金融、地震和金融领域的相互发生时间和普遍规律

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英文标题：
《Inter-occurrence times and universal laws in finance, earthquakes and
  genomes》
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作者：
Constantino Tsallis
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  A plethora of natural, artificial and social systems exist which do not belong to the Boltzmann-Gibbs (BG) statistical-mechanical world, based on the standard additive entropy $S_{BG}$ and its associated exponential BG factor. Frequent behaviors in such complex systems have been shown to be closely related to $q$-statistics instead, based on the nonadditive entropy $S_q$ (with $S_1=S_{BG}$), and its associated $q$-exponential factor which generalizes the usual BG one. In fact, a wide range of phenomena of quite different nature exist which can be described and, in the simplest cases, understood through analytic (and explicit) functions and probability distributions which exhibit some universal features. Universality classes are concomitantly observed which can be characterized through indices such as $q$. We will exhibit here some such cases, namely concerning the distribution of inter-occurrence (or inter-event) times in the areas of finance, earthquakes and genomes.
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中文摘要：
基于标准加性熵$S_{BG}$及其相关指数BG因子，存在大量不属于玻尔兹曼-吉布斯（Boltzmann-Gibbs，BG）统计力学世界的自然、人工和社会系统。基于非加性熵$S_q$（其中$S_1=S_{BG}$）及其相关的$q$-指数因子，这种复杂系统中的频繁行为已被证明与$q$-统计数据密切相关，这是通常的BG因子的推广。事实上，存在着一系列性质迥异的现象，这些现象可以通过解析（和显式）函数和概率分布来描述，在最简单的情况下，可以通过解析（和显式）函数和概率分布来理解，这些函数和分布具有一些普遍的特征。同时观察到的普遍性类可以通过$q$等指数来表征。我们将在这里展示一些这样的案例，即关于金融、地震和基因组领域的事件间（或事件间）时间分布。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Biology        数量生物学
二级分类：Genomics        基因组学
分类描述：DNA sequencing and assembly; gene and motif finding; RNA editing and alternative splicing; genomic structure and processes (replication, transcription, methylation, etc); mutational processes.
DNA测序与组装；基因和基序的发现；RNA编辑和选择性剪接；基因组结构和过程（复制、转录、甲基化等）；突变过程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Inter-occurrence_times_and_universal_laws_in_finance,_earthquakes_and_genomes.pdf (3.19 MB)

2022-5-10 15:14:49 上传

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关键词：金融领域 distribution Quantitative Applications Econophysics

金融、地震和基因组中的相互发生时间和普遍规律*Constantino Tsalliscontro Brasileiro de Pesquisas Fisicas和国家科学技术研究所（复杂系统研究所）——Rua Xavier Sigaud 150，22290-180里约热内卢RJ，巴西圣达菲研究所——1399海德公园路，美国新墨西哥州圣达菲，邮编87501——存在大量不属于玻尔兹曼-吉布斯（Boltzmann-Gibbs）统计机械世界的自然、艺术和社会系统，基于标准加性熵Sb及其相关指数BG因子。基于非加性熵Sq（S=SBG）及其相关的q指数因子，这种复杂系统中的频繁行为已被证明与q统计量密切相关，而q指数因子是通常BGG的推广。事实上，存在着一系列性质迥异的现象，这些现象可以通过分析（明确）函数和概率分布来描述，在最简单的情况下，也可以通过这些函数和概率分布来理解，这些函数和分布具有一些普适性特征。同时观察到的普遍性类别可以通过q等指数来表征。我们将在这里展示一些这样的情况，即关于金融、地震和基因组领域的事件间（或事件间）时间分布。关键词：复杂系统，非扩展统计力学，非加性熵，金融，地震，基因组学1。历史和物理动机1865年，克劳修斯在《热力学》中引入了熵的概念，并命名为熵（注S，可能是为了纪念萨迪·卡诺，克劳修斯梅尔称其为：tsallis@cbpf.br（康斯坦丁诺·萨利斯）*邀请评论出现在《混沌、孤子和分形》中。预印本提交给混沌、孤子和分形2018年10月1日[1]。

它是在完全宏观的条件下引入的，根本没有提及微观世界，在他那个时代，微观世界的存在一直处于激烈的争论之中，几十年后仍然如此。这个概念的中心属性之一是热力学上的广泛性，即与系统的大小成比例（例如，以其总质量为特征）。在19世纪70年代，玻尔兹曼[2,3]将热力学熵与微观世界巧妙地联系起来。几年后，吉布斯再次证实了这种联系[4]。从这个观点来看，热力学的可拓性成为了当今众所周知的性质，即系统的总熵应与N成正比，即其微观元素的总数（或者，等效地，与微观自由度的总数成正比）。更准确地说，在N→ ∞ 极限，它应该是渐近的beS（N）∝ N，（1）hence0<limN→∞S（N）N<∞. （2） 对于d维系统，N∝ Ld，其中L是一个特征线性尺寸，或者是一个正整数（基本上是标准维数），或者是一个正实数（分形维数，这一概念实际上由Hausdor ff仔细引入，Mandelbrot进行了卓有成效的探索）。因此，Eqs。（1） 和（2）可以重写如下：S（L）∝ Ld，（3）hence0<limL→∞S（L）Ld<∞. （4） Boltzmann和Gibbs引入的熵泛函（后来分别适用于von Neumann和Shannon提出的量子和信息理论场景）由bg（N）=-千瓦（N）Xi=1皮磅W（N）Xi=1pi=1, （5） 其中k是常规的正常数（在物理学中通常被认为是玻尔兹曼常数kb，在其他几种情况下k=1），i表示N-尺寸系统的所有非消失概率微观结构，{pi}是相应的概率。

在概率相等的特殊情况下，即pi=1/W（N）(i） 我们恢复了著名的玻尔兹曼公式sbg（N）=k ln W（N）。（6） 很明显，如果微观随机变量是概率（严格或接近）独立的，我们有（N）∝ uN（u>1；N→ ∞) , （7） 因此，等式（6）意味着SBG（N）∝ N、 因此，满足（克劳修斯）对延展性的热力学预期，这里用公式（1）表示。如果我们有N枚硬币（骰子），那么u=2（u=6）；如果我们有一个d维的第一近邻，在热平衡状态下，伊辛铁磁体与恒温恒温器相互作用，那么μ本质上是一个与温度有关的实数。然而，W（N）可能具有与（7）截然不同的功能依赖性。例如，它可以是（参见[5,6,7,8]和[9]的第66-68页；也可以参见[10,11]）W（N）∝ Nρ（ρ>0；N→ ∞) , （8） 或（见[9]第69页）W（N）∝ νNγ（ν>1；0<γ<1；N→ ∞) . （9） 然而，这样的情况可能与不同性质的强相关性相对应。我们很容易验证这一点→ ∞,1<<Nρ<<νNγ<<uN.（10）这与强限制直接相关，强限制要求整个相空间的占用率大大低于完全（或接近完全）占用率（这反过来对应于等式（7），对于非线性动力系统，则对应于遍历性）。我们也可以说，公式（7）通常与W与N的增加相关联，但并不禁止它与N的逐渐减少相关联（例如，参见[12]）。因此，原则上，它也可能出现在公式（7）中的u<1，公式（8）中的ρ<0，以及公式（9）中γ>0的ν<1。当然，在这种病态情况下，为了不违反W，渐近行为中必须包含一个单位阶的加性常数≥ 1.相空间的占有率采用有限的勒贝格测度，而方程。

（8） （9）通常对应于Lebesgue测度为零的入住率。如果我们假设——并且我们确实假设，出于下文将要介绍的原因——熵可拓性（即，等式（1））在所有情况下都必须保持不变，那么每当系统中普遍存在概率强相关性时，我们就被迫放弃BG泛函（5）。这是[5]中引入的非加性熵的主要物理和数学来源，目的是推广BG熵Sb，并同时推广BG统计力学。这与玻尔兹曼、吉布斯、费米、马约拉纳、蒂萨、兰茨伯格和其他一些人（例如，参见[9]的第1章）指出的BG基本假设的有效性极限的重要观点完全一致。在下一节中，我们将展示如何强制使用非加性熵函数（例如[5]中引入的SQ，以推广BG理论），以便在克服常见BG框架及其加性函数SBG的情况下满足这一要求。2.热力学熵延展性强相关系统通常包含非加性熵函数。在下文中，每当出现等式（7）时，我们将指不相关或弱相关的N体系统，当Lebesgue度量行为为零时，如等式中的行为，我们将指强相关的N体系统。（8） （9）发生。让我们进一步分析这个案例。如果我们有N个可分辨的粒子，每个粒子都生活在一个连续的D维空间中（如果系统是由D维系统的正则共轭动力学变量定义的，则D=2d；例如，吉布斯Γ相空间是一个2dN维空间），然后，整个可能性空间是n维超立方体，其超体积等于DN（假设几乎所有这些可能性都有非零概率发生）。

在这种情况下，itslebsgue测量的标度精确为W（N）~ DN，符合等式（7），u=D。在这样的系统中，强相关性不能增加其勒贝格度量，但当然可以减少它，甚至使其为零，就像对应于toEqs的情况一样。（8） 和（9）。然而，与式（7）所表示的标准情况形成显著对比的是，系统确实存在，其可能性总数的增加速度甚至超过uN。N级元素的情况就是这样。事实上，所有可能的数量都会产生W（N）=N！[13]. 因此，由式（5）yieldsSBG（N）给出的BG熵~ kN ln，不符合热力学。在这种情况下，什么样的精确熵能恢复扩展性，目前是一个有趣的开放问题。现在我们来介绍一下熵泛函（q∈ R） ：Sq=k1-PWi=1pqiq- 1（S=SBG）。（11） 这个表达式可以等价地重写如下：Sq=kWXi=1pilnqpi=-kWXi=1pqilnqpi=-kWXi=1匹2-qpi，（12）wherelnqz≡z1-Q- 11- q（lnz=lnz）。（13） 对于等概率的特殊情况（即pi=1/W），我们有sq=k lnqW=kW1-Q- 11- q、 （14）因此，在与式（8）相对应的情况下，我们不希望使用BG熵。实际上，它产生了SBG（N）∝ ln，这违反了热力学广度。如果我们使用等式（14），我们得到1-1/ρ（N）∝ N，（15）这是热力学容许的！我们可以直接验证熵函数SQ是非加性的（与加性函数SBG[14]相比）。事实上，如果pA+Bij=pAipBj，我们有Sq（A+B）k=Sq（A）k+Sq（B）k+（1）- q） Sq（A）kSq（B）k.（16）现在让我们考虑与等式（9）相对应的情况，q的值不会使Sq（N）变得广泛。因此，我们不得不研究另一个熵泛函。让我们定义（δ∈ R） [9,15]Sδ=kWXi=1pihlnpiiδ（S=SBG）。

（17） 如果我们有相等的概率，我们验证sδ=khln Wiδ。（18） 因此，我们可以检查，对于等式（9），S1/γ（N）∝ N，（19），这也是热力学容许的。因此，为了获得热力学的延展性，我们再次使用了非加性熵。实际上，如果概率系统A和B是独立的（即pA+Bij=pAipBj），我们验证了一般的Sδ（A+B）6=Sδ（A）+Sδ（B）。事实上，SBG、Sq和Sδ可以通过[16]Sq、δ=kWXi=1pihlnqpiiδ来统一。（20） 我们验证了S1,1=SBG，Sq，1=Sq和S1，δ=Sδ。与Sδ和Sq，δ相关的统计机制，以及相应的非线性福克布兰克，已在[17,18]中计算出来。此外，对于等概率酶，一般热力学讨论见[19,20,21]。许多其他熵泛函可以在[22,23]中找到；特别是[22]中展示了SQ和黎曼-泽塔函数之间的一种触发性联系。熵可加性和熵延度之间的关键区别如表1所示。表1中的所有示例都假设W非异概率事件的概率相等。那更一般的情况呢？总的来说，这样的反第一原理计算在数学上很难处理。但也有一些例外。其中一个最简洁的例子涉及（1+1）维哈密顿量类的量子临界点，其连续极限的特征是具有中心电荷c的共形场（c=1/2对应于伊辛铁磁体以及轴向各向同性海森堡铁磁体模型[24]；c=1对应于各向异性XY铁磁体）。事实证明，有限量子链中子系统的广义熵与[25]相同（另见[26]）。q=√9+c- 3c。（21）见图1。

在继续之前，让我们评论一个值得进一步澄清的点。表1中的上述简单说明集中于W（N）的函数形式如何确定满足热力学延展性的熵函数S（{pi}），如前所述，是基于单熵（N）SBGSqSδ（N→ ∞) （q6=1）（δ6=1）（加法）（非加法）（非加法）例如，uN（u>1）广泛的非扩展的非扩展的。g、 Nρ（ρ>0）非扩张的非扩张的（q=1）- 1/ρ）例如，νNγ（ν>1；非扩展非扩展0<γ<1）（δ=1/γ）表1：熵是广泛的系统的加性和非加性熵泛函和说明类。W（N）是具有N个元素的系统的可容许等概率微观构型的数量；只有发生概率不存在差异的配置才被认为是可接受的。概率相等的假设。换句话说，我们使用了特定熵泛函可以假设的最大值。在许多情况下，这个程序是正确的。然而，在某些特定情况下，它可能是错误的。为了澄清这个问题，让我们详细分析一下[25]中讨论的案例。公式（21）给出了满足熵延展性的指数q1的正确公式。然而，分析证明（见[30]）对于尺寸为L的一维强纠缠量子子系统，我们有SBG（L）k=cln L+ln b+，（22）其中b是常数。这个表达式，连同假设SBG/k=ln W，意味着W（L）~ bLρ和ρ=c/3，这将决定，如果我们有相等的概率（我们没有！），q=1-c、 然而，正确的结果是等式（21）中给出的结果。错误值q=1-卡里维德比错误地假设了相同的概率。在第三节中，我们给出了为什么我们总是要求热力学熵是广泛的三个基本原因。

第一个原因是关于什么是与通常热力学的勒让德变换结构相容的最普遍的经典热力学形式。We00。20.40.60.81.00 0.51.01.52.0q1/cBGXYIsingZ(∞)M→∞SU（4）图1：指数q是根据第一原理确定的[25]，即哈密顿量的普适性类。值c=1/2和c=1分别对应于在T=0临界时存在横向磁场的伊辛和XY铁磁链。其他型号见[27,28]。在c→ ∞ 限制我们恢复玻尔兹曼吉布斯（BG）值，即q=1。对于c的任意值，子系统非加性entropySqis在热力学上可扩展，且仅适用于q=√9+c-3c（因此c=6q1-Q一些特殊值：对于c=4，我们有q=1/2，对于c=6，我们有q=√5+1=Φ，其中Φ为黄金平均值）。让我们强调，q的这个反常值只发生在零温度二阶量子临界点；在任何其他地方，通常的短程相互作用BG行为（即q=1）都是有效的。从[29]开始。不要假设熵有任何特定的函数形式。它自然地（从勒让德结构中）表现出来，然而，它是广泛的，即S（N）∝ N或相当于S（L）∝ 劳埃德。沿着这些思路，我们扩展了量子热力学（其有效性仅限于短程相互作用多体系统），以便也涵盖长程相互作用多体系统，以及（3+1）维和（2+1）维黑洞等非标准情况，以及量子强纠缠系统中的所谓面积定律。第二个原因涉及另一个强有力的观点——大偏差理论。一个经过详细数值讨论的非平凡例子再次表明，对于所有系统，物理容许熵在热力学意义上是广泛的。

作为可能的第三个原因，我们在本节结束时回顾并说明了当系统接近其稳态时，熵的时间依赖性与达到该稳态时熵的大小依赖性之间的强相似性。在第4节中，我们简要回顾了金融、地震、基因组以及其他一些应用的现有结果。最后，我们在第5.3节中得出结论。为什么热力学熵总是大的？在接下来的内容中，我们重点讨论了最终结果，即任何系统的热力学熵都必须是广泛的。这些论点遵循三条不同的路线，即热力学数学结构、大偏差理论和非线性动力系统熵向其稳态的时间演化。3.1. 广义热力学热力学是基于一些非常普遍的经验事实（这些事实在历史上导致了第零、第一和第二原理等）。它的数学结构基于勒让德变换。微观上讲，它依赖于最大熵原理，即熵泛函的极值化，对概率集有适当的约束（例如，参见[31,32]）。为了在一般情况下讨论热力学，我们遵循[9,16]和其中的参考文献。让我们回顾一下一般d维系统[33]热力学能的一种典型形式：G（V，T，p，u，H，…）=U（V，T，p，u，H，…）- ts（V，T，p，u，H，…）（23）+pV- uN（V，T，p，u，H，…）- HM（V，T，p，u，H。