LIBOR模型的统一视图

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英文标题：
《A unified view of LIBOR models》
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作者：
Kathrin Glau, Zorana Grbac, Antonis Papapantoleon
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We provide a unified framework for modeling LIBOR rates using general semimartingales as driving processes and generic functional forms to describe the evolution of the dynamics. We derive sufficient conditions for the model to be arbitrage-free which are easily verifiable, and for the LIBOR rates to be true martingales under the respective forward measures. We discuss when the conditions are also necessary and comment on further desirable properties such as those leading to analytical tractability and positivity of rates. This framework allows to consider several popular models in the literature, such as LIBOR market models driven by Brownian motion or jump processes, the L\\\'evy forward price model as well as the affine LIBOR model, under one umbrella. Moreover, we derive structural results about LIBOR models and show, in particular, that only models where the forward price is an exponentially affine function of the driving process preserve their structure under different forward measures.
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中文摘要：
我们提供了一个统一的框架来建模伦敦银行同业拆借利率，使用一般半鞅作为驱动过程，并使用一般函数形式来描述动力学的演化。我们推导了模型是无套利的且易于验证的充分条件，以及在相应的远期测度下LIBOR利率是真鞅的充分条件。我们将讨论何时也需要这些条件，并对进一步需要的特性进行评论，例如导致分析可处理性和速率正性的特性。该框架允许考虑文献中几种流行的模型，如布朗运动或跳跃过程驱动的伦敦银行同业拆借利率市场模型、列维远期价格模型以及仿射伦敦银行同业拆借利率模型。此外，我们还得出了关于伦敦银行同业拆借利率模型的结构性结果，并特别表明，只有远期价格是驱动过程的指数仿射函数的模型在不同的远期措施下才能保持其结构。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-10 14:03:50 上传

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关键词：LIBOR lib Mathematical Differential Quantitative

伦敦银行同业拆借利率模型的统一视图斯卡特林·格拉、佐拉纳·格巴克和安东尼斯·帕帕潘托洛纳摘要。我们提供了一个统一的框架来建模伦敦银行同业拆借利率，使用一般半鞅作为驱动过程，并使用一般函数形式来描述动态的演变。我们推导了模型无套利且易于验证的充分条件，以及LIBOR利率在相应远期测度下为真鞅的充分条件。我们将讨论何时也需要这些条件，并对进一步的理想性质进行评论，例如导致分析可处理性和速率正性的性质。该框架允许在一个框架下考虑文献中的几种常见模型，如布朗运动或跳跃过程驱动的伦敦银行同业拆借利率市场模型、列维远期价格模型以及伦敦银行同业拆借利率模型。此外，我们得出了有关伦敦银行同业拆借利率模型的结构性结果，并特别表明，只有远期价格是驱动过程的指数函数的模型，才能在不同的远期措施下保持其结构。1.简介伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率是全球最重要的利率之一。这些利率由一个银行小组每日确定，适用于多个到期日，而伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）也适用于多个到期日。伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率作为大量金融交易的基础利率。2012年，以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为参考的合同未偿价值估计约为300万亿美元；见惠特利（2012）。

因此，为公平计算伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率制定适当的政策和法规，以及为公平评估利率产品建立数学模型，对金融业至关重要，也符合公众利益。由于建模对象的高维性，LIBOR和EURIBOR利率的动态建模是一项具有挑战性的任务。从建模的角度来看，利率和股票价格之间的主要差异在于，一旦忽略了买入价和卖出价之间的差异，股票价格在每个时间点都被视为单一价值，而利率在几个到期日的每个时间点都被观察到。此外，这些不同的利率（针对不同的到期日）是相互依赖的。他们的联合建模是必不可少的，因为他们已经共同进入了基本利率衍生品作为基础利率。此外，不同时期长度的利率不能再从简单的无套利关系中推导出来。2010年数学学科分类。91G30，60G44。关键词和短语。伦敦银行同业拆借利率，远期价格，半鞅，伦敦银行同业拆借利率市场模型，列维远期价格模型，有效的伦敦银行同业拆借利率模型。感谢PROCOPE项目“转型中的金融市场：数学模型与挑战”和欧洲金融研究所项目“后危机时代利率市场”提供的资金支持。2 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleonided指出，2007-2009年的金融危机从根本上改变了市场参与者对银行间部门风险的态度，特别是交易对手风险和流动性风险，这对不同贷款期的伦敦银行同业拆借利率有直接影响；例如，参见菲利波维奇和特罗尔（2013）。

综上所述，伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）建模对以无套利的方式联合建模不同到期日和每一期的利率提出了挑战，从而得出的定价公式能够快速准确地计算所有流动性衍生品，如上限和互换期权。在这项工作中，我们为文献中一些最重要的现有LIBOR模型提供了统一的数学基础。在此基础上，我们对伦敦银行同业拆借利率进行了有价值的结构性建模。特别是，我们推导了强制模型特征有效性的充分条件，如无套利性和调查方法，这些特征通常支持计算简便性。byBrace、G,atarek和Musiela（1997年）以及Miltersen、Sandmann和Sondermann（1997年）的半文献介绍了LIBOR市场模型（LMM），也被称为BGM模型。该模型的知名度当然至少在一定程度上要归功于BGM模型复制了市场标准布莱克的上限公式。此外，Musiela和Rutkowski（1997）提出的LMM中LIBOR利率的后向构造已被证明是可扩展的，超出了布朗运动的模型。Eberlein和¨Ozkan（2005）的文章介绍了由跳跃过程驱动的第一个Libor模型之一，并提出了由Levy驱动的forwardprice模型。提出了一般半鞅驱动的LIBOR模型。在利率建模中，jum p过程有几个优点。首先，与股票价格建模一样，它们的分布灵活性允许更好地捕捉对数回归的经验分布，例如，见Eberlein和Kluge（2006a；2006b）。

其次，对不同到期日的利率进行联合建模的传统方法是，为每个到期日引入多维布朗运动的一个组成部分，以便为每个风险源引入一个随机因素。相比之下，具有有限跳跃活动的L’evy过程引入了大量风险源，已经是一个一维过程。在这方面，跳跃过程显示出其潜力，可以降低定价和套期保值相关计算问题的维度。然而，它们也带来了新水平的技术挑战，尤其是前向测量之间的测量变化变得更加复杂，而后向施工通常需要更复杂的测量。此外，LIBOR市场模型对随机波动性的各种扩展也出现在文献中，参见Wu和Zhang（2006）、Belomestny、Mathew和Scho-enmakers（2009）以及Ladkau、Schoenmakers和Zhang（2013）。最近，inKeller Ressel、Papapantoleon和Teichmann（2013）提出了一种基于单一正向测量（终端测量）的建模方法，该方法基于一个有效的过程。我们参考ChoenMakers（2005）和Papapantoleon（2010）对建模方法和现有文献的概述。

关于危机后的伦敦银行同业拆借利率模型，我们参考了比安切蒂和莫里尼（2013年）以及GRBAC和伦格尔迪耶（2015年）。鉴于LIBOR模型在当今文献中已经达到了高度的技术成熟度，以及它们面临的新需求，我们对LIBOR模型提出了一个抽象的观点，以便获得：LIBOR模型的统一视图3o对不同建模方法的统一视图，如LIBORmarket模型，列维远期价格模型和伦敦银行同业拆借利率模型透明的条件保证：o 债券价格的积极性和无套利性——基本模型要求；o 远期价格在其相应的向前度量下的马丁尼性，这为改变计分方法和易于操作的定价公式铺平了道路；o 在不同的远期措施下，结构保护的一个特点是有利于改变计分法进一步理想的模型属性的有效性，这些属性导致分析上可处理的模型。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了主要的建模对象，形式化了模型公理，以及需要计算可处理性的模型属性。在第三节中，我们提供了两种基于一般半鞅和一般函数形式的利率演化的一般建模方法，并推导了模型无轨道和远期价格过程在相应的远期测度下一致可积鞅的充分条件；建筑业对碳d价格持积极态度。

在此基础上，我们确定了暗示伦敦银行同业拆借利率为正并确保计算可操作性的条件。作为另一个有趣的发现，我们表明，在不同的远期测度下，基本上只有远期价格过程是半鞅函数的指数的模型是保结构的。在第4节中，我们以通用建模框架的名义提出了几个IBOR模型，并研究了导致进一步重要模型特征的有效条件。最后，附录中给出了半马丁-盖尔理论所需的结果。2.公理和可重复属性集(Ohm, F=英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PN）表示Jaco d和Shiryaev（2003，定义I.1.3）意义上的完全随机基，其中*表示一个完整的时间范围。考虑一个离散的结构T:={0=T<…<TN≤T*} δk=Tk- Tk-1对于k∈ K:={1，…，N}，定义K:=K\\{N}。我们假设到期日为T的零息债券，t在市场上交易，用B（t，Tk）表示到期日为Tk的零息债券的时间t价格，对于所有k∈ K.我们将基准对（B（·，Tk），Pk）与每个日期Tk相关联，这意味着基准B（·，Tk）贴现的债券价格是所有K的Pk-lo-cal鞅∈ 这些测度称为前向（鞅）测度。此外，让Mlo c（P）d enote关于测度P的局部鞅集。由L（t，Tk）表示的远期伦敦银行同业拆借利率是在时间t为未来应计区间[Tk，Tk+1]确定的离散复合利率。它与债券价格（t，Tk）=δk有关B（t，Tk）B（t，Tk+1）- 1., T∈ [0，Tk]，（2.1）4K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon代表K∈K.远期价格过程F（·，Tk，Tn）定义如下F（t，Tk，Tn）=B（t，Tk）B（t，Tn），t∈ [0，Tk∧ Tn]，（2.2）对于所有k，n∈ K

远期汇率L（t，Tk）和远期价格F（t，Tk，Tk+1）通过（t，Tk，Tk+1）=1+δkL（t，Tk）连接。（2.3）我们将在续集中描述LIBORmodels应该具备的几个公理和性质，以便一方面具有经济意义，另一方面也适用于实践。特别是，我们将区分三组不同的属性。FIRS t团队由必要的公理组成，这些公理是建立健全财务模型所必需的。它们是：（A1）债券价格为正，即所有k的B（·Tk）>0∈ K（A2）该模型是无套利的，即B（·Tk）B（·TN）∈ 所有k的Mlo c（PN）∈ K.第一条公理是正确的，因为债券价格是具有正效用的交易资产，因此应该具有正价格。第二个公理排除了套利机会的存在，可以在任何远期措施下等价地表述，即该模型是无套利ifB（·Tk）B（·Tn）∈ 所有k的Mlo c（Pn）∈ K和一些n∈ K另见索穆西埃拉和鲁特科夫斯基（2005，§14.1.3）和克莱因、施密特和泰奇曼（2015）。第二组由可处理性属性组成，简化了模型中的计算。在几种可能的选择中，我们将集中于以下几点：（B1）远期价格是真鞅，即B（·，Tk）B（·，TN）∈ M（PN）代表所有k∈ K.（B2）该模型是结构保持的，即驱动过程的半鞅特征在前向测度下以确定性方式转换。（B3）每个伦敦银行同业拆借利率在其相应的前向测度下是一个马尔可夫过程。（B4）初始伦敦银行同业拆借利率是直接的模型输入。这些性质不是建立无套利模型所必需的，但在几个方面非常方便。第一个属性允许将期权价格计算为条件预期，并通过密度过程关联远期指标。

因此，通过改变为更方便的远期计量，可以大大简化几种期权定价公式。第二个属性是，在每个远期指标下，驱动每个伦敦银行同业拆借利率的过程保持在同一类过程中。此外，（B1）与（B2）相结合通常可以推导出封闭形式或半解析式的液体产品定价公式，如caps和Swaption。（B3）还允许s简化某些期权定价问题，并使用PDE方法。此外，如果初始期限结构是模型中的一个直接输入，即（B4）成立，则我们避免使用数字程序来确定当前观察到的债券价格。最后，我们还讨论了以下模型性质：（C）伦敦银行同业拆借利率总是非负的。LIBOR模型的统一观点5直到最近的金融危机，LIBOR利率一直是非负的，因此利率变为负的可能性被认为是模型的一个缺点。因此，设计了几种伦敦银行同业拆借利率模型，以产生负伦敦银行同业拆借利率。如今，所报的伦敦银行同业拆借利率处于极低水平，甚至在更长的时间段内报告了几个期限的负伦敦银行同业拆借利率，这促使我们在建模时考虑到这一点。因此，重要的是要知道哪些模型允许负利率，以及哪些现有的正利率模型可以进行调整，以允许利率低于零。此外，用于构建非负伦敦银行同业拆借利率的技术通常可以用于建模其他相关的非负数量，例如多曲线模型中的利差。3.

LIBOR模型的统一构造——LIBOR利率演变的LSM模型在文献中使用后向归纳法构建，在后向归纳法中，利率在不同的前向测度下连续指定，或者通过在一个测度（通常是终端前向测度）下同时建模所有利率。前一种方法已用于构建伦敦银行同业拆借利率市场模型和远期价格模型，而后者则用于构建伦敦银行同业拆借利率模型和马尔科夫函数模型。本节的目的是通过强调这两种方法的共同特征，来实现银行间同业拆借模型的统一构建。3.1. 通过反向归纳法建模速率。本小节的目的是制定有效条件，并使用反向归纳法给出LIBOR（市场）模型的一般构造。驱动过程是一般的半鞅，动力学的函数形式也是一般的。Musiela和Rutkowski（1997）的以下主要观察结果是通过反向归纳法得出的结构的核心：oLI-BOR率（L（·，Tk））k的模型∈如果L（·，Tk）是所有k的Pk+1-lo-cal鞅，则Kis套利自由度∈K.o前瞻性措施（Pk）K∈通过氡Nikodympk导数dpkdpk+1=1+δkL（Tk，Tk）1+δkL（0，Tk）与所有k相关∈K.（3.1）因此，为了构建伦敦银行同业拆借利率模型，必须指定伦敦银行同业拆借利率L（·Tk）本身或远期价格过程F（·Tk，Tk+1）=1+δL（·Tk）对所有K的动态∈这两个选项也决定了（3.1）中的密度。我们的构造基于为远期价格过程的动力学指定一个指数半鞅，其函数形式如下：F（·，Tk，Tk+1）=efk（·，X），（3.2），其中fkare函数用于每个k∈K和X是半鞅。