夫·赖辛格*摘要我们分析了Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程及其Euler离散化的指数可积性，以及在0。这些性质在确定一类金融随机微分方程的矩的唯一性和数值近似的强收敛性方面起着关键作用。我们证明了CIR过程的隐式和显式Euler-Maruyama离散在大范围参数下保持了精确解的指数可积性，并找到了爆炸时间的下界。关键词：Cox-Ingersoll-Ross过程，指数可积性，数值逼近，显式Euler格式，隐式Euler格式，随机波动模型。数学学科分类（2010）：60H35，65C301简介Cox-Ingersoll-Ross过程最初由Cox等人（1985）提出，用于短期利率建模，是以下随机微分方程（SDE）的解：dyt=ky（θy）- yt）dt+ξy√ytdWt，（1.1），其中W=（Wt）t≥0是一维布朗运动，而y，ky，θ和ξ则是正实数。根据Karatzas and Shreve（1991），（1.1）承认了aunique强解，当Feller条件满足时，即当2kyθy>ξy时，该强解是严格正的。所考虑的CIR过程的理想特征，如非负性和均值回归，使其在建模利率或方差时非常流行，例如。，在赫斯顿的随机波动率模型中（赫斯顿1993）。

在前一种情况下，Feller条件在实践中通常是令人满意的，但在后一种情况下，Feller条件往往无法成立。CIR过程的条件分布是非中心卡方分布，因此可以精确地模拟其增量。另一方面，离散化方案通常是可行的*牛津大学数学研究所，牛津，OX2 6GG，UKandrei。cozma@maths.ox.ac.uk，克里斯托夫。reisinger@maths.ox.ac.ukpreferred当必须模拟CIR过程的整个采样路径时，或当该过程是SDE系统的一部分时。例如，对基于基础流程S=（St）t的路径相关金融衍生品进行定价时∈[0，T]由d维DE建模，在一个或多个维中有CIR动力学，我们需要评估u=E[f（S）]，（1.2），其中f:（[0，T]，Rd）7→ R是折扣支付。特别是，此类SDE包含流行的赫斯顿模型及其扩展，如随机利率（Grzelakand Oosterlee 2011；Ahlip and Rutkowski 2013）或随机局部波动率（van der Stoepet al.2014）。然而，很少有人能找到（1.2）中数量的显式公式，在这种情况下，我们通过离散化方案和蒙特卡罗模拟方法来近似SDE的解（见Glasserman 2003）。因为我们不能使用标准Euler-Maruyama方案来近似（yt）t∈[0，T]在（1.1）中定义，由于近似过程变为负值的概率为非零，因此当单位变为负值（吸收fix）或在原点反射（反射fix）时，我们将其设置为零。Lord等人（2010）对文献中迄今为止考虑的显式Euler格式进行了概述。

或者，我们可以使用隐式格式来离散CIR过程。虽然弱收敛在估计支付预期时很重要，但复杂路径依赖导数可能需要强收敛，并且在多水平蒙特卡罗方法中起着关键作用（Giles 2008）。推导强收敛的一个重要步骤是证明高阶矩的一致性，而不是一个过程及其近似值（Higham等人，2002年；Cozma和Reisinger，2015年）。此外，对于许多随机波动率模型，阶数高于1的时刻可能会在有限时间内爆炸（Andersen and Piterberg 2007）。然而，这在实际操作中可能会导致严重问题，比如在对收益具有超线性增长的证券进行估值时，一些常见的固定收益交易合同就是如此。例如，CMS掉期和上限或欧洲美元期货合约的风险中性估值涉及第二时刻的评估（安达信和皮特堡，2007年）。因此，瞬间爆炸可能会导致衍生产品的价格下跌。对于漂移或扩散系数超线性增长的DES的欧拉近似，也可以观察到同样的问题（Hutzenthaler等人，2011年；Hutzenthaler和Jentzen 2015年）。因此，我们需要检查实际过程和近似过程的矩的稳定性，这是一个与CIR过程的指数可积性及其离散化直接相关的问题（Cozma和Reisinger，2015）。Hutzenthaler等人（2014年）证明，在一些温和的假设下，对于具有局部Lipschitz漂移和扩散系数的SDE非线性系统，一组停止增量驯服的Euler近似保持了精确解的指数可积性。然而，（1.1）中的差异系数并非局部Lipschitz，因此他们的分析不适用于目前的工作。

Cozma和Reisinger（2015）推导了CIR过程到临界时间的全截断欧拉近似（Lordet al.2010）的指数可积性。在目前的工作中，我们首先将上述结果推广到CIR过程的更一般的指数泛函，然后证明了CIR过程的漂移隐式和一些显式Euler离散保持指数可积性。本文的结构如下。在第二节中，我们讨论了离散化模式及其强收敛性。在第三节中，我们推导了CIR过程泛函的一致指数可积性及其显式和隐式Euler离散。第4节更详细地研究了特定模型（赫斯顿模型）的力矩稳定性。最后，第5节总结了结果并概述了未来可能的工作。2离散化方案经典的Euler-Maruyama方案不能保持过程的非负性，因此当直接应用于（1.1）时，由于平方根效率的不同，它没有得到很好的定义。文献中提出了许多修正，当过程变为负值时，将其设置为零，或者在原点中重新反映。考虑统一网格：δt=t/N，tn=Nδt，N∈ {0，1，…，N}。部分截断Euler（PTE）格式ytn+1=~ytn+ky（θy）- 其中y+=max（0，y）和δWtn=Wtn+1- Wtn是在Deelstra和Delbaen（1998）中提出的，而全截断Euler（FTE）方案ytn+1=ytn+ky（θy）- 约y+tn）δt+ξyqy+tnδWtn（2.2）在Lord等人（2010）中进行了研究。吸收（ABS）方案的读数为ytn+1=~y+tn+ky（θy）- ~y+tn）δt+ξyq~y+tnδWtn。（2.3）对于方案（2.1）-（2.3），分段恒定时间连续插值定义为Yt=~y+tn，只要t∈ [tn，tn+1]。

反射（REF）方案ytn+1=~ytn+ky（θy）- ~ytn）δt+ξyp | ~ytn |δWtn（2.4）是在海厄姆和毛（2005）中引入的，我们定义了Yt=|ytn |，只要t∈ [tn，tn+1]对称化的Euler（SYM）格式ytn+1=~ytn+ky（θy）- ~ytn）δt+ξyp~ytnδWtn（2.5）在Bossy和Diop（2007）中进行了研究，我们让Yt=~ytn，只要t∈ [tn，tn+1）。最后，假设Feller条件成立，并将其^o公式应用于xt=√YTTOXT=αx-1t+βxtdt+γdWt，（2.6），其中α=4kyθy- ξy，β=-kyandγ=ξy.（2.7）漂移隐式（平方根）欧拉格式xtn+1=~xtn+α~x-1tn+1+βxtn+1δt+γδWtn（2.8）在阿方西（2005）中提出，后来在德里奇等人（2012）中进行了研究。因为α，γ>0和β<0，（2.8）有唯一的正解xtn+1=~xtn+γδWtn2（1- βδt）+s（~xtn+γδWtn）4（1- βδt）+αδt1- βδt.（2.9）该方法也称为反向Euler-Maruyama（BEM）方案（Neuenkirch and Szpruch 2014）。只要t∈ [tn，tn+1]经典收敛理论（Kloeden and Platen 1999；Higham et al.2002）不适用于CIR过程，因为平方根扩散系数不是Lipschitz。因此，作者采用了其他方法来证明其特定离散化的强收敛性或弱收敛性。Deelstra和Delbaen（1998年）、Alfonsi（2005年）、Higham和Mao（2005年）以及Lord等人（2010年）建立了部分截断、完全截断、反射和对称化Euler格式的强收敛性，无论是无arate还是对数收敛率。Berkaoui et al.（2008）和Dereich et al.（2012）分别证明了对称化和漂移隐式Euler格式1/2阶的强收敛性，尽管对前者的假设非常严格。

最近，Alfonsi（2013）和Neuenkirch及Szpruch（2014）将漂移隐式Euler格式的强收敛率提高到1。据我们所知，文献中没有讨论吸收方案的收敛性质。3指数可积性本文的目的是建立循环过程及其近似函数的指数可积性。为此，让我们∈[0，T]是（yt）T的分段常数时间连续近似∈[0，T]对应于（2.1）-（2.5）或（2.9）中的一种离散化模式，对于某些λ，则为u∈ R、 定义≡ 经验λZtyudu+uZt√尤德武, T∈ [0，T]，（3.1）ΘT≡ 经验λZtYudu+uZtqYudWu, T∈ [0，T]，（3.2）和 ≡ λ +u. （3.3）引理3.1。独立于所采用的离散化方案Y，支持∈[0，T]EΘt=（1）如果 ≤ 0，EΘT如果 > 0.（3.4）证据。设{Gt，0≤ T≤ T}是W和Et产生的自然过滤·≡ E· |燃气轮机.假设t∈ [tn，tn+1]和σ-代数Gtn的条件，我们发现Θt= 经验λZtnYudu+uZtnqYudWuexpn（t）- tn）伊特诺。（3.5）由于Y总是非负的，如果 ≤ 0，然后EtnΘt≤ EtnΘtn. 根据迭代预期定律，EΘt≤ EΘtn≤ EΘtn-1.≤ . . . ≤ EΘ. （3.6）另一方面，如果 > 0，然后EtnΘt≤ EtnΘtn+1, 国有企业Θt≤ EΘtn+1≤ EΘtn+2≤ . . . ≤ EΘT, （3.7）这是证明的结论。3.1 Cox-Ingersoll-Ross过程下面的指数可积性结果是Andersenand Piterberg（2007）中命题3.1对该情况的扩展 ≤ 0.什么时候 > 0，我们可以直接从安徒生和皮特堡（2007）中推导出命题3.2，方法是将赫斯顿模型的时刻写成EΘT. 我们的证明采用了一种相当不同的方法，并包含完整性。提议3.2。

CIR过程定义（3.1）的指数泛函的第一时刻一致有界，直到临界时间T*, i、 e.监督∈[0，T]EΘt< ∞, T<T*, （3.8）安第斯山脉ΘT= ∞, T≥ T*. （3.9）如果 ≤ 0，然后是T*= ∞, 如果 > 0，然后是T*具体如下：1。当ky<ξy（u）时-√2.),T*=νlog*ξy- ky+νξy- 基尼- ν, ν=q（uξy）- （肯塔基州）- 2ξy. (3.10)2. 当ky=ξy（u）时-√2.),T*=*ξy- 肯塔基州（3.11）3。当ξy（u）时-√2.) < ky<ξy（u）+√2.),T*=^νπ- 阿尔茨坦*ξy- ky^ν, ^ν=q2ξy - （b）y- （肯塔基州）。(3.12)4. 当基尼≥ ξy（u）+√2.),T*= ∞. （3.13）证据。自从√yudWu=ξyyt-ξyy+kyθyt+kyξyZtyudu（3.14）from（1.1），Θt=expn-y+kyθytλoexp^λyt+^uZtyudu, （3.15）式中，^λ=uξy，^u=λ+ukyξy（3.16），因为（3.15）右侧的第一个指数是时间的连续函数，并且因为（yt）t∈[0，T]是一个平稳的马尔可夫过程，它需要证明τofF（τ，y）上的上确界≡ Et经验^λyT+^uZTtyuduyt=y（3.17）=E经验^λyτ+^uZτyuduy=y, （3.18）式中τ=T- t和F（0，y）=exp{^λy}。过程M=（Mt）t∈[0，T]由MT定义≡ F（τ，y）exp^uZtyudu（3.19）是一个鞅。将It^o公式应用于右侧，并将得到的漂移项设置为零，我们找到F（τ，y）的偏微分方程：- τF+ky（θy）- y）yF+ξyyyyF+^uyF=0。（3.20）假设偏微分方程的解的形式为f（τ，y）=exp^λy+kyθy^λτ+G（τ）y+H（τ）, （3.21）g（0）=0，H（0）=0。（3.22）用（3.21）替换回（3.20）将产生一个Riccati颂歌系统：τG（τ）=aG（τ）+bG（τ）+c，（3.23）τH（τ）=kyθyG（τ），（3.24）其中=ξy，b=^λξy- ky=ξy- kyand c=^λξy+^u-^λky=. （3.25）G（τ）和so F（τ，y）爆破的条件与多项式F（x）=ax+bx+c的根的位置有关，即x1,2=-ξy（uξy）- ky）±ξyq（uξy）- （肯塔基州）- 2ξy. （3.26）首先，如果 = 0，那么0是多项式的根。

由于f（x）是局部Lipschitz，我们得出结论，初始条件为G（0）=0的ODE（3.23）有唯一的解，即G（τ）=0，τ ≥ 0.从（3.24）中，我们发现H（τ）=0，τ ≥ 将回溯代入（3.21）并利用（3.18），我们推导出EΘt= 1.T≥ 0.或者，请注意（Θt）t∈[0，T]是多尔指数和真鞅（例如，参见Cheriditoet al.2007）。所以什么时候 = 0，谢谢∈[0，T]EΘt= 1为所有T≥ 0.第二，如果 6=0，利用Liberty和Mou（2011）中的命题3.3，我们可以很容易地展示G（τ）的完整性，以及所有τ<T的H（τ）和F（τ，y）的完整性*, 和G（τ）的爆炸，对于所有τ≥ T*. 因此，对于所有的T<T，F（τ，y）是连续的且在[0，T]上是有限的*,因此，它在时间间隔上的上确界由有界定理确定，从而得出了证明。3.2漂移隐式欧拉（BEM）模式支持2kyθy>ξyand，并让Yt=~xtn，T∈ [tn，tn+1），其中x在（2.9）中定义。为了推导边界元法的指数可积性，我们首先证明了一个辅助结果。引理3.3.假设 > 0.然后我们可以找到η>1，这样对于所有ω∈ [0, 1],2ηωγT+2ηωγuT- η+1<0，（3.27）当且仅当T<T*, T在哪里*具体如下：1。当u<0且λ<u时，T*= -2μξy. (3.28)2. 当u<0和λ≥u，或当u≥ 0，T*=ξy（u）+√2.). （3.29）证据。修正任何η>1并定义多项式η（ω）=2ωηγT+2ωηγuT- (η -1） ，（3.30），具有两个不同的实根ω1,2=-u±pu+2（η）- 1)2ηγT.（3.31）由于ω>0>ω，我们推导出fη（[0，1]）<0当且仅当fη（1）<0，即2ηγT- η(1 -2γuT）+1<0。（3.32）然而，（3.32）适用于某些η>1当且仅当η左侧的二阶多项式有两个不同的实根，其中一个大于1。

将（2.7）中的γ=0.5ξy代入（3.32），我们找到了必要且有效的条件：（1）- uξyT）>2ξy和1-uξyT+q（1）- uξyT）- 2.ξyT>ξyT。（3.33）一些简单的计算得出了一组等价的条件：ξyT（u+√2.) < 1、（3.34）和2ξyT<pu+4 - uorpu+4 - u ≤ 2.ξyT<-4u. （3.35）从今以后，结论相对容易得出。提议3.4。如果 ≤ 0和T≥ 0或其他，如果 > 0和T<T*, 和T*从（3.28）-（3.29）中，存在δT>0，因此对于所有δT∈ （0，δT），边界元法（3.2）中的指数泛函的第一阶矩是一致有界的，即supδT∈（0，δT）supt∈[0，T]EΘt< ∞. （3.36）证据。如果 ≤ 0，由引理3.1得出结论。如果 > 0和T<T*, 我们从引理3.3知道η>1独立于δt，因此（3.27）适用于所有ω∈ [0, 1]. 修正任何这样的η。我们用0的归纳法证明≤ M≤ N对于δt，E的极小值ΘT≤ E经验uZtN-mqYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti+ηmδtYtN-M×1 + 2ηγTδT2mexpnηα（δt）（m）- 1） mo.（3.37）注意，当m=0时，我们有等式。假设（3.37）为0≤ m<并证明归纳步骤。GtN上的条件反射-M-1.我们可以ΘT≤1 + 2ηγTδT2mexpnηα（δt）（m）- 1） mo×E经验uZtN-M-1qYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti×EtN-M-1.经验ηmδtYtN-m+uqYtN-M-1δWtN-M-1.. （3.38）定义x=~xtN-M-1注意，如果Z~ N（0，1），然后是GtN-M-1.⊥⊥ δWtN-M-1法律=√δtZ。LetI是（3.38）中的条件（内部）期望，然后i=E0，xhepnηmδtψ（Z）+ux√δtZoi，（3.39），其中ψ（z）=x+γ√δtz2（1）- βδt）+s（x+γ√δtz）4（1- βδt）+αδt1- βδt.（3.40）Onnω：x+γ√δtZ（ω）≤ 0o，因为β<0，ψ（Z）<αδt.（3.41）Onnω：x+γ√δtZ（ω）>0o，ψ（Z）<x+γ√δtZ+ 2αδt.（3.42）因此，如果我们让z=-xγ√δt，I≤Zz-∞√2πexp-z+ux√δtz+ηmα（δt）dz+Z∞Z√2πexp-z+ux√δtz+ηmδthx+γ√δtz+ 2αδtidz。